ИнМu_lectures

∆ Кратное интегрирование. Когомологии

51

Лекция 5 ´

Вложения многообразий и их триангулируемость

Погружения, субмерсии и вложения многообразий. Теорема о вложении в RN компактных многообразий. Теорема о вложении в R2n+1 произвольных n-мерных многообразий. Теорема о триангулируемости многообразий.

1. Определения иммерсии и субмерсии многообразий

Пусть f : X → Y — гладкое отображение гладких многообразий.

Определение 5.1. Отображение f называется иммерсией или погружением, если в каждой точке P X дифференциал отображения df

является мономорфизмом.

Если dim X = m, dim Y = n, то f — погружение тогда и только тогда, когда в каждой точке p X матрица Якоби отображения f (в локальных координатах) имеет ранг m.

Определение 5.2. Если f : X → Y является иммерсией и гомеоморфно отображает X на f(X) Y , то оно называется вложением.

Образ f(X) в этом случае называется подмногообразием в многообразии Y .

Пример 5.1. Рассмотрим отображение f	окружности	S1 в плоскость
R2, осуществляемое по правилу f(θ) =	{cos θ, sin 2θ}.	Градиент f =

(− sin θ, 2 cos 2θ) ни в какой точке не обращается в нуль, следовательно отображение df мономорфизм и f является погружением. Однако f не

является вложением, поскольку двум значениям θ = π/4 и θ = 5π/4 соот-

√

ветствует одна точка в образе f(θ) = ( 2/2, 1).

52	И.А. Антипова, О.В. Знаменская, А.К. Цих ∆

Определение 5.3. Отображение f называется субмерсией, если в каждой точке P X дифференциал отображения df является эпиморфизмом.

Если dim X = m, dim Y = n, то отображение f является субмерсией тогда и только тогда, когда в каждой точке p X матрица Якоби отображения f (в локальных координатах) имеет ранг n.

2. Компактные многообразия

Фундаментальную роль в анализе играет лемма Гейне-Бореля, которая состоит в следующем: из любого покрытия отрезка [a, b] числовой прямой интервалами можно выбрать конечное подпокрытие. Другими словами, ес-

ли [a, b] (xα, yα), то в множестве индексов A найдется конечное под-

α A

n

множество {α1, . . . , αn} такое, что [a, b] (xαk , yαk ).

k=1

Т.к. любое открытое множество на числовой прямой является объединением непересекающихся интервалов, то утверждение леммы Гейне-Бореля остается верным в такой формулировке: из всякого покрытия отрезка [a, b]

открытыми множествами можно извлечь конечное подпокрытие. Это свойство отрезка леит в основе слдующего важного понятия.

Определение 5.4. Топологическое пространство X называется компактным, если всякое его открытое покрытие U = {Uα} содержит конечное подпокрытие {Uαk }k=1,N .

Подмножество A топологического пространства X называется компактным, если A — компактное в пространстве индуцированной топологии. Поэтому можно говорить, что A X компактно, если из всякого его покрытия открытыми множествами в X можно извлечь конечное подпокрытие.

Согласно лемме Гейне-Бореля отрезок [a, b] компактен. Примером

∞

некомпактного пространства является числовая прямая R : R = (−n, n),

n=1

но никакое конечное подсемейство покрытия {Un = (−n, n)}n=1,∞ не покрывает R. Точно также легко заключить, что не компактно любое неограниченное множество в Rn, а также любое открытое множество в Rn. Хорошо

∆ Кратное интегрирование. Когомологии

53

известно, что подмножество A Rn компактно тогда и только тогда, когда

A замкнуто и ограничено.

Заметим, что если пространства X и X′ гомеоморфны, то из компактности одного следует компактность другого, т.е. компактность является топологическим инвариантом.

Приведем несколько свойств компактных пространств.

Предложение 5.1. Всякое замкнутое подмножество F компактного пространства X компактно.

Доказательство. Если {Vα} — открытое покрытие множества F , то Vα =

Uα ∩F , где Uα открыты в X. Тогда семейство {{Uα}, X \F } — открытое покрытие пространства X. В силу компактности X найдется конечное семейство {{Uαk }k=1,N , X \ F }, покрывающее X. Поэтому семейство {Vαk }k=1,N

покрывает F .

