4

№4. Преобразование однократного замещения

Пусть дана СЛУ: (1)

(система)

a₁₁x₁+а₁₂х₂+…а_1nx_n = b₁,

…

a_m1x₁+a_m2x₂+…+a_mnx_n = b_m.

Ранг системы уравнений (r) < числа неизвестных (n).

Методом Ж-Гаусса приведем (1) к разрешенному виду и выпишем общее решение системы, полагая, что x₁, x₂ … xr – базисные.

(система) (1’)

x₁=c_1,r+1x_r+1 + c_1,r+2x_r+2 +…+ c_1,nx_n+ ¯b₁

x₂=c_2,r+1x_r+1 + c_2,r+2x_r+2 +…+ c_2,nx_n+ ¯b₂

…

x_r=c_r,r+1x_r+1 + c_r,r+2x_r+2 +…+ c_r,nx_n+ ¯b_r

Общее решение системы (1).

Положив значения x_r+1 , x_r+2 , …, x_n = 0, то:

Х = (¯b₁, ¯b₂, …, ¯b_r, 0,0,0,…,0)

(число нулей = n-r)

Пример:

(система *)

-1/2х3+х5= -3/2,

-3х2+5х3+х4=10,

х1+х2-3/2х3= -5/2

Базисные неизвестные (БН)

БН	х1	х2	х3	х4	х5	b
x1, x4, x5	0 0 1	0 -3 1	-1/2 5 -3/2	0 1 0	1 0 0	-3/2 10 -5/2
x3, x4, x5	-1/3 10/3 -2/3	-1/3 1/3 -2/3	0 0 1	0 1 0	1 0 0	-2/3 5/3 5/3

• возьмем за разреш. элемент любой коэф. (≠0) при каком-либо свободном неизвестном

• свободное неизвестное х3 стало базисным, а базисное неизвестное х1 – свободным - преобразование однократного замещения, т.к. произошло замещение

СУ * преобразована к новому базису, которые образуют вектор-коэф. при неизвестных х3, х4, х5. Можно найти все базисные решения СУ *.

Базисные решения:

Х = (-5/2,0,0,10, -3/2)

Х=(0,0, 5/3, 5/3, -2/3) – базисное недопустимое

Замечание: r=3

для СУ * нельзя в качестве базисных неизвестных взять набор из х1, х2, х4, т.к. им соответствуют вектор-коэффициенты

0 0 0

А1 = ( 0 ) , А2 = ( -3 ) , А4 = ( 1 ) - Л.З.

1 1 0

потому что А1-А2-3А4 = θ (образуют нетривиальную линейную комбинацию векторов, равную θ)