4.3 Расчет переходного процесса методом трапеций

Вещественную частотную характеристику (рисунок 11) заменим мало отличающимися от кривой горизонтальными и наклонными прямолинейными

участками, образующими с осью ординат трапеции. Действительная ВЧХ при этом будет представлена как алгебраическая сумма трапецеидальных частотных характеристик (37)

.(37)

где ‑ число трапеций.

Горизонтальные отрезки чертим в точках экстремумов. Первый отрезок должен начинаться из точки , т.к. эта точка определяет конечное значение переходной характеристики. Более тщательно нужно аппроксимировать начальный участок ВЧХ. Конечный участок с ординатами, меньшими по абсолютному значению, чемможно не принимать во внимание. Проиллюстрируем все вышесказанное ниже.

Рисунок 12 - Замена вещественной частотной характеристики трапециями

Рисунок 13 - Замена вещественной частотной характеристики трапециями

Полученные трапеции вычертим на другом чертеже (рисунок 14) таким образом, чтобы основание каждой из них легло на ось .

Рисунок 14 - Трапеции вещественной частотной характеристики

Определим параметры трапеций.

,,

.

.

.

По значениям вычислим коэффициенты наклона (38)

(38)

Округлим их до ближайшего из значений 0; 0,05; 0,1; 0,15; … 0,95; 1.

Подставив численные значения, получим

Рассчитаем переходные процессы отдельно для каждой трапеции.

В таблице h-функций таблица для каждой i-й трапеции отыскивается столбец, соответствующий значению коэффициента наклона . Затем для ряда значений условного временивыписывают соответствующие им значения. По значениямивычисляют значения действительного времении составляющей переходной характеристики(39, 40)

. (39)

. (40)

Результаты оформим в таблице 5.

Таблица 5 – Расчет графиков составляющих переходной характеристики

трапеция1				трапеция2				трапеция3
Wd1=0,01, Wn1=0,92, X1=0,05, P1=-0,14				Wd2=1,2, Wn2=2,7, X2=0,5, P2=0,76				Wd3=2,7, Wn3=4, X3=0,7, P3=0,308
τ1	h1(τ)	t	h1(t)	τ2	h2(τ)	t	h2(t)	τ3	h3(τ)	t	h3(t)
0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
0,5	0,165	0,54348	-0,0231	0,5	0,24	0,1852	0,1824	0,5	0,267	0,125	0,082236
1	0,326	1,08696	-0,04564	1	0,461	0,3704	0,35036	1	0,519	0,25	0,159852
1,5	0,469	1,63043	-0,06566	1,5	0,665	0,5556	0,5054	1,5	0,74	0,375	0,22792
2	0,597	2,17391	-0,08358	2	0,833	0,7407	0,63308	2	0,919	0,5	0,283052
2,5	0,705	2,71739	-0,0987	2,5	0,967	0,9259	0,73492	2,5	1,042	0,625	0,320936
3	0,79	3,26087	-0,1106	3	1,061	1,1111	0,80636	3	1,13	0,75	0,34804
3,5	0,853	3,80435	-0,11942	3,5	1,115	1,2963	0,8474	3,5	1,161	0,875	0,357588
4	0,896	4,34783	-0,12544	4	1,142	1,4815	0,86792	4	1,16	1	0,35728
4,5	0,923	4,8913	-0,12922	4,5	1,138	1,6667	0,86488	4,5	1,132	1,125	0,348656
5	0,936	5,43478	-0,13104	5	1,118	1,8519	0,84968	5	1,084	1,25	0,333872
5,5	0,94	5,97826	-0,1316	5,5	1,092	2,037	0,82992	5,5	1,032	1,375	0,317856
6	0,943	6,52174	-0,13202	6	1,051	2,2222	0,79876	6	0,984	1,5	0,303072
6,5	0,942	7,06522	-0,13188	6,5	1,018	2,4074	0,77368	6,5	0,948	1,625	0,291984
7	0,944	7,6087	-0,13216	7	0,993	2,5926	0,75468	7	0,927	1,75	0,285516
7,5	0,945	8,15217	-0,1323	7,5	0,974	2,7778	0,74024	7,5	0,922	1,875	0,283976
8	0,951	8,69565	-0,13314	8	0,966	2,963	0,73416	8	0,932	2	0,287056
8,5	0,956	9,23913	-0,13384	8,5	0,966	3,1481	0,73416	8,5	0,951	2,125	0,292908
9	0,965	9,78261	-0,1351	9	0,97	3,3333	0,7372	9	0,976	2,25	0,300608
9,5	0,972	10,3261	-0,13608	9,5	0,975	3,5185	0,741	9,5	1	2,375	0,308
10	0,978	10,8696	-0,13692	10	0,982	3,7037	0,74632	10	1,02	2,5	0,31416
10,5	0,985	11,413	-0,1379	10,5	0,987	3,8889	0,75012	10,5	1,033	2,625	0,318164
11	0,988	11,9565	-0,13832	11	0,993	4,0741	0,75012	11	1,039	2,75	0,320012
11,5	0,988	12,5	-0,13832	11,5	0,997	4,2593	0,75468	11,5	1,037	2,875	0,319396
12	0,988	13,0435	-0,13832	12	0,997	4,4444	0,75772	12	1,027	3	0,316316
12,5	0,989	13,587	-0,13846	12,5	0,997	4,6296	0,75772	12,5	1,017	3,125	0,313236
13	0,989	14,1304	-0,13846	13	0,997	4,8148	0,75772	13	1,005	3,25	0,30954

