8(2)
.docБилет №8
2)Дивергенция. Пусть
А={P,Q,R}
– векторное поле, определённое в области
V
и такое, что функции P,Q,R
непрерывны в V
вместе со своими первыми производными,
(s)
–замкнутая поверхность в области V.
Поток векторного поля
через внешнюю сторону поверхности (S)
преобразуем по формуле Остроградского
,
где V
– область, ограниченная поверхностью
(s).
Состоящие под знаком тройного интеграла выражение называется дивергенцией векторного поля А и обозначается divA. Таким образом
Формулу Остроградского перепишем в векторном виде:
т.е поток вектора
А через внешнюю сторону замкнутой
поверхности (s)
равен интегралу от дивергенции поля А
взятому по области, ограниченной
поверхностью (s).
Данное определение формально связано
с выбором системы координат.
Физический смысл дивергенции для поля скоростей несжимаемой жидкости.
Пусть
– поле скоростей несжимаемой жидкости
в области V.,
ограниченной (s)
(
)
– поверхность, через которую жидкость
втекает
(
)
– поверхность, через которую жидкость
вытекает.
Поток
- характеризует
количество жидкости, втекающей в область
V
за единицу времени,
характеризует количество жидкости,
вытекающей из области V
за единицу времени. Если поток
,
то жидкости за еденицу времени вытекает
столько же сколько втекает. Если поток
через внешнюю сторону поверхности (s),
то он равен количеству жидкости, которое
за еденицу времени возникает или исчезает
в области V.
Это количество жидкости называется
суммарной мощностью источников, если
,
или стоков если
.
Отношение
- это количество жидкости, возникающей
или исчезающей за единицу времени в
единице объёма V.
Его называют средней плотностью
источников или стоков.
1) Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка. Решение методом вариации произвольной постоянной.
Определение.
Дифференциальное
уравнение первого порядка называется
линейным, если оно содержит искомую
функцию у и её производную
только в первой степени. Общий вид
линейного уравнения первого порядка.
(1.14)
Где P(x) и Q(x) – заданные непрерывные функции от х (или постоянные).
Если правая часть уравнения Q(x)=0 то уравнение (1.14) называется линейным однородным, если , то уравнение называется линейным неоднородным.
Рассмотрим решение линейного уравнения способом вариации произвольного постоянного. Для уравнения 1.14 запишем однородное уравнение.
(1.15)
Оно является уравнением с разделяющимися переменными
Откуда
и
,
Обозначив
получим общее решение уравнения (1.15)
(1.16)
Будем искать решение неоднородного уравнения (1.14) в том же виде !1.16) что и решение однородного уравнения (1.15), но будем рассматривать С не как произвольную постоянную, а как некоторую непрерывную дифференцируемую функцию от х т.е
(1.17)
И подберём функцию С(х) так, чтобы функция (1.17) стала решением неоднородного уравнения (1.14)
Для этого подсчитаем
,
(1.18)
Подставим в уравнение
(1.14) у согласно (1.17) и
согласно (1.18) и потребуем, чтобы оно
обратилось в тождество
Два средних члена взаимно умножаются и уравнение (1.14) переходит в уравнение с разделяющимися переменными относительно функции С(х).
(1.19)
Общее решение уравнения (1.19)
Подставив найденное в (1.17) получим
