Закон двойного отрицания

Этот закон выражается тавтологией:

≡А

двойное отрицание высказывания эквивалентно самому высказыванию.

Закон двойного отрицания можно проверить таблицей истинности:

А
0	1	0
1	0	1

Пример: высказывание А=”Сегодня пятница”,

высказывание =”Сегодня НЕ пятница”,

высказывание =“ Неверно, что сегодня НЕ пятница ”.

Высказывание “ Неверно, что сегодня НЕ пятница ”полностью эквивалентно исходному высказыванию”Сегодня пятница”.

Закон контрапозиции

Этот закон выражается тавтологией:

(A=>B) ≡ (=>)

если из одного высказывания следует второе высказывание, то из отрицания второго высказывания следует отрицание первого высказывания.

Закон контрапозиции находит широкое применение в косвенных доказательствах “отпротивного”.

Пример: высказывание А=”Сегодня пятница”,

высказывание В=”Завтра суббота”,

высказывание A=>B=“ Если сегодня пятница, то завтра суббота”.

высказывание =>=“Если завтра НЕ суббота, то сегодня НЕ пятница”.

Последнее высказывание эквивалентно высказыванию “ Если сегодня пятница, то завтра суббота”.

Закон расширенной контрапозиции

Этот закон выражается тавтологией:

(A&B=>C) ≡ (A&=>)

если из одновременной истинности двух высказываний следует третье высказывание, то из одновременной истинности первого и отрицания третьего высказывания следует отрицание второго высказывания.

Пример: высказывание А=”Сегодня 31 число”,

высказывание В=”Сейчас декабрь”,

высказывание С=”Завтра Новый Год”,

высказывание (A&В)=>С =”Если сегодня 31 число И сейчас декабрь, то завтра Новый Год”,

высказывание (A&=>) =Если сегодня 31 число И завтра НЕ Новый Год, то сейчас НЕ декабрь”.

Закон перестановки посылок

Этот закон выражается тавтологией:

A=>(B=>C) ≡ B=>(A=>C)

если из первого высказывания следует, что из второго высказывания следует третье, то из второго высказывания следует, что из первого высказывания следует третье.

Пример: высказывание А=” Сейчас декабрь ”,

высказывание В=” Сегодня 31 число”,

высказывание С=” Завтра Новый Год”,

высказывание A=>(B=>C) =”Если сейчас декабрь, то если сегодня 31 число, то завтра Новый Год”,

высказывание B=>(A=>C) = Если сегодня 31 число, то если сейчас декабрь, то завтра Новый Год”.

Закон силлогизма

Этот закон выражается тавтологией:

(A=>B )& (B=>C) ≡ (A=>C)

если из первого высказывания следует второе, а из второго третье, то из первого высказывания следует третье.

Пример: высказывание А=”Он сдает все работы в срок ”,

высказывание В=”Он получает зачет”,

высказывание С=” Он едет на каникулы”,

высказывание (A=>B )& (B=>C ) =”Если он сдает все работы в срок, то он получает зачет, И если он получает зачет, то он едет на каникулы”,

эквивалентно высказыванию (A=>C) =” Если он сдает все работы в срок, то он едет на каникулы”.

Закон де Моргана

Этот закон широко используется при минимизации переключательных функций и выражается формулами:

≡&

≡+

отрицание любого сложного высказывания эквивалентно сложному высказыванию, в котором исходные знаки дизъюнкции заменены знаками конъюнкции, знаки конъюнкции – знаками дизъюнкции, и все составляющие его аргументы – их отрицаниями.

Пример 1: высказывание А – любое,

высказывание В=.

Тогда === 0, (под знаком отрицания – закон исключенного третьего)

&=&=&A = 0.

Пример 2: высказывание А=”Число заканчивается на 0”,

высказывание В=”Число заканчивается на 5”.

Тогда высказывание A + B =”Число заканчивается на 0 ИЛИ число заканчивается на 5”.

Это признак делимостичисла на5.

Тогда признак неделимостичисла на5 формулируется так =&=”Число НЕ заканчивается на 0 И число НЕ заканчивается на 5”.

Кроме законов, выраженных тавтологиями, в алгебре логики рассматриваются законы (теоремы), позволяющие упростить или преобразовать сложные логические выражения.

К таким законам относятся следующие:

- коммутативный(переместительный) закон:

A + B ≡ B + A

A & B ≡ B & A

- сочетательныйзакон:

A + (B + C) ≡ (A + B) + C

A & (B & C) ≡ (A & B) & C

- распределительныйзакон:

A & (B + C) ≡ A & B + A & C

A + B & C ≡ (A + B) & (A + C)

- закон поглощения:

A + A&B = A&(1 + B) = A

A&(A + B) = A&A + A&B = A + A&B = A&(1 + B) = A

- закон склеивания:

A&B + A& = A&(B + ) = A&1 = A

- две формы закона идемпотентности:

A + A = A

A & A = A

Кроме этих законов, в алгебре логики рассматриваются следующие соотношения:

A + 0 = A

A + 1 = 1

A & 0 = 0

A & 1 = A

Любую формулу алгебры логики можно представить таблицей истинности, перебрав все значения ее аргументов:

F = A& + A&B

A	B	F
0	0	0
0	1	0
1	0	1
1	1	1

Любую таблицу истинности можно представить формулой алгебры логики:

A	B	F
0	0	1
0	1	0
1	0	1
1	1	0

Оставляем в таблице только те строки, в которых значение функции истинно:

A	B	F
0	0	1
1	0	1

Составляем сумму произведений аргументов, причем если значение аргумента ложно, то записываем его с отрицанием:

F = &+A&

Далее можно упростить эту формулу:

F = &+A&=&(+A) = & 1 =