9

1.2. Теория деформаций

Рассмотрим элементарный объем (параллелепипед) упругого тела, вырезанный около точки А, который деформируется из-за различий перемещений его точек. При этом будут меняться длины ребер параллелепипеда и углы между ними. Составляющие вектора полного перемещения по осям x, y и z обозначаются соответственно u, v и w.

Рассмотрим два ребра АВ и АС (рис. 1.4).

Длина проекции ребра АВ на ось Ox после деформации будет равна:

*	**		∂ u		∂ u
A B		=dx+ (u+		dx)−u=dx+		dx.	(1.11)
			∂ x		∂ x

Проекция абсолютного удлинения ребра АВ равна:

	*	**			∂u
	AB=A B		−AB=		∂x dx.	(1.12)
y	u+ ∂ u dy
	∂ y
dy	C**		C*
v y	γ2
∂ ∂
v+					B*
	C
				γ1		dx
	A*				B**
dy
					∂v ∂x
v	A		B			+
						v
	u		u+	∂ u dx
	dx			∂ x
O						x

Рис. 1.4. Перемещения точек элементарного объема при деформации

Относительное удлинение ребра АВ вдоль оси Ox равно:

εx=	AB	=	∂u	.	(1.13)
	AB
			∂ x

Аналогичные действия можно проделать и для других ребер. В результате получим, что в проекциях на координатные оси компоненты линейной деформации определяются соотношениями:

ε	=	∂ u	;ε	=	∂ v	;ε	=	∂w	.	(1.14)
		∂ x			∂ y
x			y			z		∂ z

Теперь определим компоненты угловой деформации. Для этого найдем величину угла γ1 между отрезками A* B** и B*B** на рис. 1.4.

10

tg γ

=

B* B**

=(v+ ∂∂ vx dx)−v

,

A* B**

1

∂ u

dx+

dx

∂ x

∂v

dx

∂v

∂ x

∂ x

tg γ1=

=

.

dx(1+

∂u

)

(1+ εx)

∂ x

(1.15а)

(1.15б)

В теории упругости принимается, что деформации тел малы, т.е., напри-

мер, относительные линейные деформации много меньше единицы (εx 1). Угловые деформации также невелики (tg γ1≈γ1). Учитывая это, получим:

γ1=∂∂vx . Аналогично: γ2= ∂∂ uy .

Угловая деформация – это искажение прямого угла. Поэтому в данном случае угловая деформация будет равна: γxy=γ1+ γ2. Отсюда компоненты угло-

вой деформации будут определяться соотношениями:

γ

xy

=

∂v

+

∂u

; γ

xz

=

∂ w

+

∂u

; γ

yz

=

∂w

+

∂ v

.

(1.16)

∂ x

∂ y

∂ x

∂ y

∂ z

∂ z

Зависимости (1.14) и (1.16) называются ф о р м у л а м и

К о ш и . Они

связывают шесть компонентов вектора деформаций εx, εy, εz, γxy, γxz, γyz и три компонента вектора перемещений u, v, w. Однако компоненты вектора деформаций не являются независимыми друг от друга переменными и должны быть связаны между собой некоторыми соотношениями. Эти соотношения были получены Сен-Венаном и называются у р а в н е н и я м и с о в м е с т н о с т и д е ф о р м а ц и й . Они выводятся из уравнений Коши путем исключения перемещений u, v, w:

∂2 εx

+

∂2 εy

=

∂2 γxy

;

∂ y2

∂ x2

∂ x ∂ y

∂2 εy +

∂2 εz =

∂2 γyz

;

∂ z2

∂ y2

∂ y ∂ z

∂2 εz

+

∂2 εx

=

∂2 γxz

;

∂ x2

∂ z2

∂ x ∂ z

∂

(−

∂ γyz

+

∂ γxz

+

∂ γxy

)=2

∂2 εx

;

∂ x

∂ x

∂ y

∂ z

∂ y ∂ z

∂ ∂ γyz

∂ γxz

∂ γxy

∂2 εy

(1.17)

(

−

+

)=2

;

∂ y

∂ x

∂ y

∂ z

∂ x ∂ z

∂

(

∂ γyz

+

∂ γxz

−

∂ γxy

)=2

∂2 εz

.

∂ z

∂ x

∂ y

∂ z

∂ x ∂ y

1.3. Физические соотношения между напряжениями и деформациями

Рассмотренные выше теории напряжений и деформаций в отдельности не решают задачу теории упругости, т.к. между ними отсутствует связь. В каче-