Лекции - Цирельсон - 2000 / tsyrelsonlecturesatom / atom / atom_6
.htm1 1.6 Атомные орбитали и их характеристики
Точное значение нормированной радиальной функции Rn,l для водородоподобного атома дается выражением:
где - нормировочный множитель, зависящий от Z, n и l,
- присоединенные полиномы Лягерра,
- радиус Бора; a0=0.529177·10-10м, l= 0,1,2,3,..., .
Выражение (1.36) есть решение радиального уравнения Шредингера , конкретный вид которого возник после разделения переменных в сферических координатах. Несколько первых полиномов Лягерра, описывающих основное (n = 1) и первые возбужденные (n = 2, n = 3) состояния, приведено в таблице 1.2, их зависимость от r изображена на рис. 1.2, 1.3.
Рис.1.2. Радиальные составляющие 1s (a), 2 s (b), 3 s (c) орбиталей атома водорода.
Отметим некоторые свойства радиальных функций.
1) Как следствие свойств полиномов Лягерра, радиальные функции с различными n и l ортогональны.
2) Имеются точки (поверхности), где функции Rn,l (r) обращаются в нуль; они называются узловыми точками (поверхностями) или просто узлами. Вероятность найти электрон в узле равна нулю.
Таблица 1.2. Радиальные функции (нормированные функции Rn,l ( r ))
n
l
Rn,l ( r )
1
0
2
0
1
3
0
1
2
Радиальные функции с (n=1, l=0), (n=2, l=1), (n=3, l=2) и т.д. не имеют узловых точек; функции с (n=2, l=0), (n=3, l=1) и т.д. имеют одну узловую точку; функция с (n=3, l=0) – две узловые точки. Таким образом, число узлов радиальной функции равно (n-l-1).
3) Вероятность нахождения электрона в пространстве между значениями r и r+dr (слое) равна:
(из-за ортонормированности угловых функций - см. ниже -.
Функция Pnl (r), определяющая плотность вероятности нахождения электрона на расстоянии r от ядра, называется радиальной функцией распределения (см. рис.1.4)
Приравнивая нулю производную Pnl по r, можно найти наиболее вероятное положение электрона на соответствующей орбитали. Для основного состояния атома водорода оно равно радиусу Бора .
4) Вблизи ядра электрон-ядерный потенциал (1.5) становится неопределенным из-за стремления знаменателя к нулю. Чтобы волновая функция на ядре была конечна и не равна нулю, необходимо, чтобы ее радиальная часть удовлетворяла асимптотическому условию
(¶ R/¶ r)| r® 0 = -(Z/a0)Rr® 0 . (1.38)
5) На больших расстояниях от ядра атомная орбиталь зависит от r как
R ~ exp [ -(2I1)1/2 r], (1.39)
где I1 - первый потенциал ионизации.
Угловые функции Ylm (q , j ) - собственные функции оператора квадрата углового момента L2 - описывают в сферических координатах (q , j ) угловую зависимость вероятности нахождения электронов в центральном поле атома. Они представляют собой сферические гармоники:
Ylm(q, j) = (-1)(m+|m| )/2{[(2l+1)/4p](1-| m| )! / (1+| m| )!}1/2 (cosq)exp(imj) (1.40)
где l=0,1,2,..; m=-l, ...+l, (cosq ) - присоединенные полиномы Лежандра.
Это комплексные ортонормированные функции, из которых легко построить действительные комбинации, оставляющие АО собственными функциями того же одноэлектронного уравнения:
ylm+ = (1/)[Ylm+ Yl-m),
ylm- = -(i/)[Ylm- Yl-m), l=0,1,2, ... , m=0,1,2 , ... , l (1.41)
Таблица 1.3. Угловые части волновой функции атома, обладающего центральным полем.
l
m
ylm
Линейная
комбинация
обозначение
0
0
-
s
1
0
-
pz
1
± 1
py
1
± 1
px
2
0
-
dz2
2
± 1
dxz
2
± 1
dyz
2
± 2
dx2-y2
2
± 2
dxy
Как видно из таблицы 3 и рисунков 5 и 6, действительные угловые функции имеют простую интерпретацию в декартовых координатах. Для них, также как и для радиальных функций, характерно наличие узлов и узловых плоскостей.
При классификации электронных состояний атома придерживаются следующих представлений. Главное квантовое число n характеризует энергию орбитали. Орбитальное квантовое число l характеризует угловую зависимость орбитали (орбитальный момент). Для каждого l приняты свои обозначения (таблица 1.4 ).
Таблица 1.4. Обозначения орбиталей с различными угловыми зависимостями.
l
0
1
2
3
4
5
Символ
s
р
d
f
g
h
Важно понимать, что как результат приближения центрального поля угловая зависимость АО всех атомов одинакова!