Для многих задач небесной механики силовую функцию планеты аппроксимируют только зональными гармониками. В этом случае мы предполагаем, что рассматриваемая планета есть тело вращения и зависимость силы притяжения от долготы точки, для которой берется силовая функция, отсутствует. Тогда гравитационный потенциал записывают в виде

(5.22)

где	Эту постоянную относят к фундаментальным постоянным.
Если планета представляет собой тело вращения, то		и	.

Она зависит лишь от моментов инерции, то есть от моментов масс второго порядка. Остальные коэффициенты называют мультипольными моментами массы. Они не имеют столь ясного механического смысла.

5.4 Потенциал тяжести

Силовую функцию удельной силы тяжести обычно называют потенциалом силы тяжести. Под силой тяжести часто понимают силу, с которой всякое тело притягивается к Земле (см., например, Л.В.Сорокин "Гравиметрия и гравиметрическая разведка", Гостоптехиздат, М., 1953). Молчаливо предполагается, что это тело имеет массу, равную единице. Поэтому речь идет об удельной силе тяжести. Кроме того, наблюдения за действием силы проводятся во вращающейся вместе с Землей системе координат, то есть в неинерциальной системе отсчета. На пробное тело, если нет специальных оговорок, действуют лишь две физические силы: сила притяжения со стороны Земли и упругая сила реакции опоры. Результирующая этих двух сил не равна нулю. Суммы их дает как раз ту силу, которая сообщает пробному телу ускорение, с которым тело совершает движение по круговой траектории в процессе суточного вращения. Согласно третьему закону механики пробное тело взаимодействует с опорой, оно давит на опору с той же самой силой, что и опора давит на тело. Тяжесть пробного тела создает реакция опоры (подставки). Эту силу называют весом тела. Очевидно, что вес тела есть сила,

равная равнодействующей силы притяжения и силы инерции, которую принято называть центробежной силой. Итак, удельная сила тяжести есть вес тела единичной массы, неподвижной относительно поверхности Земли (или какой-либо другой планеты). Удельная сила имеет размерность ускорения, поэтому часто вместо термина удельная сила тяжести говорят ускорение силы тяжести. На английском языке ускорение силы тяжести называют gravity, на немецком -- schwehre, в обоих случаях эти слова обозначают тяжесть.

Для того, чтобы записать потенциал силы тяжести, необходимо потенциал силы притяжения сложить с силовой функцией для центробежной силы. Эту силовую функцию в дальнейшем будем называть потенциалом тяжести:

где -- силовая функция для центробежной силы инерции, которую мы условно будем называть центробежным потенциалом. Если ось Оz выбрать так, чтобы она строго совпадала с осью вращения Земли, то центробежный потенциал будет иметь вид

или в сферических координатах

(5.23)

Поверхностью уровня, то есть поверхностью равного потенциала (эквипотенциальной поверхностью) называют поверхность, имеющей уравнение

.

В отличие от потенциала притяжения потенциал тяжести не является гармонической функцией, ибо

поэтому вне тела, ограниченного поверхностью , будет иметь место равенство

(5.24)

5.5 Пределы Пуанкаре и Крудели для угловой скорости вращения. Фигуры равновесия

Поверхность фигуры равновесия определяется формулой . Она совпадает с поверхностью уровня. Потенциал тяжести на этой поверхности -- постоянная величина. Однако, для того, чтобы это тело существовало, необходимо, чтобы сила тяжести была направлена внутрь этого тела. Иными словами, нормальная производная потенциала (силовой функции) должна быть отрицательна:

. Применим формулу Остроградского

(5.25)

Внутри тела потенциал притяжения не является гармонической функцией, ибо

. Поэтому

. Перепишем формулу (5.25) в виде

где М -- масса планеты, а Т -- ее объем. Условие сохранение планет, как твердого тела -- положительное значение силы тяжести, поэтому левая часть полученного равенства

отрицательна.	Следовательно	. Отсюда следует, что	угловая	скорость
планеты не может превосходить величины		, где	--	средняя
плотность планеты. Это есть предел Пуанкаре для угловой скорости вращения планеты.
Для Земли	,	, то есть предельный период

вращения для Земли составляет 4125 с=1,14 час.

Предел Пуанкаре не гарантирует устойчивость покоя всех тел, лежащих на

поверхности. Может так случиться, что , но на отдельных участках поверхности сила тяжести отрицательна, то есть направлена вверх! Устойчивость покоя тел будет обеспечена, если поверхность уровня, совпадающая с поверхность

планеты, будет всегда выпуклой. Для этого условия итальянский ученый Крудели для

однородной планеты снизил предел для скорости вращения в раз: . Период вращения Земли согласно пределу Крудели не должен быть меньше

1,61 часа.

