2.4 Логарифмический критерий
Критерий Найквиста позволяет выяснить устойчивость замкнутой системы не только по АФЧХ, но и по логарифмическим частотным характеристикам разомкнутой системы.
Запишем передаточную функцию для разомкнутой цепи (21)
.
(21)
Амплитудная частотная характеристика разомкнутой системы
Первое звено:
;
;
;
Второе звено:
;
;
;
Третье звено:
;
;
;
Определяем значения сопрягающих частот (22)
. (22)
;
.
.
Логарифмическая амплитудная частотная характеристика разомкнутой системы
.
;
;
;
;
;
.
Логарифмическая
фазовая частотная характеристика
разомкнутой системы
.(23)
- для усилительного
звена; (24)
- для инерционного
звена; (25)
- для усилительного
звена; (26)
-
для инерционного звена. (27)
Значение
результирующей логарифмической фазовой
характеристики разомкнутой системы
(ЛФЧХ)
путем суммирования (24, 25, 26, 27), получим
(28):
. (28)
Подставив численные значения в вышеприведенные формулы, рассчитаем необходимые значения. Результаты вычислений сводим в таблицу 3.
Таблица 3 – Расчет фазовой частотной характеристики
-
w
)
0,01
0
-0,057299981
-90
-0,031514997
-90,08881498
0,02
0
-0,114599847
-90
-0,063029975
-90,17762982
0,03
0
-0,171899484
-90
-0,094544914
-90,2664444
0,04
0
-0,229198778
-90
-0,126059797
-90,35525857
0,05
0
-0,286497613
-90
-0,157574603
-90,44407222
0,06
0
-0,343795874
-90
-0,189089314
-90,53288519
0,07
0
-0,401093449
-90
-0,22060391
-90,62169736
0,08
0
-0,458390221
-90
-0,252118373
-90,71050859
0,09
0
-0,515686077
-90
-0,283632683
-90,79931876
0,1
0
-0,572980901
-90
-0,315146822
-90,88812772
0,2
0
-1,145847237
-90
-0,63027458
-91,77612182
0,3
0
-1,718484578
-90
-0,945364214
-92,66384879
0,4
0
-2,290778772
-90
-1,260396682
-93,55117545
0,5
0
-2,862616075
-90
-1,57535296
-94,43796903
0,6
0
-3,433883288
-90
-1,890214051
-95,32409734
0,7
0
-4,004467894
-90
-2,204960996
-96,20942889
0,8
0
-4,574258181
-90
-2,519574873
-97,09383305
0,9
0
-5,143143381
-90
-2,834036811
-97,97718019
1
0
-5,711013788
-90
-3,148327993
-98,85934178
2
0
-11,31076558
-90
-6,277760884
-107,5885265
3
0
-16,70047432
-90
-9,370075258
-116,0705496
4
0
-21,80301541
-90
-12,40833248
-124,2113479
5
0
-26,567008
-90
-15,37738388
-131,9443919
6
0
-30,96603737
-90
-18,26423521
-139,2302726
7
0
-34,99459776
-90
-21,05825666
-146,0528544
8
0
-38,66265599
-90
-23,75124391
-152,4138999
9
0
-41,99030533
-90
-26,33734991
-158,3276552
10
0
-45,00331476
-90
-28,81291599
-163,8162307
20
0
-63,43962153
-90
-47,72982658
-201,1694481
30
0
-71,57032276
-90
-58,78592717
-220,3562499
40
0
-75,96935213
-90
-65,56087417
-231,5302263
50
0
-78,69586395
-90
-70,02205102
-238,717915
60
0
-80,54361031
-90
-73,14698894
-243,6905993
70
0
-81,8759283
-90
-75,44528138
-247,3212097
80
0
-82,88108834
-90
-77,20142028
-250,0825086
90
0
-83,66597075
-90
-78,58460195
-252,2505727
100
0
-84,29561574
-90
-79,70102399
-253,9966397
110
0
-84,81181799
-90
-80,62041991
-255,4322379
120
0
-85,24263694
-90
-81,3903467
-256,6329836
130
0
-85,60760016
-90
-82,04429216
-257,6518923
140
0
-85,92071179
-90
-82,6064898
-258,5272016
150
0
-86,19227374
-90
-83,09489332
-259,2871671
160
0
-86,43003171
-90
-83,52307828
-259,95311
170
0
-86,63992088
-90
-83,90149497
-260,5414159
180
0
-86,82656517
-90
-84,23831576
-261,0648809
190
0
-86,9936201
-90
-84,54002184
-261,5336419
200
0
-87,14401345
-90
-84,81181799
-261,9558314
210
0
-87,28011771
-90
-85,05793127
-262,338049
Рисунок 9 – Логарифмическая частотная характеристика разомкнутой системы
Если разомкнутая система устойчива, для ее устойчивости в замкнутом состоянии, необходимо и достаточно, чтобы число переходов ЛФЧХ через линию –180° при положительных значениях ЛАЧХ было четным (в частном случае равным нулю).
В
данном случае ЛФЧХ совершает один
отрицательный переход при положительных
значениях ЛАЧХ. Можно сделать вывод о
том, что замкнутая система не устойчива.