П.13 Частные производные

Предположим, что y зависит и от x₁54, и от x₂55, так что y = f(x₁, x₂)56. Тогда частная производная f(x₁, x₂)57 по x₁58 определяется формулой

=.

Частная производная f(x₁, x₂)5960 по x₁61 есть просто производная этой функции по x₁62 при неизменной величине x₂63. Аналогичным образом частная производная этой функции по x₂64 есть

=.

Частные производные обладают в точности теми же свойствами, что и обычные производные; лишь название производных изменено, чтобы не смущать простаков (людей, никогда в жизни не видавших знака 65).

Взятие частных производных, в частности, подчиняется цепному правилу, но с дополнительным нюансом. Предположим, что и x₁66, и x₂67 зависят от некоторой переменной t и что мы определяем функцию g(t) как

g(t) = f(x₁(t), x₂(t)).

Тогда производная g(t) по t задается выражением

=+.

Изменение t влияет и на x₁(t)68, и на x₂(t)69. Поэтому нам нужно подсчитать производную f(x₁, x₂)707172 по обоим указанным изменениям.

П.14 Оптимизация

Если y = f(x), то f(x) достигает максимума при x*73, если f(x*)  f(x)74 для всех x. Можно показать, что если f(x) — гладкая функция, достигающая своего максимального значения при x*75, то

= 0

 0.

Эти выражения называют условием первого порядка и условием второго порядка для максимума. Условие первого порядка говорит о том, что при x*76 функция горизонтальна, а условие второго порядка — о том, что вблизи x*77 функция вогнута. Ясно, что если при x*78 функция в самом деле достигает максимума, то оба этих условия должны соблюдаться.

Мы говорим, что f(x) достигает своего минимального значения при x*79, если для всех x f(x*)  f(x)8081. Если f(x) есть гладкая функция, достигающая своего минимума при x*82, то

= 0

 0.

Условие первого порядка по-прежнему означает, что при x*83 функция горизонтальна, в то время как условие второго порядка означает, что вблизи x*84 функция выпукла.

Если y = f(x₁, x₂)85 есть гладкая функция, которая достигает своего максимума или минимума в некоторой точке (, 86), то должны удовлетворяться условия

= 0

= 0.

Эти условия называются условиями первого порядка. Существуют и условия второго порядка для этой задачи, однако, описать их сложнее.

П.15 Оптимизация при ограничениях

Часто нам требуется рассмотреть максимум или минимум некоей функции при соблюдении каких-то ограничений в отношении допустимых значений (x₁, x₂87). Запись

max f(x₁, x₂)

x₁, x₂88

при g(x₁, x₂) = c 89

означает:

найти такие 90 и 91, при которых f(, )  f(x₁, x₂) для всех значений x₁92 и x₂93, удовлетворяющих уравнению g(x₁, x₂) = c9495.

Функцию f(x₁, x₂)96 называют целевой, а уравнение g(x₁, x₂) = c97 — ограничением. Методы решения такого рода задачи максимизации при ограничениях описаны в приложении к гл.5.