Продолжение таблицы 5

13,5	0,99	14,6739	-0,1386	13,5	0,998	5	0,75772	13,5	0,995	3,375	0,30646
14	0,989	15,2174	-0,13846	14	1	5,1852	0,75848	14	0,987	3,5	0,303996
14,5	0,99	15,7609	-0,1386	14,5	1,002	5,3704	0,76	14,5	0,983	3,625	0,302764
15	0,993	16,3043	-0,13902	15	1,005	5,5556	0,76152	15	0,983	3,75	0,302764
15,5	0,995	16,8478	-0,1393	15,5	1,008	5,7407	0,7638	15,5	0,985	3,875	0,30338
16	0,997	17,3913	-0,13958	16	1,011	5,9259	0,76608	16	0,99	4	0,30492
16,5	0,999	17,9348	-0,13986	16,5	1,011	6,1111	0,76836	16,5	0,995	4,125	0,30646
17	1,001	18,4783	-0,14014	17	1,012	6,2963	0,76836	17	0,999	4,25	0,307692
17,5	1,002	19,0217	-0,14028	17,5	1,009	6,4815	0,76912	17,5	1,002	4,375	0,308616
18	1,002	19,5652	-0,14028	18	1,008	6,6667	0,76684	18	1,004	4,5	0,309232
18,5	1,001	20,1087	-0,14014	18,5	1,006	6,8519	0,76608	18,5	1,003	4,625	0,308924
19	1	20,6522	-0,14	19	1,001	7,037	0,76456	19	1,004	4,75	0,309232
19,5	1	21,1957	-0,14	19,5	0,998	7,2222	0,76076	19,5	1,003	4,875	0,308924
20	1	21,7391	-0,14	20	0,996	7,4074	0,75848	20	1,003	5	0,308924
20,5	1,002	22,2826	-0,14028	20,5	0,995	7,5926	0,75696	20,5	1,001	5,125	0,308308
21	1,002	22,8261	-0,14028	21	0,995	7,7778	0,7562	21	0,999	5,25	0,307692
21,5	1,002	23,3696	-0,14028	21,5	0,996	7,963	0,7562	21,5	0,998	5,375	0,307384
22	1,002	23,913	-0,14028	22	0,996	8,1481	0,75696	22	0,997	5,5	0,307076
22,5	1,002	24,4565	-0,14028	22,5	0,997	8,3333	0,75696	22,5	0,996	5,625	0,306768
23	1,005	25	-0,1407	23	0,998	8,5185	0,75772	23	0,997	5,75	0,307076
23,5	1,005	25,5435	-0,1407	23,5	0,999	8,7037	0,75848	23,5	0,998	5,875	0,307384
24	1,005	26,087	-0,1407	24	1	8,8889	0,75924	24	0,999	6	0,307692
24,5	1,005	26,6304	-0,1407	24,5	1	9,0741	0,76	24,5	1	6,125	0,308
25	1,005	27,1739	-0,1407	25	1	9,2593	0,76	25	1,001	6,25	0,308308
25,5	1,005	27,7174	-0,1407	25,5	1	9,4444	0,76	25,5	1,002	6,375	0,308616
26	1,005	28,2609	-0,1407	26	1	9,6296	0,76	26	1,002	6,5	0,308616