Лекция 6. Нормальная Земля

•6.1 Нормальный потенциал тяжести

•6.2 Сфероид Клеро

•6.3 Теорема Стокса

•6.4 Гравитационный потенциал эллипсоида вращения

Термин нормальная Земля -- традиционный среди специалистов-геодезистов. Слово нормальная применительно к силе тяжести, высоте и т.п. означает, что данный параметр является предсказуемым. Его можно вычислить по известным формулам. Нормальная Земля -- это тело отсчета для построения карт высот, глубин морей и т.д. Причем, это тело должно описываться достаточно простыми математическими формулами и, кроме того, достаточно хорошо аппроксимировать физическую поверхность планеты.

6.1 Нормальный потенциал тяжести

Общепризнанно, что наиболее удобным геометрическим телом для модели Земли является общеземной эллипсоид (ОЗЭ) -- уровенный эллипсоид вращения. Его

гравитационный потенциал (потенциал тяжести!) называют нормальным потенциалам. Условие для выбора параметров нормальной Земли:

1.Центр масс и ось вращения нормальной Земли совпадают соответственно с центром масс и осью вращения реальной Земли.

2.Угловая скорость вращения эллипсоида и реальной Земли совпадают.

3.Масса эллипсоида равна массе Земли.

4.Зональный коэффициент разложения потенциала второй степени реальной Земли равен соответствующему коэффициенту нормальной Земли.

Обозначения параметров нормальной Земли мы будем отмечать верхним или нижним индексом "0".

Итак, потенциал тяжести реальной Земли имеет вид

(6.1)

где -- средний экваториальный радиус Земли. Учитывая, что потенциал эллипсоида вращения содержит только зональные гармоники можно записать

(6.2)

Условие для выбора параметров нормальной Земли:

Эти четыре параметра подлежат уточнению, по мере накопления новых данных. Астрономо-геодезические исследования нуждаются в единой системе фундаментальных постоянных. Такая система обычно устанавливается на крупных международных собраниях ученых. На Генеральной Ассамблее Международного Астрономического Союза (МАС) в 1976 г принято

Несколько позже мы докажем замечательную теорему Стокса, которая утверждает, что, если известна поверхность планеты, являющаяся поверхностью уровня, которая охватывает все массы, известна также планетоцентрическая гравитационная постоянная и угловая скорость вращения , то гравитационное поле может быть однозначно определено во внешнем пространстве. Число параметров, определяющих эллипсоид вращения равно двум (большая и малая полуоси). Следовательно всего нам нужно знать четыре параметра, остальные определяются через геоцентрическую гравитационную постоянную, угловую скорость вращения, большую полуось и сжатие планеты. В формулу (6.2) входят бесчисленное

множество параметров. Однако теория показывает, все стоксовы постоянные определяются через уже упомянутые четыре параметра.

Поскольку последовательность для гидростатически равновесных фигур убывает достаточно быстро, часто в формуле (6.2) для нормального потенциала ограничиваются только первым членом суммы. Тогда нормальный потенциал тяжести принимает вид

(6.3)

Отбрасывание малых членов в разложении потенциала приводит к тому, что

поверхность где -- постоянная величина, уже перестает, строго говоря, быть эллипсоидом. Такую поверхность, близкую к сфере, называют

сфероидом.

Перепишем уравнение сфероида в следующем виде

(6.4)

Введем обозначение				. Формула (6.4) теперь принимает вид

Поскольку и -- малые величины, уравнение сфероида можно представить так

(6.5)

где -- сжатие планеты. Пренебрегая величинами порядка , уравнение сфероида (6.4) можно упростить. Заметим, что

следовательно,

Сравнивая полученное выражение с (6.5), получим

								(6.6)
Таким образом, сжатие равновесной планеты зависит							от стоксовой	постоянной
и безразмерной угловой скорости							вращения	,

которая имеет простой физический смысл: это отношение центробежной силы на экваторе к величине, достаточно близкой к силе тяжести на экваторе. Такой гидростатически равновесный сфероид носит название сфероида Клеро, по имени французского математика, работавшего над теорией равновесных фигур планет.

Сжатие для сфероида Клеро можно записать и так

где	-- среднее значение из двух экваториальных	моментов инерции.
Четырьмя фундаментальными постоянными, в данном случае, являются		.

При выводе формулы для сжатия планеты мы не пользовались никакими гипотезами о ее строении. Клеро же рассматривал гидростатически равновесную модель, полагая, что массы распределены в виде тонких сфероидальных слоев. Им построена не только зависимость сжатия планеты от ее угловой скорости вращения, но и сжатии внутренних слоев. Показано, что эти сжатия уменьшаются по мере приближения к центру планеты.

Остается определить закон изменения силы тяжести с широтой на сфероиде Клеро также с точностью до сжатия. Из формулы (6.3) следует Сила тяжести на экваторе

Сила тяжести на полюсе