Тема 10. Линейные системы автоматического регулирования

при случайных воздействиях

Случайное событие и его вероятность. Непрерывная случайная величина и её вероятностные характеристики. Стационарный случайный процесс; свойство эргодичности. Корреляционная и взаимная корреляционная функции, спектральная плотность. Связь между корреляционной функцией и спектральной плотностью. Чисто случайный процесс (“белый шум”), гауссов случайный процесс. Среднеквадратическая ошибка. Определение среднеквадратической ошибки при случайном полезном сигнале и случайной помехе.

Оптимальность в статистическом смысле. Определение оптимальных параметров системы по минимуму среднеквадратичной ошибки.

Литература

0.2, стр. 328 - 346; 0.3, стр. 422 - 434; 0.5, стр.121 - 132; 0.6, стр.370 - 458; Д3, стр. 90 - 108.

Методические указания

При изучении данной темы студент должен усвоить специфические методы анализа и синтеза систем автоматического регулирования, внешние воздействия которых носят случайный характер. Для этого необходимы некоторые сведения из теории вероятностей, и они включены в программу.

Студенту, прежде всего, нужно получить представление о случайном событии, случайной величине и случайном процессе и научиться пользоваться статистическими характеристиками случайных процессов.

Основное внимание должно быть уделено определению среднеквадратической ошибки линейной системы по статистическим (вероятностным) характеристикам внешних воздействий и отысканию параметров системы, обеспечивающих минимум среднеквадратической ошибки.

Вопросы для самопроверки

1. Объясните понятие “случайное событие” и “вероятность случайного события”.

2. Что такое непрерывная случайная величина и каковы её статистические характеристики?

3. Какой процесс называется случайным?

4. Что такое корреляционная функция и как она определяется для стационарного случайного процесса?

5. Какой процесс называется стационарным? В чём заключается свойство эргодичности случайного процесса?

6. Что такое спектральная плотность, и как она связана с корреляционной функцией стационарного случайного процесса?

7. Чем оценивается (в статистическом смысле) взаимная связь двух стационарных случайных процессов?

8. Как определяется среднеквадратическое значение ошибки линейной системы при случайном задающем воздействии?

9. Как определить среднеквадратическое значение ошибки линейной системы при случайном полезном сигнале и случайной помехе на входе?

10. Изложите порядок определения параметров системы по минимуму среднеквадратической ошибки.

Тема 11. Нелинейные системы автоматического управления

Понятие и определение нелинейных САУ. Типы нелинейностей, их уравнения и модели. Особенности расчёта и поведения нелинейных систем. Понятие устойчивости в “малом” и в “большом”. Автоколебания и их свойства. О методах исследования нелинейных САУ. Методы решения нелинейных дифференциальных уравнений. Метод фазовой плоскости. Метод гармонической линеаризации и гармонического баланса. Частотный метод в применении к релейным САУ. Критерий абсолютной устойчивости В.М. Попова и его применение для анализа нелинейных САУ. Оценка качества переходного процесса по данным фазового портрета и по методу гармонической линеаризации. Методы численного интегрирования. Графоаналитические методы. О расчёте переходных процессов релейных систем. Применение метода моделирования на АВМ. Расчёт переходных процессов нелинейных САУ с помощью ЦВМ.

Литература

0.2, стр. 5 - 17, 25 - 36, 65 - 103, 121 - 131, 139 - 151, 182 - 185, 188 - 197, 208, 212 - 221; 0.3, стр. 271 - 320, 346 - 371; 0.4, стр.207 - 298; 0.6, стр.292 - 369; Д3, стр. 82 - 89.

Методические указания

Нелинейности, присущие большинству элементов САУ, существенно влияют на их динамические свойства. В ряде случаев рабочие процессы в системе могут быть описаны только нелинейными дифференциальными уравнениями. Нелинейные САУ обладают некоторыми особенностями по сравнению с линейными. Так, например, устойчивость нелинейной системы зависит от величины начального отклонения и поэтому для нелинейных систем вводятся понятия об устойчивости в “малом” и в “большом”. В нелинейных системах возможен новый вид установившегося режима, называемого автоколебаниями. Автоколебания – свободные параметрические колебания. Необходимо понимать и знать, что к нелинейным системам не применим принцип суперпозиции и однородности.