трапеция4				трапеция5				трапеция6
Wd4=4, Wn4=5,25, X4=0,8, P4=0,09				Wd5=5,25,Wn5=7, X5=0,75, P5=0,035				Wd6=12,Wn6=16, X6=0,75, P6=-0,021
τ4	h4(τ)	t	h4(t)	τ5	h5(τ)	t	h5(t)	τ6	h6(τ)	t	h6(t)
0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
0,5	0,282	0,0952381	0,02538	0,5	0,275	0,0714286	0,0096	0,5	0,275	0,03125	-0,006
1	0,547	0,19047619	0,04923	1	0,534	0,1428571	0,0187	1	0,534	0,0625	-0,011
1,5	0,776	0,28571429	0,06984	1,5	0,758	0,2142857	0,0265	1,5	0,758	0,09375	-0,016
2	0,956	0,38095238	0,08604	2	0,938	0,2857143	0,0328	2	0,938	0,125	-0,02
2,5	1,078	0,47619048	0,09702	2,5	1,06	0,3571429	0,0371	2,5	1,06	0,15625	-0,022
3	1,154	0,57142857	0,10386	3	1,142	0,4285714	0,04	3	1,142	0,1875	-0,024
3,5	1,171	0,66666667	0,10539	3,5	1,166	0,5	0,0408	3,5	1,166	0,21875	-0,024
4	1,156	0,76190476	0,10404	4	1,161	0,5714286	0,0406	4	1,161	0,25	-0,024
4,5	1,111	0,85714286	0,09999	4,5	1,127	0,6428571	0,0394	4,5	1,127	0,28125	-0,024
5	1,053	0,95238095	0,09477	5	1,069	0,7142857	0,0374	5	1,069	0,3125	-0,022
5,5	0,994	1,04761905	0,08946	5,5	1,016	0,7857143	0,0356	5,5	1,016	0,34375	-0,021
6	0,949	1,14285714	0,08541	6	0,956	0,8571429	0,0335	6	0,956	0,375	-0,02
6,5	0,949	1,23809524	0,08541	6,5	0,936	0,9285714	0,0328	6,5	0,936	0,40625	-0,02
7	0,92	1,33333333	0,0828	7	0,917	1	0,0321	7	0,917	0,4375	-0,019
7,5	0,911	1,42857143	0,08199	7,5	0,911	1,0714286	0,0319	7,5	0,911	0,46875	-0,019
8	0,92	1,52380952	0,0828	8	0,936	1,1428571	0,0328	8	0,936	0,5	-0,02
8,5	0,944	1,61904762	0,08496	8,5	0,958	1,2142857	0,0335	8,5	0,958	0,53125	-0,02
9	0,974	1,71428571	0,08766	9	0,99	1,2857143	0,0347	9	0,99	0,5625	-0,021
9,5	1,006	1,80952381	0,09054	9,5	1,015	1,3571429	0,0355	9,5	1,015	0,59375	-0,021
10	1,033	1,9047619	0,09297	10	1,036	1,4285714	0,0363	10	1,036	0,625	-0,022
10,5	1,049	2	0,09441	10,5	1,046	1,5	0,0366	10,5	1,046	0,65625	-0,022
11	1,054	2,0952381	0,09486	11	1,047	1,5714286	0,0366	11	1,047	0,6875	-0,022
11,5	1,048	2,19047619	0,09432	11,5	1,043	1,6428571	0,0365	11,5	1,043	0,71875	-0,022
12	1,034	2,28571429	0,09306	12	1,025	1,7142857	0,0359	12	1,025	0,75	-0,022
12,5	1,015	2,38095238	0,09135	12,5	1,01	1,7857143	0,0354	12,5	1,01	0,78125	-0,021
13	0,995	2,47619048	0,08955	13	0,993	1,8571429	0,0348	13	0,993	0,8125	-0,021

