Построить уравнение линейной регрессии в стандартизированном масштабе.

Его коэффициенты связаны с коэффициентами обычного уравнения регрессии соотношениями

b_i=_или _b_i*

σ_y=9.53 σ_x1=6.36 σ_x3=6.34

_0.347

_=0.91*0.605

и уравнение линейной регрессии в стандартизированном масштабе имеет вид

t_y = 0.347*t_x1 +0.605*t_x3

Информативность факторов.

Так как β1 = 0,367,а β3 = 0,605, то делаем вывод, что фактор β3 более информативен.

Частные коэффициенты корреляции.

Для их вычисления воспользуемся формулой

r_yxi*x1x2..xp=, всоответствии с которой необходимо вычислить величины. В данном примере величину можно взять из табл. А , а величины вычислить, используя соответствующие кэффициенты линейной корреляции r yx1 , r yx3 из корреляционной матрицы в примере лабораторной работы № 3.

0.326

0.104

0.309

В результате получим частные коэффициенты корреляции

r_yx1*x3=0.025

r _yx3*x1=0.248

Оценить значимость частных коэффициентов корреляции при уровнях значимости 0,05 и 0,01.

Вычислим фактические значения частного F-критерия Фишера

F_{част х1}= * =1.06

F_{част х3} = * 13,83

получаем Fфакт,0,05 = 4,073, Fфакт,0,01 = 7,28.

Откуда следует, что F_{част х1} при α = 0,05 и при α = 0,01 не значим, а F_{част х3} значим и при α = 0,05, и при α = 0,01.

Оценить информативность факторов на основе частных коэффициентов корреляции.

Так как оба частных коэффициента значимы, то оба фактора x₁ и x₃ информативны и должны быть включены в уравнение регрессии.

Уравнение регрессии

(из лабораторной работы № 3)

у=0,209*x₁+0,76*x₃-37,612

Проверить гипотезу о гомоскедастичности ряда остатков с уровнем значимости α = 0,05.

Вычислим расчетные значения результативного признака по уравнению регрессии и определим остатки (результаты приведены в таблице исходных данных). Согласно методу Гольдфельда–Квандта, упорядочим

ряд остатков отдельно по фактору x₁ и по фактору x₃. Результаты приведены в

следующей таблице. Цветом отмечены данные, не участвующие в рассмот-

рении. Согласно рекомендациям, их число равно С = 7.

Остатки упорядоченные по х1				Остатки упорядоченные по х3
x1	x3	остатки		x1	x3	остатки
96	77	1,97		103	56	-12,52
99	64	-5,28		99	58	-9,84
99	77	5,6		105	64	-3,03
100	66	-2,55		102	64	-3,65
100	71	11,25		106	64	7,18
102	81	2,27		106	65	-9,06
102	58	-3,21		100	65	1,69
102	66	-6,13		100	65	-7,31
102	73	-8,81		113	66	-11,83
103	81	-18,52		106	66	-29,3
103	73	0,4		111	66	-3,25
104	65	-0,48		106	68	2,22
104	66	-4,72		115	69	-0,14
105	74	3,57		108	70	1,16
105	64	-2,03		102	71	2,67
105	79	-9,63		102	71	-16,33
106	71	2,5		110	71	3,34
106	68	-12,78		106	72	-9,74
106	78	-14,18		111	73	-16,93
106	74	5,78		103	73	4,4
106	64	-0,82		104	73	5,6
106	74	-7,22		105	73	-8,19
107	71	8,71		102	74	9,95
108	87	-7,92		107	74	-18,01
108	56	1,52		96	74	12,69
109	65	8,57		99	74	13,32
109	74	-2,59		109	74	-2,59
109	78	4,45		104	74	0,36
109	76	-11,07		116	75	-10,37
109	74	0,41		106	76	1,3
110	73	-2,14		109	76	-0,07
111	75	2,59		116	76	4,39
111	72	12,31		108	76	14,72
111	77	11,11		109	77	10,69
113	76	-8,23		119	77	-6,22
113	69	6,45		111	77	12,11
114	76	12,97		105	77	11,85
115	74	15,66		120	78	19,75
116	81	12,19		114	78	9,49
116	82	1,95		119	79	0,3
119	70	4,46		109	81	10,73
119	73	2,74		113	81	7,57
120	76	-16,77		121	81	-12,76
121	65	-0,92		124	82	12,62
124	77	9,82		109	87	14,29