Предложение 5.2. Всякое компактное подмножество хаусдорфового пространства замкнуто.

Предложение 5.3. Пусть f : X −→ X′ — непрерывное отображение компактного топологического пространства X в топологическое пространство X′. Тогда образ f(X) компактен.

Доказательство. Пусть σ = {Uα} — открытое покрытие образа f(X). Тогда {f−1(Uα)} — открытое покрытие пространства X. Извлекая из этого покрытия конечное подпокрытие {f−1(Uαk )}k=1,N , мы получим, что

{Uαk }k=1,N — конечное подпокрытие покрытия σ.

Теорема 5.1. Пусть X — компактное топологическое пространство и f : X −→ R — непрерывная функция. Тогда f ограничена и достигает на X верхней и нижней граней.

Доказательство. По теореме (5.3) образ f(X) компактен. Поэтому из хаусдорфовости числовой прямой R по теореме (5.2) получаем, что f(X) R

замкнут. Далее, мы отмечали, что компактное подмножество в R ограничено. Итак, образ f(X) замкнут и ограничен, поэтому он содержит верхнюю и нижнюю грани.

54	И.А. Антипова, О.В. Знаменская, А.К. Цих ∆

3. Вложение многообразий в евклидово пространство

Общий факт о вложимости произвольных гладких многообразий формулируется в виде следующей Теоремы Уитни.

Теорема 5.2. Пусть X — гладкое многообразие размерности n. Тогда существует вложение f : X → R2n+1.

Мы приведем здесь доказательство более слабого утверждения применительно к компактным многообразиям.

Теорема 5.3. Пусть X — гладкое компактное многообразие. Тогда существует вложение f : X → RN для подходящего выбора размерности N.

Замечание 5.1. На самом деле, известно, что при n > 2 всякое компактное n-мерное многообразие можно вложить в R2n.

Доказательство теоремы 5.3. Поскольку X — компактное многообразие, существует конечный набор карт (Uk, ϕk), k = 1, . . . , K, а координатные отображения ϕk для любой точки P Uk X задаются при помощи функций x(ik):

ϕk(P ) = x(1k)(P ), . . . , x(nk)(P ) .

Без ограничения общности можно считать, что координатные окрестности Uk диффеоморфны шару

B2 = { x(k) < 2} Rn.

Более того, можно считать, что прообразы Uk′ = ϕ−k 1(B1) единичных шаров

B1 = { x(k) < 1} B2 лежат в Uk и покрывают все пространство X.

Лемма 5.1. Существует гладкая функция ρ : Rn → R, такая, что supp ρ B2, ρ ≡ 1 в замкнутом шаре B1.

∆ Кратное интегрирование. Когомологии

55

Доказательство. Построим указанную функцию ρ как композицию следующих функций. Пусть

0

α(x) =

e−1/x

Определим теперь

при x 6 0;

при x > 0.

2

R

α(x − 1)α(2 − x)dt α′(τ) = τ2 .

R

α(x − 1)α(2 − x)dt

1

И, наконец, положим ρ(x) = α′( x ). Нетрудно убедиться, что указанная функция обладает требуемыми свойствами.

Пусть ρk(P ) = ρ(ϕk(P )), k = 1, . . . , K. Отображения ρk определены на всем многообразии X и тождественно равны нулю вне Uk. Рассмотрим отображения

ψk(P ) =	ρk(P ) · ϕk(P )	при P Uk;
	0	при P	k.
			̸ U

Очевидно, они также определены на всем X.

Зададим теперь отображение f : X → R(n+1)K набором из (n + 1)K

гладких функций {ψk, ρk}, k = 1, . . . , K; для каждого фиксированного k

отображение осуществляется по правилу:

P X −→ (ρk(P ) · x1(k)(P ), . . . , ρk(P ) · xn(k)(P ), ρk(P )).