Продолжение таблицы 5

13,5	0,98	2,57142857	0,0882	13,5	0,982	1,9285714	0,0344	13,5	0,982	0,84375	-0,021
14	0,968	2,66666667	0,08712	14	0,974	2	0,0341	14	0,974	0,875	-0,02
14,5	0,969	2,76190476	0,08721	14,5	0,97	2,0714286	0,034	14,5	0,97	0,90625	-0,02
15	0,978	2,85714286	0,08802	15	0,976	2,1428571	0,0342	15	0,976	0,9375	-0,02
15,5	0,991	2,95238095	0,08919	15,5	0,984	2,2142857	0,0344	15,5	0,984	0,96875	-0,021
16	1,003	3,04761905	0,09027	16	0,983	2,2857143	0,0344	16	0,983	1	-0,021
16,5	1,014	3,14285714	0,09126	16,5	1,001	2,3571429	0,035	16,5	1,001	1,03125	-0,021
17	1,02	3,23809524	0,0918	17	1,008	2,4285714	0,0353	17	1,008	1,0625	-0,021
17,5	1,023	3,33333333	0,09207	17,5	1,012	2,5	0,0354	17,5	1,012	1,09375	-0,021
18	1,02	3,42857143	0,0918	18	1,014	2,5714286	0,0355	18	1,014	1,125	-0,021
18,5	1,014	3,52380952	0,09126	18,5	1,012	2,6428571	0,0354	18,5	1,012	1,15625	-0,021
19	1,006	3,61904762	0,09054	19	1,009	2,7142857	0,0353	19	1,009	1,1875	-0,021
19,5	0,998	3,71428571	0,08982	19,5	1,005	2,7857143	0,0352	19,5	1,005	1,21875	-0,021
20	0,991	3,80952381	0,08919	20	1,001	2,8571429	0,035	20	1,001	1,25	-0,021
20,5	0,986	3,9047619	0,08874	20,5	0,996	2,9285714	0,0349	20,5	0,996	1,28125	-0,021
21	0,983	4	0,08847	21	0,993	3	0,0348	21	0,993	1,3125	-0,021
21,5	0,986	4,0952381	0,08874	21,5	0,992	3,0714286	0,0347	21,5	0,992	1,34375	-0,021
22	0,991	4,19047619	0,08919	22	0,991	3,1428571	0,0347	22	0,991	1,375	-0,021
22,5	0,998	4,28571429	0,08982	22,5	0,992	3,2142857	0,0347	22,5	0,992	1,40625	-0,021
23	1,002	4,38095238	0,09018	23	0,994	3,2857143	0,0348	23	0,994	1,4375	-0,021
23,5	1,007	4,47619048	0,09063	23,5	0,997	3,3571429	0,0349	23,5	0,997	1,46875	-0,021
24	1,008	4,57142857	0,09072	24	1	3,4285714	0,035	24	1	1,5	-0,021
24,5	1,008	4,66666667	0,09072	24,5	1,002	3,5	0,0351	24,5	1,002	1,53125	-0,021
25	1,005	4,76190476	0,09045	25	1,003	3,5714286	0,0351	25	1,003	1,5625	-0,021
25,5	1,004	4,85714286	0,09036	25,5	1,004	3,6428571	0,0351	25,5	1,004	1,59375	-0,021
26	1,002	4,95238095	0,09018	26	1,004	3,7142857	0,0351	26	1,004	1,625	-0,021

трапеция7
Wd7=16,Wn7=51,7, X7=0,35, P7=-0,032
τ7	h7(τ)	t	h7(t)
0	0	0	0
0,5	0,215	0,0313	-0,004515
1	0,417	0,0625	-0,008757
1,5	0,603	0,0938	-0,012663
2	0,761	0,125	-0,015981
2,5	0,891	0,1563	-0,018711
3	0,987	0,1875	-0,020727
3,5	1,05	0,2188	-0,02205
4	1,09	0,25	-0,02289
4,5	1,1	0,2813	-0,0231
5	1,103	0,3125	-0,023163
5,5	1,093	0,3438	-0,022953
6	1,07	0,375	-0,02247
6,5	1,049	0,4063	-0,022029
7	1,033	0,4375	-0,021693
7,5	1,017	0,4688	-0,021357
8	1,012	0,5	-0,021252
8,5	1,007	0,5313	-0,021147
9	1,006	0,5625	-0,021126
9,5	1,006	0,5938	-0,021126
10	1,006	0,625	-0,021126
10,5	1,005	0,6563	-0,021105
11	1,002	0,6875	-0,021042
11,5	0,999	0,7188	-0,020979
12	0,994	0,75	-0,020874
12,5	0,99	0,7813	-0,02079
13	0,986	0,8125	-0,020706

Продолжение таблицы 5

13,5	0,983	0,8438	-0,020643
14	0,983	0,875	-0,020643
14,5	0,985	0,9063	-0,020685
15	0,987	0,9375	-0,020727
15,5	0,988	0,9688	-0,020748
16	0,992	1	-0,020832
16,5	0,905	1,0313	-0,019005
17	0,997	1,0625	-0,020937
17,5	0,998	1,0938	-0,020958
18	1,001	1,125	-0,021021
18,5	1,001	1,1563	-0,021021
19	1,001	1,1875	-0,021021
19,5	1,001	1,2188	-0,021021
20	1	1,25	-0,021
20,5	1,002	1,2813	-0,021042
21	1,003	1,3125	-0,021063
21,5	1,004	1,3438	-0,021084
22	1,005	1,375	-0,021105
22,5	1,006	1,4063	-0,021126
23	1,007	1,4375	-0,021147
23,5	1,008	1,4688	-0,021168
24	1,007	1,5	-0,021147
24,5	1,006	1,5313	-0,021126
25	1,004	1,5625	-0,021084
25,5	1,003	1,5938	-0,021063
26	1,002	1,625	-0,021042

Далее построим графики составляющих переходной характеристики . Все составляющие расположим на одном чертеже (рисунок 15) с учетом знака, который определяется знаком высотысоответствующей трапеции.

Рисунок 15 - График переходного процесса и его составляющие