an_geom

Задачи по аналитической геометрии

М. А. Микенберг

2

Настоящий сборник задач соответствует курсу аналитической геометрии для студентов механико-математического факультета университета. Большинство задач пособия стандартны. Для решения многих из них нужно просто поставить параметры в формулы. Сборник содержит 18 параграфов. В начале каждого параграфа дается очень сжатый обзор теории. После краткого обзора теории следуют задачи по теме данного занятия. Думаю, что настоящее пособие поможет студентам освоить аналитическую геометрию. При составлении пособия были использованы следующие прекрасные сборники задач: О.Н.Цубербиллер "Задачи и упражнения по аналитической геометрии"; Д.В.Клетеник "Сборник задач по аналитической геометрии"; "Сборник задач по геометрии под редакцией В.Т.Базылева"; С.В.Бахвалов, П.С.Моденов, А.С.Пархоменко "Сборник задач по аналитической геометрии".

3

Ÿ1 Линейные операции над векторами. Линейная зависимость векторов. Базис. Координаты вектора.

Пусть даны векторы: ~a1;~a2; :::;~an и вещественные числа: ¸1; ¸2; :::; ¸n;

выражение ¸1~a1 + ¸2~a2 + ::: + ¸n~an называют линейной комбинацией данных векторов.

Система векторов ~a1;~a2; :::;~an называется линейно независимой, если для

любого набора вещественных чисел ¸1; ¸2; :::; ¸n, ãäå õîòÿ áû îäíî ¸i 6= 0, выполняется неравенство:

~

¸1~a1 + ¸2~a2 + ::: + ¸n~an =6 0:

Система векторов ~a1;~a2; :::;~an называется линейно зависимой, если существует

набор вещественных чисел ¸1; ¸2; :::; ¸n, ãäå õîòÿ áû îäíî ¸i 6= 0, такой, что выполняется равенство:

~

¸1~a1 + ¸2~a2 + ::: + ¸n~an = 0:

Базисом (на прямой, на плоскости, в пространстве) называется упорядоченная система векторов, которая линейно независима и при этом каждый вектор (прямой, плоскости, пространства) является линейной комбинацией векторов данной системы. Базисом на прямой является всякий ненулевой вектор. Базисом на плоскости является любая система, состоящая из двух неколлинеарных векторов. Базисом в пространстве является любая система, состоящая из трех некомпланарных векторов.

Базис называется ортонормированным, если векторы базиса попарно ортогональны и имеют единичную длину.

Пусть в пространстве даны два базиса:f~e1;~e2;~e3g (старый базис) и

f~e10;~e20;~e30g (новый базис). Можно разложить векторы нового базиса по векторам старого базиса:

~e10 = A11~e1 + A21~e2 + A31~e3;

~e20 = A12~e1 + A22~e2 + A32~e3; ~e30 = A13~e1 + A23~e2 + A33~e3:

ABC, òî

равенство:

4

Из коэффициентов разложения векторов нового базиса по векторам старого
базиса можно составить следующую матрицу:
A = 0 A21	A22	A23	1:
A11	A12	A13	A
@ A31	A32	A33

Эту матрицу называют матрицей перехода от базиса f~e1;~e2;~e3g к базису

f~e10;~e20;~e30g. Для базисов на прямой или на плоскости матрица перехода определяется аналогично.

Если вектор p~ разложен по базису f~e1;~e2;~e3g (в пространстве): p~ = x~e1 + y~e2 + z~e3, то коэффициенты разложения x, y, z называют координатами вектора p~. Этот факт записывают следующим образом: p~(x; y; z). Напомним

следующие свойства координат: координаты суммы векторов равны суммам соответсвующих координат; координаты произведения вектора на число равны произведениям координат на это число.

