5

5 билет

1)Дифференциальное ур-ние первого порядка в общем виде: F(x, y, y’) = 0 (1.1) Если возможно, то ур-ние (1.1) удобно записывать в форме, разрешенной относительно производной y’ = f(x, y) (1.2) или в форме, содержащей дифференциалы M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0 (1.3) От формы (1.2) легко перейти к форме (1.3) и наоборот, имея в виду, что . Пусть нам дано дифференциальное ур-ние в форме (1.2) . Задача Коши. Среди всех решений дифференциального уравнения y’ = f(x, y) найти такое, которое удовлетворяет заданному начальному условию, т. е., чтобы оно принимало заданное значение у₀ при заданном значении независимой переменной х₀. Геометрически это означает, что среди всех интегральных кривых дифференциального уравнения (1.2) требуется найти ту, которая проходит через заданную точку .Возникает вопрос: при каких условиях решение задачи Коши существует и единственно? Наиболее простые из них дает следующая теорема существования и единственности решения дифференциального уравнения первого порядка. Теорема Коши: Пусть функция f(x, y) непрерывна и имеет непрерывную частную производную в некоторой области D на плоскости хоу. Тогда для любой внутренней точки этой области найдется интервал, содержащий х₀ , на котором существует единственное решение уравнения y’ = f(x, y), удовлетворяющее условию у = у₀ при х = х_{0. .} Геометрический смысл теоремы. Теорема означает, что через каждую внутреннюю точку области D обязательно проходит интегральная кривая уравнения (1.2) и эта кривая единственна в пределах области D. (Никакой другой интегральной кривой через точку в пределах области D не проходит). Из теоремы следует, что дифференциальное уравнение (1.2) имеет бесчисленное множество решений, так как через каждую внутреннюю точку области D проходит интегральная кривая. Определение 1. Пусть в области D правая часть дифференциального уравнения (1.2) f(x, y) удовлетворяет условиям теоремы Коши. Функция , которая зависит от одного произвольного постоянного С, называется общим решением дифференциального уравнения y’ = f(x, y) в области D, если она удовлетворяет следующим двум условиям: 1) функция удовлетворяет дифференциальному уравнению при любом численном значении постоянной С; 2) для любой внутренней точки существует единственное значение постоянной С=С₀ , такое, что решение удовлетворяет начальному условию у = у₀ при х = х_0. При решении дифференциального уравнения не всегда удается получить общее решение в явном виде . Равенство вида Ф(х, у, С) = 0, неявно задающее общее решение, называется общим интегралом дифференциального уравнения. Определение 2 Любая функция , которая получается из общего решения при конкретном значении С=С_0, называется частным решением дифференциального уравнения. Соотношение = 0 называется частным интегралом дифференциального уравнения.

2.Формула Грина

Эта формула устанавливает связь между двойным интегралом по плоской области D и криволинейным интегралом по границе этой области.

Теорема.

Пусть D – простая область, ограниченная замкнутым контуром Г. В области D заданы функции P(x;y) и Q(x;y) непрерывные и имеющие непрерывные частные производные

и . Тогда справедлива формула

(1)

При этом контур Г проходит в положительном направлении.

Доказательство

Рассмотрим сначала область D, правильную вдоль оси Oy (рис2) и укажем, что

(2)

Двойной интеграл преобразуем в повторный и выполним внутреннее интегрирование.

(3)

Каждый из двух определенных интегралов правой части формулы (3) можно рассматривать как криволинейный интеграл по соответствующей дуге

(4)

(5)

Заметим, что (6)

Так как вдоль вертикальных отрезков dx=0

Учитывая равенства (4),(5),(6), из равенства (3) получим

Формула (2) справедлива и для любой области, которую можно разложить на конечное число областей, правильных вдоль оси Oy. Аналогично можно доказать, что

(7)

Для области D, правильной вдоль оси Ox, и, следовательно, для любой области, которую можно разложить на конечное число областей, правильных вдоль оси Ox.

Пусть область D такова, что ее можно разложить как на конечное число областей, правильных вдоль оси Oy, так и, независимо от этого, на конечное число областей, правильных вдоль оси Ox. Будем называть такую область D простой. Для простой области справедливы, как это доказано, формулы (2) и (7). Складывая эти формулы, получим формулу (1)