Отображение f взаимно однозначно. Действительно, пусть P Uk. Если Q Uk, то ρk(P ) = ρk(Q) = 1, поэтому равенство ψk(P ) = ψk(Q) эквивалентно равенству ϕk(P ) = ϕk(Q), откуда P = Q. Если же Q ̸ kU, то

ρk(P ) = 1, а ρk(Q) ̸= 1.

Докажем, что f — иммерсия. Покажем, что ранг матрицы Якоби отображения f в каждой точке P X равен n. По свойствам покрытия {U′}, любая точка P Uk′ Uk имеет локальные координаты ϕk(P ). В силу

∂xj(k)

∂xi(k)

56	И.А. Антипова, О.В. Знаменская, А.К. Цих ∆

того, что на Uk′ функции ρk(P ) ≡ 1 и ψk ≡ ϕk, компонента с номером k

отображения f на Uk′ будет иметь вид

P X −→ (x1(k)(P ), . . . , xn(k)(P ), 1) = (ϕk(P ), 1).

Поскольку = δji, матрица Якоби будет содержать единичную матрицу порядка n, и значит ее ранг равен n.

Остается заметить, что взаимно однозначное отображение компактного пространства X на хаусдорфово пространство R(n+1)K является гомеомор-

физмом на свой образ.

Пример 5.2 (Вложение проективной плоскости RP2 в R5). Определим отображение f : [x] RP2 → y R6: по правилу:

x2

x2

x2

x0x1

x1x2

x0x2

y1

=

0

, y2 =

1

, y3 =

2

, y4 =

, y5

=

, y6

=

,

(5.1)

x

2

x

2

x

2

x

2

x

2

x

2

где (x0 : x1 : x2) — однородные координаты точки в RP2. Проверим, что f

— иммерсия, т.е. что в любой локальной системе координат ранг матрицы Якоби отображения f равен двум. Выберем локальную карту (U0, ϕ0), в которой t1 = x1/x0, t2 = x2/x0. В этой системе координат отображение f

будет иметь вид

y1 =	1		, y2 =	t12		, y3 =	t22		,
	1 + t	2		1 + t	2		1 + t	2
								(5.2)
y4 =	t1		, y5 =	t1t2		, y6 =	t2		.
	1 + t	2		1 + t	2		1 + t	2

Его матрица Якоби (с точностью до ненулевого множителя (1 + t 2)−2):

t

−

2t1

t2

−t2t

2t2

2t1t22

2t2(1 + t12)

2

1(1 +

2)

−2

1

2

.

−

2

2

(1

2t1t2

−

t1

+ t2)

−

t (1 t2

+ t2) t

(1 t2

+ t2)

2

−

1

2

1

− 2

2

1

2

−

2t1t2

(1 + t1

−

t2)

∆ Кратное интегрирование. Когомологии

57

Легко видеть, что для любых t1 и t2 ранг этой матрицы равен двум. Поскольку все координатные функции симметричны относительно перестановки однородных координат (x0, x1, x2), для локальных координат в остальных картах ранг матрицы Якоби также равен двум. Итак, f — иммерсия.

Покажем теперь, что f взаимно однозначное отображение. Пусть [x] и [x′] — разные точки в RP2. Если они находятся в одной локальной карте, то f имеет вид (5.2) и, очевидно, переводит их в разные точки R6. Точки, которые находятся в разных локальных картах и не попадают в их пересечение, имеют однородные координаты (x0 : 0 : 0), (0 : x1 : 0) или (0 : 0 : x2). Ясно, что (5.1) переводит их в разные точки R6.

Таким образом, отображение f является вложением проективной плоскости RP2 в R6. Осталось заметить, что образ f лежит в подпространстве R5 R6, задаваемом уравнением y1 + y2 + y3 = 1.

4. Триангулируемость компактных многообразий

Теорема 5.4. Всякое гладкое компактное многообразие X допускает триангуляцию, т.е. существует гомеоморфизм X → |K|, где |K| —

пространство некоторого симплициального комплекса.

Мы не будем доказывать эту теорему, отметим лишь, что доказательство получается на основе вложения X в RN .

Тема 2. Дифференциальные формы на многообразиях

Лекция 6 ´

Понятие дифференциальной формы

Наводящие соображения, определение дифференциальной формы на многообразии. Операции сложения и внешнего умножения дифференциальных форм. Канонический вид дифференциальной формы.

