2. Кручение стержня круглого поперечного сечения

2.1. Краткие теоретические сведения

Кручением называют такой вид деформации, при котором в поперечных сечениях стержня возникает только один внутренний силовой фактор – крутящий момент M z , представляющий собой результирующий момент

внутренних касательных сил, действующих в поперечном сечении

	M z dF ,	(2.1)
	F
где	– касательные напряжения; – радиус кривизны.

Стержень круглого поперечного сечения, нагруженный крутящими моментами, обычно называют валом. Участки вала между сечениями, к которым приложены внешние моменты, скручиваются. Крутящий момент в любом сечении вала определяют методом сечений (рис. 2.1). Рассекая мысленно вал плоскостью, отбрасывают одну (любую) часть вала и заменяют действие отброшенной части моментом M z .

Крутящий момент в сечении вала численно равен алгебраической сумме внешних моментов T , приложенных по одну сторону от сечения.

Правило знаков. Внешний крутящий момент T считается положительным, если при взгляде со стороны сечения он направлен против хода часовой стрелки.

Для определения опасного сечения вала строят эпюру крутящего момента M z в выбранном масштабе.

Касательное напряжение в произвольной точке поперечного сечения определяется по формуле

M z ,

(2.2)

I p

где I p – полярный момент инерции.

Эпюра касательного напряжения приведена на рис. 2.2. Наибольшие касательные напряжения возникают в точках внешнего контура и определяются по формуле

		max	M z ,	(2.3)
			Wp
где Wp	I p	– полярный момент сопротивления сечения, а max d / 2 .
	max

12

T

l	z	0 z l
M z		T
		Mz T
Эпюра M z	z
T		T
	Рис. 2.1.

Рис. 2.2.

13

Геометрические характеристики вычисляются по следующим формулам: а) для круга

I p	d 4	0,1d 4 ; Wp	d 3	0,2d 3 ;
	32		16

б) для кольца

I p 32d 4 1 4 0,1d 4 1 4 ,

где d0 / d – отношение внутреннего диаметра к наружному.

Wp 16d 3 1 4 0,2d 3 1 4 .

Условие прочности при кручении имеет вид

max M z ,

Wp

где – допускаемое напряжение при кручении.

(2.4)

(2.5)

(2.6)

(2.7)

Для расчетов на жесткость и решения статически неопределимых задач необходимо вычисление углов закручивания поперечных сечений .

Если крутящий момент и поперечное сечение постоянны в пределах каждого участка вала, то угол закручивания определяется по формуле

	M zl ,			(2.8)
		GI p
где l	– длина участка; G – модуль сдвига.
	Условие жесткости имеет вид
		M z	,	(2.9)
		GI p
где	– относительный угол закручивания (т.е. угол закручивания на единицу
длины); – допускаемый угол закручивания.

2.2. Пример решения задачи 3

Условие задачи. Для стального ступенчатого вала заданы величины крутящих моментов M1, M 2 , M 3 . Требуется:

1.Построить эпюры крутящих моментов M z и максимальных касательных напряжений max при неизвестном диаметре вала d .

2.Составить условие прочности и вычислить необходимое d при80 МПа, затем назначить диаметр вала надопускаемом напряжении

каждом участке ( d1 , d2 , d3 ), соблюдая известную его зависимость от d .

3. Построить эпюру углов закручивания сечений , приняв модуль сдвига G 8 104 МПа.

14

Решение.		Для	расчетной		схемы,	показанной	на	рис.	2.3,	дано:
M1 100 Н·м, M 2 84			Н·м, M 3 30 Н·м, l 0,1 м.
Присваивая порядковые номера участкам вала, находим крутящий
момент M z	(Н·м) в проведенном				сечении, затем – момент сопротивления
сечения Wp	(м3), и		в последнюю очередь максимальные касательные
напряжения max (МПа). Расчет производим со свободного конца.
			M 3			M 2			M 1
A d			B	1,8d		C 2d			D
2l		z3			1,8l	z2	l	z1
14
									Эпюра M z
71,3/d 3			-16
						-100
									Эпюра	max
				-13,9/d 3
		0,0357				-63,7/d 3
						0,0322
								0,0242
									Эпюра
Рис. 2.3. Схема вала, эпюры крутящих моментов, напряжений и углов
			закручивания сечений

15

Первый участок.

Wp1 2d 3

M z1 M1

100 Н·м,

,

M z1

100 16

16

max1

63,7

(2.10)

Wp1

2d 3

d 3

Второй участок.

Н·м, Wp2 1,8d 3

M z2 M1

M 2

100

84 16

,

M z2

16 16

13,9

16

max 2

(2.11)

Wp2

1,8d 3

d 3

Третий участок.

d 3

M z3 M1

M 2

M 3

100 84

30

14 Н·м, Wp3

,

16

M z3

14 16

71,3

max3

(2.12)

Wp3

d 3

d 3

В силу того, что M z

и max независимы от z

в пределах каждого участка,

эпюры ограничены сверху горизонтальными прямыми линиями.

Условие прочности записываем в виде

max max3

71,3

.

(2.13)

d 3

Отсюда находим минимальное значение d , удовлетворяющее условию прочности, а затем – диаметры вала на всех участках:

d 3	71,3		3	71,3	0,0096	м, d 10 мм,	(2.14)
				80 106

d1 2d 20 мм, d2 1,8d 18 мм, d3 d 10 мм.

Переходя к построению эпюры углов закручивания сечений , принимаем за начало отсчета сечение A , где находится жесткая заделка. Тогда

A 0 , B A AB 0						M z3 l3 ,				(2.15)
						GI p3
где AB – угол закручивания третьего участка вала,									l3 ,	I p3 – длина участка и
полярный момент инерции поперечного сечения:
		d		4			10		4
l3 2l 0,2 м, I p3		3			9,81 10					(2.16)
		32						м .
Подстановка известных значений M z3 , l3 ,						I p3 , G в формулу (2.15) приводит к
результату:
B	14 0,2			0,0357 рад.						(2.17)
	8 1010 9,81 10 10
				16

Угол закручивания сечения		C будет равен сумме углов закручивания
второго и третьего участков.		M z2 l2 ,
C B BC	B
			GI p2
			d	4				8	4
l2 1,8l 0,18	м, I p2			2		1,03 10				(2.18)
			32						м .
C 0,0357	16 0,18						0,0322 рад.
	8 1010	1,03 10 8

Угол закручивания сечения D будет равен сумме углов закручивания первого и второго участков:

D C CD C M z1 l1 ,

GI p1

						d 4					8	4
l l 0,1	м,	I					1	1,57	10				(2.19)
				p1								м .
1						32
D 0,0332					100 0,1					0,0242 рад.
			8 1010				1,57 10 8

Поскольку графики зависимостей от z – линейные в пределах каждого участка, то эпюра ограничена сверху ломаной линией.

17