Линейный коэффициент корреляции
В случае линейной зависимости между двумя коррелируемыми величинами тесноту связи измеряют линейным коэффициентом корреляции (r), который может быть рассчитан по нескольким формулам:
1.
где а1- коэффициент регрессии в управлении связи;
σх- среднее квадратическое отклонение факторного признака;
σу- среднее квадратическое отклонение результативного признака.
2.
3.
Рассчитаем линейный коэффициент корреляции по разным формулам:
|
основные произв. фонды, млн.р. х |
валовая продукция, млн.р. у |
х2 |
ху |
|
|
1,2 |
2,8 |
1,44 |
3,36 |
1,5 |
|
1,6 |
4,0 |
2,56 |
6,4 |
2,4 |
|
2,5 |
3,8 |
6,25 |
9,5 |
4,3 |
|
3,8 |
6,5 |
14,44 |
24,7 |
7,0 |
|
4,3 |
8,0 |
18,49 |
34,4 |
8,1 |
|
5,5 |
10,1 |
30,25 |
55,55 |
10,6 |
|
6,0 |
9,5 |
36,0 |
57,0 |
11,7 |
|
8,0 |
12,5 |
64,0 |
100 |
15,6 |
|
9,1 |
18,3 |
82,81 |
166,53 |
18,3 |
|
10,0 |
24,5 |
100 |
245 |
20,2 |
|
∑х=52 |
∑у=100 |
∑х2=356,24 |
∑ху=702,44 |
100 |
n
=10
10а0+52а1=100
52а0+356,24а1=702,44
а0=-1,024; а1=2,12
Линейный коэффициент корреляции может принимать значения от -1 до +1
Если r отрицательна – это обратная зависимость между х и у, т.е. с увеличением х уменьшается у и наоборот.
Если r =0 – связь отсутствует между х и у
Если 0 < r < 1 – связь функциональная.
Оценка надежности коэффициента корреляции и коэффициента регрессии
Коэффициент корреляции можно рассчитать и по выборочным данным. В этом случае должна быть рассчитана ошибка коэффициента корреляции μr.
Если n > 50, то этот
показатель определяется по формуле
,
а сам коэффициент корреляции – в пределах
r±3μr.
Если n<50 или значение коэффициента корреляции невелико, то приходится решать вопрос о том, насколько реальна связь между у и х. Это можно определить сопоставляя между собой численные значения r и μr.
1. Если
,
то r считается значимым, а связь реальной.
2. Если
,
то связь между у
и х недоказана, то можно высказать
предположение, что значение коэффициента
корреляции, отличное от 0, получено
случайно.
Аналогично определяется и ошибка корреляционного отношения и его значимость. Необходимо отметить, что при различных значениях отобранных единиц в выборочную совокупность, параметры уравнения регрессии также различны.
Следовательно, в каждом конкретном случае, найдя по эмпирическим данным параметры уравнения регрессии, необходимо определить их возможные ошибки и пределы, в которых эти параметры могут находиться, а также определить значимость (существенность) этих параметров.
Рассмотрим
.
Средняя ошибка (μ) параметра а0 рассчитывается по формуле:
где
(n-2) – число степеней свободы.
можно найти из
правила сложения дисперсий
Разделим обе части уравнения на общую дисперсию
Средняя ошибка параметра а1
Зная среднюю ошибку параметра и задавшись определенной вероятностью, а следовательно, и коэффициентом доверия (t), можно построить, для каждого параметра доверительные интервалы.
Для коэффициента
регрессии:
Значимость (существенность) коэффициента регрессии проверяется путем сопоставления самого параметра (а1), с его средней ошибкой
По значению t в зависимости от объема наблюдений следят о значимости параметра.
Для n>20, если t>3, параметры считаются значимыми.
Для n<20, то обращаются к таблице значений критерия t Стьюдента.
Если tфакт.<tтабл., то параметры считаются значимыми.
Для а1=2,12
средняя ошибка будет равна
При уровне значимости d=0,05, k=10-2=8, tтабл.=2,306
Т.к. фактически t>табличного, то можно сделать вывод о значимости коэффициента регрессии а1.