Напомним, что наша ближайшая цель — изучить понятие неопределенного интеграла в многомерной ситуации (самой общей, в случае интегрирования по многообразию).

Введем дифференциальные формы так, чтобы от них можно было брать интегралы по n-мерным многообразиям. Ясно, что введенные нами понятия интеграла и дифференциальной формы должны в случаях классического анализа (например, интегрирования по кривой) совпадать с аналогичными классическим объектами из анализа и при этом подчиняться тем же правилам, что и эти объекты.

1. Наводящие соображения

Напомним интегральную формулу замены переменных для одномерного случая:

x(β)	β
Z	Z
f(x)dx =	f(x(t))x′(t)dt,	(6.1)
x(α)	α

в которой слева записан интеграл по ориентированному отрезку (x(α) может быть больше, чем x(β)). В этой формуле заложена вся информация о том, как двигаться в многомерном анализе.

∆ Кратное интегрирование. Когомологии

59

Мы хотим ввести p-мерные аналоги подынтегрального выражения, однако, оказывается, что не совсем правильно приписывать интеграл (6.1) функции f. Приведем две коллизии из вещественного и комплексного анализа, иллюстрирующие, что на самом деле более естественно рассматривать интегралы не от функции, а от всего подынтегрального выражения, включая дифференциал, т.е. от дифференциальной формы f(x)dx.

Пример 6.1 (Коллизия первая). В классической формуле НьютонаЛейбница

b

Z

I = f(x)dx = F (b) − F (a)

a

первообразная F (x) приписана функции f(x). Если в интеграле I сделать замену переменных x = x(t), то он запишется в виде правой части равенства (6.1), где x(α) = a, x(β) = b. В новой переменной мы должны вычислять первообразную уже от функции f (x(t)) · x′(t). Наличие множителя x′(t) наводит на мысль, что первообразную F надо приписывать не функции f, а всему подынтегральному выражению f(x)dx.

Таким образом, первообразной для дифференциальной формы f(x)dx

называют такую функцию F , дифференциал dF = F ′dx которой равен f(x)dx.

Пример 6.2 (Коллизия вторая). Вторая коллизия касается определения вычета функции в бесконечно удаленной точке z = ∞ сферы Римана C.

Формально говорят, что вычет функции f(z) в бесконечно удаленной точке z = ∞ — это вычет f(z) после подстановки z = 1/w в точке w = 0. Означает ли это, что мы рассматриваем функцию f(1/w) и берем коэффициент c−1 в разложении Лорана

∞

X

f(1/w) = cnwn?

n=−∞

С точки зрения теоремы о полной сумме вычетов, согласно которой

X

resf(z) + resf(z) = 0,

a∞

a C

60	И.А. Антипова, О.В. Знаменская, А.К. Цих ∆

естественно считать, что вычет в бесконечности — это интеграл по окружности достаточно большого радиуса R, ориентированной в обратную сторону:

∞ f(z) = 2πi	Z	f(z)dz.
1
res	|z|=R>>1

Замена переменных z = 1/w в этом интеграле дает

−2πi		Z	f	w			w2		,
1					1		dw
		|w|=1/R
и значит			−						.
∞ f(z) = c−1							w2
res					f(1/w)

Таким образом, мы приходим к выводу, что и вычет надо сопоставлять не функции f(z), а дифференциальной форме f(z)dz.

Итак, преимущество выражения f(x)dx заключается в том, что при переходе к новому переменному t оно сохраняет свой вид дифференциальной

формы:

f˜(t)dt, где f˜(t) = f (x(t)) · x′(t).

Пример 6.3. В криволинейном интеграле

Z

I = P (u, v) du + Q(u, v) dv

γ

подынтегральное выражение P du + Q dv является примером дифференциальной формы степени 1. Пусть u = u(x, y), v = v(x, y). Рассмотрим замену переменных в этом выражении:

P	u(x, y), v(x, y) ∂x dx +			∂y dy +
		∂u		∂u
					Q u(x, y), v(x, y) ∂x dx +			∂y dy		=
						∂v		∂v