Если известны координаты вектора ~x (в пространстве) относительно

базиса f~e1;~e2;~e3g: (x; y; z) (старые координаты) и координаты этого же вектора относительно базиса f~e10;~e20;~e30g: (x0; y0; z0) (новые координаты),

то связь между новыми и старыми координатами вектора ~x задается

следующими формулами:

8

< x = A11x0 + A12y0 + A13z0;

:y = A21x00 + A22y00 + A23z00; z = A31x + A32y + A33z ;

ãäå Aij - коэффициенты матрицы перехода от базиса f~e1;~e2;~e3g к базису

f~e10;~e20;~e30g.

1.1 Доказать, что если M - точка пересечения медиан треугольника

¡¡! ¡¡! ¡¡! ~

MA + MB + MC = 0 и для любой точки O справедливо

¡¡! 1 ¡! ¡¡! ¡!

OM = 3(OA + OB + OC):

1.2 Пусть A, B, C, D - произвольные точки пространства. M è N -

¡¡!

середины отрезков соответственно AD è BC. Доказать, что 2MN =

						5
	¡!	+ ¡¡!
	AB	DC.	(¡¡!	=	¡!)
	1.3 Дана трапеция ABCD					. Точки M è N - середины
			DC		kAB
	оснований соответственно AB è DC, P - точка пересечения диагоналей

трапеции.		¡! ¡¡!
a) Приняв векторы
¡¡! ¡¡! ¡! ¡¡!		AB è AD за базисные, найти координаты векторов
CB, MN, AP , P B.		¡! ¡¡!
b) Приняв векторы
¡! ¡¡! ¡¡! ¡¡!		P A è P B за базисные, найти разложения векторов
AB, BC, CD, DA.
1.4 M - точка пересечения медиан треугольника ABC. Найти координаты
векторов ¡! ¡¡! ¡! ¡¡!				f¡¡! ¡¡!g
	AB, BC, AC, AM в базисе			MB; MC	.
1.5 M - точка пересечения медиан треугольника ABC.
a)	Разложить вектор		¡¡!	¡¡!	¡!
b)	Разложить вектор		MA по векторам BC è CA.
			¡!	¡¡!	¡¡!
			AB по векторам MB è MC.
c) Разложить вектор ¡!				¡¡! ¡! ¡¡!
		OA по векторам OB, OC è OM, ãäå O - произвольная

точка пространства.
1.6 На плоскости даны три вектора своими координатами относительно
некоторого базиса: ~a(4; ¡2)				, ~
					b(3; 5), ~c(¡2; 12). Представить вектор ~c êàê
линейную комбинацию векторов ~a						è ~
						b.
1.7 ~a	è ~
		b - неколлинеарные векторы. Доказать, что система векторов
		~	~		~
m~ = 3~a ¡ b; ~n = 2~a + b; p~ = ~a + 3b - линейно зависимая, а векторы ~n è p~
не коллинеарны. Разложить вектор m~ по векторам ~n è p~.
1.8 В треугольнике ABC проведена биссектриса AD óãëà A. Разложить
вектор		¡¡!	¡!		¡!
		AD по векторам AB è AC.

1.9 Относительно базиса f~e1;~e2g вектор имеет координаты (2; 1). Найти координаты этого же вектора относительно базиса f~e10;~e20g, åñëè

a)	~e 0	= 4~e1;				b)	~e10	= 3~e1	¡	~e2;
	1	= ¡	2	~e2	;		~e20
½	~e20		3			½		= ¡2~e1 + ~e2:

1.10 Относительно базиса f~e1;~e2;~e3g заданы векторы: ~a1(0; ¡5; 0),

~a2(¡8; 0; 4), ~a3(0; ¡5; ¡1), ~a4(0; 0; 9), ~a5(3; 0; 0), ~a6(0; ¡7; 2), ~a7(1; ¡1; 7),

~a8(0; 0; 0). Указать какие векторы a) коллинеарны ~e2; b) компланарные с векторами ~e2 è ~e3.

