ИнМu_lectures

C1/r

∆ Кратное интегрирование. Когомологии

201

В силу произвольности выбора точки z функция F (z) представляется интегралом (28.12) на множестве U + iRn. Теорема (28.2) доказана.

4. Доказательство первой формулы обращения

Пусть функция Φ(x) принадлежит MΘU , т.е. голоморфна в SkΘ для некоторого k > 1 и удовлетворяет условию (28.3). Рассмотрим ее преобразование Меллина

M[Φ](z) = Zn	Φ(x)xz−Idx,	(28.13)
R+

где z = u + iv будем брать из трубчатой области U + iRn.

Докажем, что M[Φ](z) WUΘ, т.е., что преобразование Меллина для Φ голоморфно в трубчатой области над U и убывает экспоненциально по v с

показателем kHΘ(v) (см. (28.4)).

Покажем, что для любого δ kΘ в интеграле (28.13) множество интегрирования Rn+ можно заменить на произведение лучей lδ1 × · · · × lδn, где

lδj = {xj = teiδj , t > 0}.

Вначале установим равенство

Zn	Φ(x)xz−Idx =	Zn	1	Φ(x)xz−Idx.	(28.14)
R+		lδ1×R+−

Рассмотрим (n + 1)–мерную цепь hr = Gr × (γr)n−1, где (γr)n−1 — декартова степень отрезка γr = [r, 1r ] R, а Gr C — усеченный сектор, ограниченный отрезками γr, eiδ1γr и дугами окружностей Cr = {|x1| = r},

= {|x1| = 1/r} (здесь всюду r 1). Ее граница ∂hr представляет собой сумму цепей

n

σ1 = ∂Gr × (γr)n−1 , σ2 = X±Gr × γr × · · · × ∂γr × · · · × γr.

j=2

Очевидно, сужение dx|σ2 = 0 (т.к. dxj|∂γr = 0), поэтому, с учетом замкну-

202 И.А. Антипова, О.В. Знаменская, А.К. Цих ∆

тости формы ω = Φ(x)xz−Idx и формулы Стокса,

0 = Z

ω = Z

ω = Zn

ω − iδ

Z

n

1

ω +

Z n

1

ω −

Z n

1

ω. (28.15)

∂hr

σ1

(γr)

e 1

γr×(γr) −

C1/r×(γr)

−

Cr×(γr) −

При r → 0 два последних слагаемых исчезают. Действительно, по условию (28.3), для функции Φ класса MΘU при любых a Ω и x SkΘ (в

частности, при x Cr × (γr)n−1)

Z n

Φ(x)xz−Idx

6

Z n

C

x−a

xz

|

dx

=

−

1

Cr

−

1

|

||

x

Cr

(γr)

×

(γr)

×

δ

1

n

1/r

−aj+uj dxj

C Z

a1+u1

v1θ1

dθ1 × j=2 Z

r−

e−

xj

.

xj

0

Y r

Каждый из последних n − 1 интегралов мы разобъем на сумму интегралов по отрезкам [r, 1], [1, 1/r] и, пользуясь свободой выбора a, в интегралах по

[0, δ1] и по [r, 1] положим aj < uj, j = 1, . . . , n, а в интегралах по [1, 1/r]

возьмем aj > uj, j = 2, . . . , n. Очевидно, при таком выборе a последний интеграл в (28.15) исчезает при r → 0.

Рассуждения аналогичны для предпоследнего интеграла в (28.15). Таким образом, из (28.15) получаем

Zn	r→0	Zn	ω	= r→0	iδ	Z	n 1	ω =	Zn 1
	ω = lim			lim						ω,
R+	(γr)			e 1γr×(γr) −					lδ1 ×R −

т.е. равенство (28.14).

Теперь, итерируя по всем переменным интегрирования xj процесс заме-

ны R+ на lδj , получаем для любого δ kΘ
Zn	Φ(x)xz−Idx =		Z	Φ(x)xz−Idx.		(28.16)
R+		lδ1×···×lδn
По (28.16) и (28.3) имеем неравенства
		n	∞		t =
|M[Φ](z)| 6 C(a) YZ t−aj+uj e−δjvj
					dt

j=1 0

∆ Кратное интегрирование. Когомологии									203
n		1	t−aj+uj	t	∞	t−aj+uj	t		,
= C(a)e− δ,v j=1	Z				+ Z
Y				dt			dt
		0			1

выполняемые для любых a U, δ kΘ. Здесь сходимость интегралов по

[0, 1] и по [1, ∞) обеспечивается выбором aj < uj и aj > uj соответственно. Ввиду произвольности выбора δ kΘ, в неравенстве можно заменить e− δ,v

на e−kHΘ(v). Тем самым, заменяя в последнем выражении константу C(a)

на C(u), получаем выполнение условия (28.4) для M[Φ], и первая часть теоремы доказана.

