Тема 3. Логические операции над высказываниями

Задача 1. Среди высказываний выделите те, которые являются

истинными:

1. .

2. любое натуральное число положительно.

3. .

4. Если в четырехугольнике диагонали равны, то этот четырехугольник – ромб.

5. Сумма углов любого треугольника равна 180⁰.

6. Число 3 является корнем уравнения .

Задача 2. Среди высказываний укажите простые и сложные. В сложных высказываниях назовите логические связки.

1. Число 15 не делится на 5.

2. Число 16 делится на 4 и на 8.

3. Число 3 является делителем числа 15.

Задача 3. Пустьиобозначают высказывания:- «Я учусь в университете»,- «Я люблю математику». Прочтите следующие сложные высказывания:

1) ; 2); 3); 4); 5).

Задача 4.Даны высказывания:- «5 – простое число»,- «5 – составное число»,- «6 – простое число»,- «6 – составное число». Какие сложные высказывания истинны и какие ложны?

1) Высказывания-конъюнкции ,,,.

2) Высказывания-дизъюнкции ,,,.

3) Высказывания-импликации ,,,.

4) Высказывания-эквиваленции ,,,.

Задача 5. Пусть - высказывание «Сегодня ясно»,- «Сегодня идет дождь»,- «Сегодня идет снег»,- «Сегодня пасмурно». Переведите на обычный язык следующие предложения.

1. ; 2) ; 3);

4) ; 5); 6).

Задача 6.. Найдите истинностные значения сложного высказывания по значениям элементарных высказываний .

1) ; 2);

3) ; 4).

Тема 4. Формулы высказываний и законы логики

Задача 1. Составьте таблицы истинности для следующих формул и укажите, какие формулы являются тождественно истинными, какие – тождественно-ложными.

1) ; 2);

3) ; 4).

Задача 2. Проверьте, не составляя таблиц истинности, являются ли следующие формулы тождественно истинными:

1. ; 2) ; 3); 4); 5);

6) ; 7); 8); 9).

Задача 3. Докажите равносильность формул.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ;

7) ; 8) ; 9) ; 10) ; 11) ; 12) .

Задача 4. С помощью законов логики и свойств отношения «равносильности» упростите формулы.

1. ;

2. ;

3. .

Задача 5. Используя законы логики, докажите равносильности:

1. ;

2. .

Задача 6. Сформулируйте предложения, которые, согласно законам де Моргана, выражают то же, что и следующие предложения.

1. «Неверно, что треугольник АВС - прямоугольный и равнобедренный».

2. «Неверно, что число 9 – нечетное и простое».

3. «Неверно, что хотя бы одно из чисел ипростое».

Тема 5. Кванторы в логике

Задача 1. Примем следующие обозначения для предикатов: : «- простое число»,: «есть четное число»,: «делится на». Переведите на обычный язык следующие высказывания.

1. .

2. .

3. .

4. .

Задача 2.Дана формула, где предикаты,,определены на множестве натуральных чисел. Найдите значение формулы при заданных предикатах.

1. : «Числоделится на 3»,: «Числоделится на 4»,: «Числоделится на 2».

2. : «Числоделится на 3»,: «Числоделится на 4»,: «Числоделится на 5».

Задача 3.Каждое из высказываний запишите с помощью логических символов и определите, истинно оно или ложно.

1. Существует такое целое число , что.

2. Существует такое рациональное число , для которого.

3. Для любого целого числа существует такое целое число, чтоили.

Задача 4. Постройте отрицания высказываний и прочтите их. Являются ли эти высказывания истинными? Здесь- множество целых чисел,- множество натуральных чисел.

1. .

2. .

3. .

Задача 5.В следующих предложениях поставьте вместо многоточия словá «необходимо», или «достаточно», или «не необходимо и недостаточно», или «необходимо и достаточно» так, чтобы получились истинные высказывания.

1. Для того чтобы четырехугольник был прямоугольным, …, чтобы длины его диагонали были равны.

2. Для того чтобы , …, чтобы.

3. Для того чтобы число делилось на 5, …, чтобы оно делилось на 10.

4. Для того чтобы сумма двух чисел была четной, …, чтобы каждое слагаемое было четным числом.

5. Для того чтобы квадратное уравнение имело действительные различные корни, …, чтобы его дискриминант был больше нуля.

6. Для того чтобы выиграть в лотерею, … иметь хотя бы один лотерейный билет.

Задача 6. Для каждого из условийиукажите, какие являются необходимыми и какие достаточными для условия.

1. - «Данный четырехугольник является ромбом».

- «Две противоположные стороны данного четырехугольника параллельны».

- «В данном четырехугольнике все стороны равны».

2. - «Элементпринадлежит объединению множестви».

- «Элементпринадлежит множеству».

- «Элементпринадлежит пересечению множестви».

3. - «Элементпринадлежит разности множестви».

- «Элементне принадлежит множеству».

- «Элементпринадлежит пересечению множестви».

4. - «Элементпринадлежит множеству».

- «Элементпринадлежит пересечению множестви».

- «Элементпринадлежит объединению множестви».

5. - «Я учусь в университете».

- «Я сдала вступительные экзамены на отлично».

- «Я сдала вступительные экзамены».

число больше нуля.