Проверим гомокседантичность по фактору х₁ . Построим уравнение регрессии на основе данных верхней части левой таблицы. Получим три таблицы

Таблица Г₁

Множественный R	0,078323003
R-квадрат	0,006134493
Нормированный R-квадрат	-0,064855901
Стандартная ошибка	2,650209811
Наблюдения	16

Таблица Д₁

	df	SS	MS	F	Значимость F
Регрессия	1	0,057557	0,606931	0,086413	0,773100915
Остаток	14	140,574	7,023612
Итого	19	140,6316

Таблица Е₁

	Коэффициенты	Стандартная ошибка	t-статистика
Y-пересечение	103,9816161	6,985193897	14,88600282
Переменная X1	-0,028815733	0,098025741	-0,29396088

P-Значение	Нижние 95%	Верхние 95%	Нижние 95,0%	Верхние 95,0%
5,62974	88,99986524	118,9633669	88,99986524	118,9633669
0,773100915	-0,239060038	0,181428571	-0,239060038	0,181428571

Из табл. Д₁ находим остаточную дисперсию (графа «SS») S1 = 140,574

Построим уравнение регрессии на основе данных нижней части левой таблицы.

Таблица Г₂

Множественный R	0,141069463
R-квадрат	0,019900593
Нормированный R-квадрат	-0,037752313
Стандартная ошибка	4,732829098
Наблюдения	19

Таблица Д₂

	df	SS	MS	F	Значимость F
Регрессия	1	7,731904	7,731904	0,345179	0,56457772
Остаток	17	380,7944	22,39967
Итого	18	388,5263

Таблица Е₂

	Коэффициенты	Стандартная ошибка	t-статистика
Y-пересечение	126,4629904	20,97226817	6,030010172
Переменная X 1	-0,164877868	0,280633784	-0,58751967

P-Значение	Нижние 95%	Верхние 95%	Нижние 95,0%	Верхние 95,0%
1,35171E-05	82,2153727	170,7106081	82,2153727	170,7106081
0,56457772	-0,756963393	0,427207656	-0,756963393	0,427207656

Из табл. Д₂ находим остаточную дисперсию (графа «SS») S2 = 380,79.

Найдем отношение

S2 : S1 = 380,79:140,574=2,71

Определим критическое значение для теста Гольдфельда–Квандта как значение F-критерия со степенями свободы k1 = (n – С – 2р) : 2, k2 = (n – С – 2р) : 2.

В нашем случае С = 7 и p = 2 (переменные x₁ и x₃)

k1 = k2 = 49 – 7 – 2 · 2 =17.

Соответствующее значение критерия при α = 0,05 равно Fфакт,0,05 = 2,31.

Так как S2 : S1 = 2,71 > Fфакт,0,05 = 2,31, то нарушается предпосылка о равенстве дисперсий, т. е. о гомоскедастичности остатков по переменной x2.

б) Проверим гомоскедастичность по фактору x3. Действуя аналогично и

используя правую часть таблицы, получим следующие величины остаточных дисперсий S1 = 308,323, S2 = 569,068.

Так как отношение S2 : S1 = 569,068 : 308,323 = 1,85 < Fфакт,0,05 = 2,31, то

предпосылка о равенстве дисперсий, т. е. о гомоскедастичности остатков по переменной x3, не нарушается.

Вывод.

В ходе работы мы построили уравнение регрессии в стандартизированном масштабе t_y = 0.347*t_x1 +0.605*t_x3 , оценили информативность факторов на основе этого уравнения, получили, что фактор β3 более информативен. Так же вычислили частные коэффициенты корреляции r_yx1*x3=0.025, r _yx3*x1=0.248, получили, что F_{част х1} при α = 0,05 и при α = 0,01 не значим, а F_{част х3} значим и при α = 0,05, и при α = 0,01. Так как оба частных коэффициента значимы, то оба фактора x₁ и x₃ информативны, и поэтому мы их включили в уравнение регрессии, построили уравнение регрессии с учетом информативных факторов у=0,209*x₁+0,76*x₃-37,612.