6(2)

Билет №6

Дифференциальное уравнение 1го порядка с разделяющимися переменными.

Дифференциальное уравнение первого порядка называется уравнением с разделяющимися переменными, если оно может быть представлено в виде

P(x,y)dx + Q(x,y)dy = 0

Где каждая из функций P и Q разлагается на множители, зависящие только от одной переменной x или y, т.е. уравнение можно записать так:

Получили уравнение с разделенными переменными, общий интеграл которого:

Дифференциальное уравнение 1го порядка с разделенными переменными. Теорема об общем интеграле (общем решении?)

Дифференциальное уравнение вида

f(x)dx + g(x)dy = 0 (1)

Где f(x) и g(у) – непрерывные функции, зависящие соответственно только от х и только от у, называется дифференциальным уравнением с разделенными переменными.

Теорема

Общий интеграл дифференциального уравнения дается формулой

(2)

Доказательство

Перепишем дифференциальное уравнение (1) в виде

f(x) + g(y)y’ = 0 (3)

1. Пусть равенство (2) неявно задает функцию y = φ(x), т.е. обращается в тождество, если в него подставить φ(x):

(4)

Докажем, что функция φ(x) есть решение уравнения (1)

Продифференцируем равенство (4)

или

Функция φ(x) удовлетворяет уравнению (3), а следовательно, и уравнению (1)

2. Пусть функция y = φ(x) является решением уравнения (3).

Тогда , поэтому функция, записанная в скобках постоянна

= С

Т.е. равенство (2) неявно задает эту функцию φ(x).

Доказанное в пункте 1, 2 означает, что равенство (2) есть общий интеграл уравнения (1).

2.Определения

Гладкая поверхность называется двусторонней, если обход по любому замкнутому контуру, лежащему на поверхности и не имеющему общих точек с ее границей, не меняет направление нормали к поверхности.

Если на поверхности существует замкнутый контур, при обходе по которому направление нормали меняется на противоположное, то поверхность называется односторонней.

Замечание

Если в какой-либо точке М двусторонней поверхности мы выбрали направление нормали, то тем самым мы задали направление нормали во всех остальных точках поверхности и, следовательно, задали сторону поверхности.

Если в точке М мы изменили направление нормали на противоположное, то изменится направление нормали во всех остальных точках, и мы получим другую сторону поверхности.

Определение

Поверхностным интегралом второго рода о функции R(x,y,z) по выбранной стороне поверхности (S) называется число равное двойному интегралу

При этом двойной интеграл берется со знаком (+), если нормаль к выбранной стороне поверхности образует острый угол с осью Oz, знак (-) – если тупой.

Обозначение:

Аналогично определяются интегралы

1)

Причем поверхность (S) определяется уравнением x = φ(y,z), (y,z) D_yz, D_yz - проекция поверхности (S) на на плоскость yOz; P(x,y,z) – функция, определенная и непрерывная на поверхности (S).

При этом двойной интеграл берется со знаком (+), если нормаль к выбранной стороне поверхности образует острый угол с осью Ox, знак (-) – если тупой.

2)

Причем поверхность (S) определяется уравнением x = ψ(x,z), (x,z) D_xz, D_xz - проекция поверхности (S) на на плоскость xOz; Q(x,y,z) – функция, определенная и непрерывная на поверхности (S).

При этом двойной интеграл берется со знаком (+), если нормаль к выбранной стороне поверхности образует острый угол с осью Oy, знак (-) – если тупой.

Сумма интегралов записывается в виде одного интеграла: