Отношение иногда называют гравитационное сжатие. Из приведенных выше формул следует

6.2 Сфероид Клеро

Эта теорема устанавливает связь геометрического и гравитационного сжатия с угловой скоростью вращения планеты. Из приведенных формул следует, что

Заметим, что сумма геометрического и гравитационного сжатия в первом

приближении не зависит от второго гармонического коэффициента , а зависит лишь от , и .

6.3 Теорема Стокса

Эта теорема доказывает единственность внешней краевой задачи теории потенциала. Другими словами, если некоторое тело равномерно вращается с известной угловой скоростью, его поверхность, являющаяся поверхностью уровня, которая охватывает всю массу, также известна, то потенциал тяжести и его первые производные будут однозначно определены как на поверхности , так и во всем внешнем пространстве.

Теорема доказывается от противного. Предположим, что существует два различных

потенциала тяжести		и	, которые принимают на поверхности		постоянные
значения и	.	Таким образом,		,	,	где черта
сверху означает,	что значения функции			относятся к поверхности	.	Поскольку

потенциал тяжести есть сумма потенциала тяготения и центробежного потенциала, то

Обозначим разность . Полученная функция гармоническая, так как потенциал притяжения -- гармоническая функция, удовлетворяющая во внешнем пространстве уравнению Лапласа.

Применим первую формулу Грина (см. лекцию 3, раздел 3.1.2???) для случая, когда

и	.	Выберем, в качестве "тела" по которому нужно выполнить
интегрирование	--	пространство, лежащее между поверхностью и сферой с

очень большим радиусом, так чтобы наша поверхность была целиком внутри сферы. Обозначим это пространство через . Теперь первая формула Грина будет выглядеть следующим образом

(6.7)

Знак минус между интегралами в правой части полученной формулы означает лишь то, что внешняя нормаль для одной поверхности является внутренней для другой

поверхности. Рассмотрим последний интеграл. Функция на поверхности -

- постоянная величина, равная		, поэтому

Однако, поскольку функция Т является гармонической, интеграл по замкнутой поверхности от нормальной производной, согласно теореме о потоке (см. лекцию 3, раздел 3.2.2), равен нулю.

Рассмотрим теперь второй интеграл в правой части выражения (6.7). Производная по нормали к сфере есть производная по радиус-вектору. Поскольку для очень

большого радиуса исходное тело можно считать материальной точкой, то							.
Аналогично		, где -- постоянная величина. Отсюда следует

В левой части равенства (6.7) нужно положить , так как -- функция гармоническая, поэтому это выражение принимает вид

Поскольку подынтегральное выражение не может быть отрицательным ни при каких значениях координат, остается сделать вывод, что -- постоянная величина во всем внешнем пространстве. Но на сфере с бесконечно большим радиусом она равна нулю и в силу непрерывности она равна нулю и на поверхности . Таким образом

T(x,y,z)=0 во всем внешнем пространстве, то есть	, что и
доказывает теорему.

6.4 Гравитационный потенциал эллипсоида вращения

Рассмотрим случай, когда уровенная поверхность есть эллипсоид вращения. Уравнение этой поверхности в декартовых координатах имеет вид

Перейдем к гиперболической системе координат (см. лекцию 2, раздел 2.4)

Как мы видели, уравнение эллипсоида вращения с полуосями						,
имеет вид	. Для определения потенциала притяжения на
поверхности уровенного эллипсоида

Итак, нам известен потенциал притяжения на поверхности эллипсоида. Требуется определить его во всем внешнем пространстве. Поскольку потенциал притяжения -- гармоническая функция, она подчиняется дифференциальному уравнению Лапласа, которое можно написать в виде

где -- коэффициенты Ламе. Определим их

(6.8)

Вычислим отношения коэффициентов Ламе, стоящие в дифференциальном уравнении Лапласа

(6.9)

Итак, уравнение Лапласа для функции принимает вид

(6.10)

Полученное дифференциальное уравнение линейно, поэтому будем искать решение в виде суммы гармонических функций. В силу осевой симметрии эллипсоида вращения и того, что граничные условия не зависят от переменной -- аналога долготы, то и решение уравнения не должно содержать этой переменной. Иными словами ищем решение в виде

где	-- постоянные, которые нужно определить из краевых условий, а	--
гармонические функции, удовлетворяющие уравнению Лапласа

(6.11)

Как и в случае решения дифференциального уравнения для сферических функций, будем искать решение в виде произведения двух функций, каждая из которых является функцией одной переменной

(6.12)

Подставим решение, заданное в виде (6.12) в уравнение (6.11) и поделим

полученное уравнение на :

Полученное уравнение справедливо при любых значениях независимых переменных. Это возможно лишь в том случае, когда обе части этого уравнения равны одной и той же постоянной. Обозначим эту постоянную через . Получим два дифференциальных уравнения

(6.13)

Покажем, что первое из приведенных здесь уравнений при есть уравнение для полиномов Лежандра (см. лекцию 3, уравнения (3.24)-(3.26)), то есть

		(6.14)
Положим	,			, тогда вместо первого из уравнений (6.13) будем
иметь

или

(6.15)

Уравнение (6.15) совпадает с уравнением для полиномов Лежандра (см. лекцию 3, формула (3.24))

Итак, решением уравнения Лапласа в гиперболической системе координат будет функция

(6.16)

которая на поверхности эллипсоида принимает значения

(6.17)

При выводе формулы (6.17) мы приняли во внимание, что					.
Сравнивая левую и правую части формулы (6.17) мы приходим к выводу, что
					(6.18)

Итак, в формуле (6.16) для потенциала притяжения эллипсоида отличные от нуля

только коэффициенты и , поэтому строгое выражение для потенциала в гиперболических координатах можно записать в виде

(6.19)

Остается определить функции и . Как следует из уравнений (6.13),

функцию можно определить, решив второе из названных уравнений при

и при

:

(6.20)

Полученным дифференциальным уравнениям удовлетворяют функции

в чем можно убедится простой подстановкой в уравнения (6.20).

Избавимся теперь от гиперболических функций, полученных нами при решении дифференциальных уравнений. Как мы уже говорили, переменная определяет семейство софокусных эллипсоидов. Возьмем некоторую точку на оси вращения

эллипсоида, находящуюся на расстоянии от центра. Тогда для этой точки ,

. Заменим переменную на :

(6.21)

Итак, потенциал притяжения в произвольной точке вне эллипсоида имеет вид

(6.22)

Коэффициенты и определим из краевого условия

Заметим, что	,	, после соответствующих
преобразований получим

(6.23)

Формулы (6.22) и (6.23) определяют потенциал притяжения эллипсоидальным телом материальной точки, лежащей на поверхности софокусного эллипсоида

Зная координаты точки и полуоси эллипсоида и легко определить

параметр , а следовательно и малую полуось эллипсоида, проходящего через заданную точку.

Из приведенных формул видно, что потенциал притяжения содержит лишь четыре

независимых параметра и . Эти четыре параметра абсолютно строго определяют потенциал притяжения эллипсоидальным телом материальной точки, лежащей во вешнем пространстве, при любом распределении масс внутри тела лишь бы его поверхность оставалась поверхностью уровня.

6.4.1 Связь коэффициентов разложения потенциала притяжения с четырьмя фундаментальными постоянными

Потенциал тела вращения при осевой симметрии распределения масс может быть представлен в виде разложения по зональным гармоникам. Дополнительное предположение о плоскости экватора как о плоскости симметрии приводит к тому, что это разложение будет представлено только четными зональными гармониками:

(6.24)

Четность гармоник, возможно, не очевидна. Но обратимся к здравому смыслу. Если эллипсоид вращения -- симметричное относительно экватора тело, то и массы его должны быть распределены симметрично. В противном случае возникнет "грушевидность", что приведет к тому, что поверхность эллипсоида перестанет быть поверхностью уровня. Более корректные рассуждения проводятся с позиции теории фигур равновесия небесных тел, в которой существование экватора, как плоскости симметрии, доказано вполне строго.

Формула (6.24) содержит бесконечное число параметров, хотя их должно быть

только четыре. Отсюда следует, что коэффициенты можно выразить через другие фундаментальные постоянные.

Не будем приводить здесь довольно громоздких выкладок, которые можно найти в книге Л.П.Пеллинена "Высшая геодезия" М., Недра, 1978. Там показано, что

где и соответственно первый и второй эксцентриситеты эллипсоида. Например,