П.9 Абсолютные величины и логарифмы

Абсолютная величина числа есть функция f(x), определяемая следующим правилом:

f(x) =

x, —x,

если x  0, если x < 0.

Поэтому абсолютную величину числа можно найти, опустив знак числа. Функция, показывающая абсолютную величину числа, обычно записывается как x43.

Логарифм (натуральный), или log x, описывает конкретную функцию x, которую мы записываем в виде y = lnx, или y = ln(x). Логарифмическая функция есть единственная функция, обладающая свойством

ln(xy) = ln(x) + ln(y)

для всех положительных чисел x и y и свойством

ln(e) = 1.

(В этом последнем уравнении e есть основание натуральных логарифмов, равное 2,7183...). Если выразить это словами, то логарифм произведения двух чисел есть сумма логарифмов сомножителей. Это свойство подразумевает другое важное свойство логарифмов:

ln(x^y) = 44y ln(x),

говорящее о том, что логарифм x, возведенный в степень y, равен y, умноженному на логарифм x.

П.10 Производные

Производная функции y = f(x), по определению, есть

=.

В словесной формулировке производная есть предел скорости изменения y относительно x при изменении x, стремящемся к нулю. Производная придает точный смысл фразе "скорость изменения y относительно x для малых изменений x". Производную f(x) относительно x также обозначают f'(x).

Как мы уже видели, скорость изменения линейной функции y = ax + b постоянна. Поэтому для этой линейной функции

= a.

Для нелинейной функции скорость изменения y относительно x обычно зависит от x. Как мы видели, в случае f(x) = x²45 46. Применяя определение производной, получаем

=2x + Dx = 2x.

Таким образом, производная от x²47 по x есть 2x.

С помощью более продвинутых методов можно показать, что если y = lnx, то

=.

П.11 Вторые производные

Вторая производная функции есть производная производной от этой функции. Если y = f(x), то вторую производную f(x) по x записывают как d ² f(x)/dx²48, или как f''(x). Мы знаем, что

= 2

= 2x.

Поэтому

== 0

== 2.

Вторая производная измеряет изгиб функции. Функция, вторая производная которой отрицательна в некоторой точке, вогнута вблизи этой точки; ее наклон убывает. Функция, вторая производная которой положительна в некоторой точке, выпукла вблизи этой точки; ее наклон возрастает. Функция, вторая производная которой в некоторой точке равна нулю, горизонтальна вблизи этой точки.

П.12 Правило взятия производной произведения и цепное правило

Предположим, что и g(x), и h(x) являются функциями x. Мы можем определить функцию f(x), представляющую собой их произведение, как f(x) = g(x)h(x). Тогда производная f(x) задается выражением

49.

Если даны две функции y = g(x) и z = h(y), то сложная функция есть

f(x) = h(g(x)).

Например, если g(x) = x²50 и h(y) = 2y + 3, то сложная функция есть

f(x) = 2x² + 3.51

Цепное правило гласит, что производная сложной функции f(x) по x задается выражением

=.

В нашем примере dh(y)/dy = 2 и dg(x)/dx = 2x, поэтому, согласно цепному правилу df(x)/dx = 2  2x = 4x52. Прямой подсчет подтверждает, что это производная функции f(x) = 2x² + 353.