Для доказательства формулы обращения (28.5) выберем в ней любое

n

Q

a U и параллелепипед Παβ = [αi, βi], содержащий a и вписанный в U.

i=1

Рассмотрим функцию

n

˜	iω1		iωn		Yj	iωj	(αj+βj)	(28.17)
		, . . . , e		)	e		2
F (ω) := Φ(e
					=1

комплексных переменных ωj = pj + iqj, j = 1, . . . , n.

Поскольку Φ MΘU , эта функция голоморфна в трубчатой области Θ + iRn. В силу условия (28.3) на Φ(x), при любом a из параллелепипеда Παβ

для функции (28.17) справедлива оценка

		n		αj+	βj	n
F˜(p + iq)		6 C(a)	e aj−			qj 6 C(a) e−	βj−	αj	|qj|	(28.18)
				2
							2
|	|	Y				Yj
		j=1				=1

(здесь мы воспользовались правом выбора a, положив aj = αj при qj > 0 и aj = βj при qj < 0). Таким образом, функция (28.17) принадлежит классу

WΘΠ, где Π — параллелепипед {ϕ Rn : |ϕj| <

βj−2

αj

, j = 1, . . . , n}. Введем

обозначение

tj = tj(zj) = e

αj+

βj

−zj i = |tj|eiϕj

(28.19)

2

и определим интеграл

F (z) = (i)n

Z n

n

αj

2 t(z)−ωdω,

(28.20)

Φ(eiω) j=1 eiωj

1

Y

+βj

δ+iR

где δ Θ. Параметр z = u + iv будем выбирать так, чтобы arg t(z) =: ϕ

принадлежал Π. В силу (28.19) это означает, что αj 6 uj 6 βj.

204 И.А. Антипова, О.В. Знаменская, А.К. Цих ∆

Применим формулу обращения (28.6) для функции (28.17)

	n			ξj =	(2πi)n Zn						tξ−Idt
Φ(eiξ1, . . . , eiξn) j=1 ei 2
	Y	αj+βj				1
										R+
Z n				n		αj	2	j t−ωdω.
	Φ(eiω1, . . . , eiωn) j=1 eiωj
			Y				+β
a+iR

Сделав в последнем интеграле подстановку

αj+βj −z i

tj = e 2 j , eiξj = xj,

получим

Z

Φ(x) = 1 F (z)x−zdz (28.21) (2πi)n

a+iRn

с вектором a = 12(α + β). Но если в (28.20) положить eiωj = ξj, то получим

Z

F (z) = Φ(ξ)ξz−Idξ, δ Θ.

eiδRn+

Так как, по условию, Θ содержит нуль, то мы можем положить здесь

δ = 0 и при подстановке последнего интеграла в (28.21) придем к искомой формуле обращения (28.5).

∆ Кратное интегрирование. Когомологии

205

Лекция 29 ´

Формула Меллина для решения общего алгебраического уравнения

Линеаризация алгебраического уравнения. Вычисление преобразования Меллина для решения алгебраического уравнения. Представление решения в виде интеграла МеллинаБарнса.

1. Общее алгебраическое уравнение и его линеаризация

Рассмотрим общее алгебраическое уравнение

wn + a1wn1 + . . . + apwnp + ap+1 = 0,

где n > n1 > . . . > np > 1 и свободный член ap+1 отличен от нуля, так как нас интересуют лишь ненулевые решения уравнения.

1

Делением на (−ap+1) и "растяжением"переменной: w = (−ap+1)n y, ука-

занное уравнение сводится к следующему:
yn + x1yn1 + · · · + xpynp − 1 = 0.	(29.1)

Мы будем исследовать решения этого уравнения как ветви алгебраической функции переменных коэффициентов x1, . . . , xp. Пусть y(x) = y(x1, . . . , xp)

– решение уравнения (29.1) с условием y(0) = 1 (по терминологии Меллина y(x) – основное решение). Нетрудно видеть, что все остальные решения yj(x) получаются из основного по формуле

yj(x) = εjy(εnj 1x1, . . . , εnj pxp),

где εj – первообразные корни из единицы степени n (т.е. εnj = 1). Таким образом, достаточно исследовать основную ветвь y(x) вблизи x = 0 и ее аналитические продолжения.