1.11 Пусть M; N; P; Q - середины сторон AB; CD; BC; DE пятиугольника ABCDE, à K è L середины сторон MN è P Q. Доказать, что прямые AE è KL параллельны и 4jKLj = jAEj.

1.12 В базисе f~e1;~e2;~e3g даны векторы p~(¡3; 6; ¡13);~a(1; 0; ¡2);

6

~

b(1; ¡1; 3);~c(¡2; 3; 0). Представить вектор p~ как линейную комбинацию

~

векторов ~a; b;~c.

1.13 Пусть дана матрица перехода от старого базиса f~e1;~e2g к новому

базису f~e1	0;~e2	0g:	µ	1	1	¶:
				2	3

Известны старые координаты вектора ~x(1; 2). Найти новые координаты вектора ~x.

1.14 Пусть дана матрица перехода от старого базиса f~e1;~e2;~e3g к новому

базису f~e1	0;~e2	0;~e3	0g:	0	1	1	0	1	:
				@	1	2	3	A
					0	3	2

Известны новые координаты вектора ~x(1; 2; 3). Найти старые координаты вектора ~x.

1.15 Даны два базиса: f~e1;~e2g è f~e10;~e20g. Известны координаты векторов

этих базисов относительно некоторого третьего базиса: ~e1(1; 2), ~e2(3; 4), ~e10(1; ¡1), ~e20(1; 2). Найти матрицу перехода от базиса f~e1;~e2g к базису f~e10;~e20g. Известны координаты вектора p~ относительно базиса f~e1;~e2g: p~(¡2; 5). Найти координаты вектора p~ относительно базиса f~e10;~e20g.

1.16 Даны два базиса: f~e1;~e2;~e3g è f~e10;~e20;~e30g. Известны координаты

векторов этих базисов относительно0 некоторого0 третьего0 базиса:

~e1(1; 2; 3), ~e2(1; 0; 1), ~e3(0; 2; 1), ~e1 (0; 1; 2), ~e2 (1; 2; 3), ~e3 (0; 1; 1). Найти матрицу

перехода от базиса f~e1;~e2;~e3g к базису f~e10;~e20;~e30g. Известны координаты вектора p~ относительно базиса f~e1;~e2;~e3g: p~(¡1; 2; 1). Найти координаты

вектора p~ относительно базиса f~e10;~e20;~e30g.
1.17 (Теорема о центре масс.) Пусть даны n (n > 1) чисел (масс):
A1; A2; :::; An существует		P		M
m1; m2; :::; mn, таких, что			in=1 mi 6= 0. Доказать, что для любых точек
1¡¡!1	единственная точка				(центр масс), такая, что
		+	2¡¡!2 + ::: + mn¡¡!n = 0
m MA			m MA	MA		~;

и для любой точки O справедливо равенство:

¡¡! = Pin=1 mi (			1¡!1 + 2¡!2 + + n¡!n)
OM	1		m OA m OA ::: m OA :

7

Ÿ2 Скалярное произведение. Площадь параллелограмма.

è~

Скалярным произведением двух векторов ~a b называется число, обозначаемое

~

символом (~a; b) равное произведению длин этих векторов на косинус угла

~~

'между ними. Таким образом, (~a; b) = j~ajjbj cos '. Скалярное произведение

- функция линейная по каждому аргументу. Это означает, что выполняются
равенства:	~	~
	(¸~a + ¹b;~c) = ¸(~a;~c) + ¹(b;~c);
	~	~
	(~a; ¸b + ¹~c) = ¸(~a; b) + ¹(~a;~c);

ãäå ¸ è ¹ - вещественные числа. Длинà âåêтора равна квадратному корню

p

из его скалярного квадрата: j~aj = (a;~).