Студент должен обратить внимание прежде всего на типовые нелинейности САУ и знать их математические описания. В этой теме студент должен ознакомиться с основными свойствами нелинейных систем, методами их исследования, расчёта параметров автоколебательных режимов (частоты и амплитуды) и анализа устойчивости этих режимов.

Для исследования нелинейных систем второго порядка находит применение метод фазовой плоскости. При построении фазового портрета студент должен уметь строить линии равновесных состояний, фазовые портреты линейной системы второго порядка и соответствующие им типы особых точек и фазовых траекторий. Это даёт возможность устанавливать соответствие между видом фазовой траектории и изменением переменной по времени. Метод фазовой плоскости является точным методом исследования нелинейных систем второго порядка.

Наиболее распространённым методом исследования нелинейных систем произвольного порядка является метод гармонической линеаризации. Студент должен в первую очередь уяснить основную идею метода – допущение о гармоническом характере автоколебаний и физическое обоснование этого предположения, так называемую гипотезу фильтра. Необходимо понять физическую сущность комплексного эквивалентного коэффициента передачи нелинейного элемента. Студент должен научиться по известной характеристике нелинейного элемента находить выражение его комплексного эквивалентного коэффициента передачи и пользоваться графиками нормированных коэффициентов гармонической линеаризации. Необходимо усвоить метод Гольдфарба (гармонического баланса), с помощью которого (аналогично критерию устойчивости Найквиста) исследуется возможность возникновения автоколебаний, определяются их частоты и амплитуды и анализируется устойчивость автоколебаний. Для этих же целей служит метод Е.П. Попова.

Студенту следует изучить понятие абсолютной устойчивости и частотный критерий абсолютной устойчивости В.М. Попова.

Оценка качества переходных процессов в нелинейных САУ может быть выполнена с помощью косвенных и прямых методов. Косвенные методы основаны на оценке качества по данным фазового портрета и по методу гармонической линеаризации (построения диаграмм затухания). Прямые методы предполагают расчёт и построение переходных процессов. Познакомьтесь с методом припасовывания. Наиболее просто этот метод применяется для релейных систем.

Кроме указанных методов, студент должен изучить метод математического моделирования нелинейных САУ с помощью аналоговых и цифровых вычислительных машин.

Вопросы для самопроверки

1. Объясните свойства типовых нелинейностей.

2. Приведите примеры реальных элементов, имеющих нелинейности типа “зона нечувствительности”, “насыщение” и “люфт”.

3. Изложите идею фазового представления динамических процессов.

4. Как строится фазовый портрет системы второго порядка?

5. Изобразите фазовые портреты, соответствующие различным особым точкам.

6. Охарактеризуйте динамический процесс, называемый автоколебаниями.

7. Что такое устойчивость в “большом” и в “малом”?

8. Как по фазовому портрету определить устойчивость положения равновесия и устойчивость автоколебаний?

9. Сформулируйте понятие “абсолютная устойчивость”. Каким образом пользуются критерием абсолютной устойчивости В.М. Попова?

10. Сформулируйте и поясните гипотезу фильтра, используемую при анализе периодических режимов в нелинейных системах.

11. Как определяется эквивалентный комплексный коэффициент передачи нелинейного элемента, какова физическая сущность этой характеристики?

12. Как определить существование, параметры и устойчивость автоколебаний, пользуясь методом Гольдфарба (гармонического баланса)?

13. Как выяснить устойчивость автоколебаний, пользуясь методом Е.П. Попова?

14. Объясните, как могут быть построены логарифмические характеристики нелинейных систем и как они используются для исследования этих систем?

15. Какие показатели качества переходных процессов характерны для нелинейных систем?

16. Как по фазовому портрету построить переходной процесс?

17. Каким образом рассчитываются, строятся и используются диаграммы затухания?

18. В чём особенность и достоинства метода математического моделирования нелинейных САУ?