206	И.А. Антипова, О.В. Знаменская, А.К. Цих ∆

Сделаем замену переменных в уравнении (29.1), как относительно коэффициентов xj, так и относительно искомой функции y = y(x):

xj = ξjwnnj −1, j = 1, . . . , p; y = W −n1 .

В результате вместо нелинейного уравнения (29.1) относительно y мы получим линейное уравнение 1 + ξ1 + . . . + ξn − W = 0 относительно W . Этим фактом мы воспользуемся для вычисления преобразования Меллина решения y(x).

2. Преобразование Меллина для решения y(x)

Для µ > 0 рассмотрим преобразование Меллина функции yµ (где y(x)

– основное решение):

M[yµ](z) = Zp	yµ(x)xz−Idx,	(29.2)
R+

полагая z = (z1, . . . , zp).

Лемма 29.1. Для любого µ > 0 преобразование Меллина (29.2) равно

µ Γ(z1) . . . Γ(zp)Γ µn

−

nn1 z1

· ·

−

np

zp

n

−

·

.

(29.3)

q Γ

µ

+

(n1)

z1 +

+

(np)

zp

+ 1

n

· · ·

n

n

Интеграл (29.2) сходится для всех z из области U + iRp, где U —

это открытый симплекс

U = {u Rp : uj > 0, j = 1, . . . , p, n1u1 + · · · + npup < µ} .

(29.4)

Доказательство. Для вычисления интеграла (29.2) введем замену переменной ξ → x вида

xj = ξjW	nj	−1, j = 1, . . . , p,	(29.5)
	n

где

p

X

W = 1 + ξj,

j=1

∆ Кратное интегрирование. Когомологии

207

причем ветвь радикала W 1/n выбрана условием его положительности при

ξj > 0.

Обозначим вектор (ξ1, . . . , ξp) через ξ. Якобиан этой замены равен

		n1+···+np	n1		np
	W −p−1+		1 +		ξ1 + · · · +		ξp .
		n
				n		n

Как отмечалось в пункте 1, замена (29.5) линеаризует уравнение (29.1) и в переменных ξ решение y(x) приобретает простой вид

y(x(ξ)) = W −n1 .

Далее, эта замена биективно отображает пространство Rp+ на Rp+. В самом деле, на каждой гиперплоскости

	p
αr = {ξ R+p	Xj
	: ξj = r}
	=1

она представляет собой обычное растяжение, поэтому она инъективна на таких плоскостях. При разных r плоскости αr не пересекаются в ортанте

Rp+, тем же свойством обладают образы этих плоскостей. Следовательно, замена (29.5) инъективна, а ее сюръективность вытекает из того, что при r > 0 образы αr исчерпывают весь ортант Rp+.

В результате интеграл (29.2) запишется в виде суммы интегралов

M[yµ](z) = Zp

ξz−I

p

Zp

jξjξz−I

(29.6)

dξ + j=1

dξ ,

W ω

nW ω

R+

XR+

где

ω =

µ

+

p

(n − nj)

zj + 1.

n

n

=1

Xj

Эти интегралы представляют собой преобразование Меллина функции

	1			1
					=		.
			W ω			(1 + ξ1 + . . . + ξp)ω
Они встречаются во многих справочниках как табличные интегралы:
Zp	ξz−I	dξ =		Γ(z1) . . . Γ(zp)Γ(ω − z1 − · · · − zp)				.	(29.7)
	W ω					Γ(ω)
R+

208	И.А. Антипова, О.В. Знаменская, А.К. Цих ∆

Интеграл (29.7) сходится, если выполняются следующие неравенства на

p

P

вещественные части: Rezj > 0, Reω > Re zj. Поэтому интегралы (29.2)

j=1

и (29.6) будут сходиться при условиях

Rezj > 0, Re µ −	p	jzj! > 0.
	Xj
	=1

Применив формулу (29.7), получим утверждение Леммы.

3. Представление y(x) в виде интеграла Меллина-

Барнса

Формулы обращения (28.5) и Лемма 29.1 используются для доказательства интегральной формулы Меллина.