Если относительно ортонормированного базиса известны координаты и~

двух векторов: ~a(x1; y1; z1) b(x2; y2; z2), тогда их скалярное произведение вычисляется по формуле:

~

(~a; b) = x1x2 + y1y2 + z1z2:

В частности, длина вектора ~a(x; y; z) выражается через его координаты

относительно ортонормированного базиса по формуле:

p

j~aj = x2 + y2 + z2:

Если относительно ортонормированного базиса плоскости известны координаты
двух векторов: p~(x1; y1) è ~q(x2	; y2), тогда площадь параллелограмма, натянутого
на эти векторы, равна абсолютной величине определителя:
	¯	y1	y2	¯:
	¯	x1	x2	¯
	¯			¯
	¯			¯

~	è~
2.1 Вычислить скалярное произведение (~a; b), åñëè ~a = 3p~¡2~q	b = p~+4~q,
ãäå p~ è ~q - единичные взаимно перпендикулярные векторы.

2.2 Вычислить выражение: 3(m;~ m~) ¡ 2(m;~ ~n) + 4(~n; ~n), åñëè jm~j = 1=3, j~nj = 6 и угол между векторами m~ è ~n равен ¼=3.

~

2.3 Вычислить скалярное произведение (p;~ ~q), åñëè f~a; b;~cg - ортонормированный

8
базис и имеют место разложения:					~
		~	è				,
	p~ = 3~a + b ¡ 2~c			~q = ~a ¡ 4b ¡ 5~c.
			~	~				~
2.4 Вычислить сумму (~a; b) + (b;~c) + (~a;~c), åñëè ~a b è ~c - три единичных
вектора, удовлетворяющих условию:					~		~.
2.5					~a + b + ~c = 0
	Проверить справедливость тождества:					~ ~
	~	~	~	~
	(~a + b;~a + b) + (~a ¡ b;~a ¡ b) = 2((a;~) + (b; b))

и дать его геометрическое толкование.

2.6 Доказать, что скалярное произведение двух векторов не изменится, если к одному из них прибавить вектор, перпендикулярный другому сомножителю.

2.7 Найти длину вектора ~a = 3m~¡4~n, åñëè m~ è ~n - единичные ортогональные

	векторы.	è ~
	2.8 Вычислить угол между векторами ~a = 3p~ + 2~q
		b = p~ + 5~q, ãäå p~ è ~q

- единичные ортогональные векторы.
2.9 В прямоугольном равнобедренном треугольнике вычислить угол между
двумя медианами, проведенными из вершин острых углов.
~		è ~
2.10 Çíàÿ, ÷òî j~aj = 2, jbj = 5, угол между векторами ~a			b равен 2¼=3,
определить при каком значении ® векторы p~		~	~
	= ®~a + 17b		è ~q = 3~a ¡ b

будут перпендикулярными.

2.11 Зная векторы, образующие треугольник:

~

AB

~a

~

BC

~a

~

CA

~a

b,

=

+ 7

b,

b,

¡!

= 2

¡

6

¡¡!

¡! =

¡

3

¡

ãäå ~a

è~

b - единичные ортогональные векторы. Найти углы этого треугольника.

2.12 Зная векторы, образующие треугольник:

~

AB

~a

~

BC

~a

~

CA

~a

b,

4

b,

b,

¡!

= 5 + 2

¡¡!

= 2

¡

¡! =

¡

7 + 2

ãäå ~a

è~

b - единичные ортогональные векторы. Вычислить длину медианы,

проведенной из вершины A, и длину высоты, опущенной из этой же

вершины.

~

~

2.13 Доказать, что вектор p~ = b(~a;~c) ¡ ~c(~a; b) перпендикулярен вектору

~a.

В задачах 2.14-2.18 все векторы заданы своими координатами

относительно ортонормированного базиса

~ ~

~

.

fi; j; kg

2.14 Вычислить косинус угла, между векторами ~a

è ~

b, если известны

координаты этих векторов ~a(2; ¡4; 4)

, ~

b(¡3; 2; 6).