Теорема 29.1. Пусть y(x) — основное решение уравнения (29.1). Для любого µ > 0 функция yµ(x) представляется следующим интегралом Меллина–Барнса

1		Z p	µnΓ(µn − nn1 z1 − . . . −			np	zp)Γ(z1) . . . Γ(zp)		x−z1 . . . x−zp dz, (29.8)
						n
(2πi)								n zp + 1)
			Γ(n +	n1′	z1 + . . . +				1	p
	p		µ	n				np′

γ+iR

где вектор a = (a1, . . . , ap) Rp+ берется из симплекса (29.4).

Меллин отмечал, что интеграл (29.8) сходится равномерно в области

{x Cp : |arg xk| <	nkπ	, k = 1, . . . , p}.	(29.9)
	2n

Заметим, что на самом деле полная область равномерной сходимости интеграла (29.8) шире указанной.

Например, для кубического уравнения y3 + x2y2 + x1y − 1 = 0 истинная

область сходимость интеграла
y(x)µ =	µ/3				Γ(z1)Γ(z2)Γ			µ3 − 32z1 − 31z2		x−z1x−z2 dz
	(2πı)2	Z 2			Γ µ3 + 1 + 31z1 + 32z2
											2
									1
следующая:		γ+ıR
		π			2π
	|θ1| <			, |θ2| <			,	|θ2 − 2θ1| < π,
			3			3

где θj = argxj.

∆ Кратное интегрирование. Когомологии

209

Лекция 30 ´

Аналитическое продолжение общей алгебраической функции

Построение полиэдра, согласованного с полярными дивизорами интеграла Меллина-Барнса, представляющего алгебраическую функцию. Представление интеграла в виде различных гипергеометрических рядов, осуществляющих аналитическое продолжение алгебраической функции.

1. Ряд Тейлора для общей алгебраической функции

Приведем ряд Тейлора для степени y(x)µ основного решения y(x) уравнения (29.1). Поскольку y(x) можно рассматривать как неявную функцию, ее ряд Тейлора также носит название "разложение Лагранжа" и оно может быть найдено различными способами. Наш вывод основан на вычетной формуле для интеграла Меллина-Барнса, с помощью которой мы ниже получим другие разложения для y(x). Итак, докажем следующее утверждение, анонсированное Меллином.

Предложение 30.1. Ряд Тейлора для степени y(x)µ основного решения y(x) уравнения (29.1) имеет вид

µ

|X|

y(x)µ = 1 +

n

Ak0 x1k1 . . . xpkp,

(30.1)

k >1

где коэффициенты Ak0 определяются по формуле

Ak0 = Ak01...kp

=

−

|k|−1

k 1

,

(30.2)

Q

(

1) k

|

(µ + n1k1 + . . . + npkp − sn)

|

·

s=1

k1! . . . kp!

n| |−

0

причем в случае |k| = 1 произведение Q полагается равным 1.

s=1

210	И.А. Антипова, О.В. Знаменская, А.К. Цих ∆

Доказательство. Воспользуемся одной из формул вычисления интеграла Меллина-Барнса следующего вида

				p+1	Γ( aj, z + bj)
F (x) =	1			jQ					x1−z1	. . . xp−zp dz,	(30.3)
	(2πi)		Z p		Γ( ck, z + d ) ·
			=1
			kQ
			γ+iR				k
			=1

в числителе подынтегрального выражения которого присутствует p+1 множителей, где p – кратность интегрирования. Предполагается, что aj, ck –

векторы из вещественного пространства Rp, числа bj, dk также вещественные, а вектор γ Rp выбран так, что подпространство интегрирования

γ + iRp = {z Cp : z1 = γ1 + iy1, . . . , zp = γp + iyp}

не пересекает гиперплоскости

aj, z + bj = −ν, ν = 0, 1, 2, ..., j = 1, ..., p + 1,

на которых имеют полюсы гамма-функции в числителе. Интеграл (29.8), представляющий общую алгебраическую функцию, имеют вид (30.3) c q = 1. В поведении интеграла (30.3) важную роль играет следующая векторная величина:

XX

∆ = aj − ck,

jk

Если ∆ ̸= 0, то интеграл (30.3) называется конфлюэнтной (вырожденной) гипергеометрической функцией. Если же ∆ = 0, то F (x) неконфлюэнтная функция.

Следующее утверждение непосредственно следует из принципа разделяющих циклов, точнее из многомерной леммы Жордана.

Теорема 30.1. Пусть для интеграла (30.3) величина ∆ равна нулю и

множество

σ = {u Rp : aj, u + bj > 0, j = 1, . . . , p + 1}