2.15 Вектор ~x, коллинеарный вектору ~a(6; ¡8; ¡15=2) образует острый

угол с вектором ~

k. Çíàÿ, ÷òî j~xj = 50, найти его координаты.

2.16 Найти вектор ~x, зная, что он перпендикулярен к векторам ~a(2; 3; ¡1)

è ~ ~ ~ ~

b(1; ¡2; 3), и удовлетворяет условию (~x; 2i ¡ j + k) = ¡6.

9

2.17 Вычислить проекцию вектора ~a(5; 2; 5)	на ось вектора ~
	b(2; ¡1; 2).

,~

2.18Даны три вектора: ~a(1; ¡3; 4) b(3; ¡4; 2), ~c(¡1; 1; 4). Вычислить проекцию

вектора ~a	на ось вектора ~
	b + ~c.

2.19 Доказать, что вектор

~	~
	(~a; b)
p~ = b ¡		~a
	(a;~)

перпендикулярен к вектору ~a.

2.20 В кубе найти величину угла 1) между его диагональю и скрещивающейся с ней диагональю грани; 2) между скрещивающимися диагоналями двух соседних граней; 3) между диагональю куба и пересекающейся с ней диагональю грани.

Используя формулу площади параллелограмма, решить задачи 2.21 - 2.22.

2.21 Относительно ортонормированного базиса плоскости даны два вектора: p~(2; ¡3) è ~q(4; ¡13). Найти площадь параллелограмма, натянутого на

векторы p~ è ~q.

2.22 Дан треугольник ABC. Относительно ортонормированного базиса

¡!плоскости,¡! ¡!в которой лежит¡! треугольник, известны координаты векторов AB è AC: AB(12; 3), AC(¡5; 7). Найти площадь треугольника ABC.

10

Ÿ3 Аффинная система координат. Деление отрезка в данном отношении. Формулы преобразования координат. Полярная система координат.

Аффинным репером или аффинной системой координат (в пространстве) называется упорядоченная четверка (O; ~e1;~e2;~e3), состоящая из точки O

и базиса f~e1;~e2;~e3g пространства. Аффинная система координат называется

прямоугольной декартовой, если базис f~e1;~e2;~e3g ортонормирован.

Говорят, что точка C делит отрезок AB в отношении ¸, если выполняется

2

;

2)

равенство: ¡! =

¡¡!

(

1;

1; 1)

è B

(

2;

AC

¸CB. Если даны координаты точек A

x

y

z

x

y

z

,

то координаты точки C(x; y; z), делящей отрезок AB в отношении ¸,

находятся по формулам:

x =

x1 + ¸x2

;

y =

y1 + ¸y2

;

z =

z1 + ¸z2

:

1 + ¸

1 + ¸

1 + ¸

Если даны две аффинные системы координат: (O; ~e1;~e2;~e3) (старая система координат) и (O0; ~e10;~e20;~e30) (новая система координат), то формулы преобразования

координат имеют вид:

8

< x = A11x0 + A12y0 + A13z0 + x0;

:y = A21x0 + A22y0 + A23z0 + y0; z = A31x0 + A32y0 + A33z0 + z0;

ãäå (x; y; z) - координаты точки относительно старой системы координат, а (x0; y0; z0) - координаты этой же точки относительно новой системы координат; (x0; y0; z0) - координаты точки O0 относительно старой системы

координат, Aij - коэффициенты матрицы перехода от базиса f~e1;~e2;~e3g к базису f~e10;~e20;~e30g (см. занятие 1).

Выше приведены формулы для пространства. Для плоскости имеют место аналогичные формулы. Их приводить не будем. Однако, отметим один частный случай формул преобразования координат на плоскости. Формулы преобразования прямоугольных декартовых координат на плоскости при повороте осей на угол ' и переносе начала координат в точку (x0; y0)

определяются равенствами:

½	x = cos(')x0 ¡ sin(')y0 + x0;
	y = sin(')x0 + cos(')y0 + y0: