Лабораторна робота № 3 Спектральний аналіз одиночних сигналів

Мета: дослідження спектрів одиночних сигналів.

Короткі теоретичні відомості

Перейти від періодичної функції до одиночного імпульсу можна шляхом збільшення періоду Т →∞. При цьому проміжки межу окремими спектральними складовими ω = 2π/Т→ 0 і спектр сигналу з лінійчатого стає суцільним. Відповідно і дискретні значення частоти ω_с заміняються при цьому на безперервну величину ω, а сума ряду - на інтеграл. У результаті ряд Фур'є приймає вигляд

(3.1)

де S(ω) - спектральна щільність:

(3.2)

Інтеграли (3.1) і (3.2) називаються, відповідно, зворотним і прямим перетворення Фур'є. Підінтегральну функцію в (3.2) можна представити у вигляді:

(3.3)

Комплексна функція для спектральної щільності:

де

Амплітуда і фаза спектральної щільності:

Пояснимо фізичний зміст наведених виразів прямого і зворотного перетворень Фур'є. Згідно (3.1) одиничний імпульс довільної форми, описуваний дійсною функцією Ф(t), представляється нескінченою сумою синусоїдальних коливань. Самі ці коливання нескінчено малі по амплітуді і відрізняються по частоті на нескінчено малу величину. Ця відмінність по частоті становить dω, а амплітуда складової S(ω)dω, де S(ω) є спектральна щільність розмірністю В/Гц. З її допомогою можна визначити потужність сигналу при навантаженні в 1 Ом в інтервалі частотного спектра, який знаходиться в межах від f₁ до f₂:

Завдання для виконання

І частина. Дослідження різного виду одиночних імпульсів з використанням пакету прикладних програм Mathcad.

Програми, що наведені нижче, по визначенню спектральної щільності чотирьох видів одиничних імпульсів, складені за допомогою пакета програм Mathcad, мають наступні загальні риси:

• тривалість одиничного імпульсу Ф(t) кінцева й займає інтервал часу від 0 до τ або від - τ до τ, поза цим інтервалом Ф(t) = 0. Тому нескінченні межі інтегрування заміняються на зазначені величини;

• розмірність величин при розрахунку. Якщо величина τ задана в секундах, то значення частоти f - у Гц, при τ - у милісекундах f - кГц, при τ у мікросекундах f- у МГц;

• значення спектральної щільності обчислюється в N точках частотної осі із кроком DF. Чим більше N і дрібніше крок, тим вище точність, але й більше час рахунку. Звичайно досить прийняти N = 200..500.

Завдання 1.1. Дослідження імпульсу прямокутної форми (варіанти завдань див. табл. 3.1)

Програма за розрахунками функції спектральної щільності імпульсу прямокутної форми (рис. 3.1) наведена на рис. 3.2. На тому ж рис. 3.2 побудований графік обчисленої функції спектральної щільності при вихідних даних, наведених на початку програми.

Рис. 3.1

1. Розрахувати по програмі (рис. 3.2) функцію спектральної щільності прямокутного імпульсу згідно варіанту

2. За результатами розрахунку за допомогою програми побудувати графіки функції спектральної щільності.

3. Визначити, як тривалість прямокутного імпульсу τ впливає на ширину і амплітуду спектра.

Рис. 3.2

Завдання 1.2. Дослідження імпульсів косинусоїдальной форми (варіанти завдань див. табл. 3.2)

Програма за розрахунками функції спектральної щільності імпульсу косинусоидальной форми (рис. 3.3) наведена на рис. 3.4. На тому ж рис. 3.4 побудований графік обчисленої функції спектральної щільності при вихідних даних, наведених на початку програми.

Рис. 3.3

1. Розрахувати по програмі (див. рис. 3.4) функцію спектральної щільності косинусоидального імпульсу згідно варіанту.

Рис. 3.4

2. За результатами розрахунку за допомогою програми побудувати графіки функції спектральної щільності.

3. Визначити як тривалість косинусоидального імпульсу τ впливає на ширину і амплітуду спектра.

Завдання 1.3. Дослідження імпульсів трикутної форми (варіанти завдань див. табл. 3.3) Програма за розрахунками функції спектральної щільності імпульсу трикутної форми (рис. 3.5) наведена на рис. 3.6.

На тому ж рис. 3.6 побудований графік обчисленої функції спектральної щільності при вихідних даних, наведених на початку програми.

Рис. 3.5

1. Розрахувати по програмі (рис.3.6) функцію спектральної щільності трикутного імпульсу згідно варіанту

Рис. 3.6

2. За результатами розрахунку за допомогою програми побудувати графіки функції спектральної щільності.

3. Визначити як тривалість косинусоидального імпульсу τ впливає на ширину і амплітуду спектра.

Завдання 1.4. Дослідження імпульсу експонентної форми (варіанти завдань див. табл. 3.4). Програма за розрахунками функції спектральної щільності імпульсу експонентної форми (рис. 3.7) наведена на рис. 3.8. На тому ж рис. 3.8 побудований графік обчисленої функції спектральної щільності при вихідних даних, наведених на початку програми.

Рис. 3.7

1. Розрахувати по програмі (рис. 3.8) функцію спектральної щільності експонентного імпульсу згідно варіанту.

2. За результатами розрахунку за допомогою програми побудувати графіки функції спектральної щільності.

3. Визначити як тривалість косинусоидального імпульсу τ впливає на ширину і амплітуду спектра.

Рис. 3.8

ІІ частина. У середовищі Matlab сформувати гаусів, прямокутний, трикутний, імпульси типу sin(x)/x, сигнал із суми синусоїд. Побудувати спектри зазначених сигналів.

Приклад:дослідження імпульсу Гауса.

Методика виконання:

1) завантажити в середовищі Matlab файл g_impuls.m, ознайомитись з текстом програми і виконати, нажавши в панелі інструментів «Debug» кнопку «Run»;

2) створити спектр досліджуваного сигналу за допомогою графічного інтерфейсу Signal Processing, який можна відкрити, задавши команду sptool у вікні команд Matlab;

3) у вікні SPTool у меню File вибрати команду Import, з вікна «Workspace Contents» вибрати змінну, що задає вид сигналу, і відправити в розділ «Data», а значення частоти дискретизації Fs відправили в розділ «Sampling Frequency», виконати (файли g_impuls s_sawtooth, sp_square, s_sumsin );

4) у вікні «Signals» вибрати знову уведений сигнал і натиснути кнопку «View», з'явиться зображення сигналу (рис. 3.9);

5) у вікні «Spectra» натиснути кнопку «Create», у вікні, що розкривається, у розділі «Parameters» вибрати метод «FFT» - швидке перетворення Фур'є - і натиснути кнопку «Apply», з’явиться зображення спектру досліджуваного сигналу (рис. 3.10).

Аналогічним чином провести дослідження зазначених в завданні сигналів, вибираючи відповідну змінну, котра задає вид сигналу і частоту дискретизації Fs.

Рис. 3.9 Імпульс Гауса

Рис. 3.10 Спектр імпульса Гауса

Варіанти для виконання.

Таблиця 3.1. Дослідження прямокутного імпульсу

№ варіанта	τ	АМ	N	fh	DF
1	0.05	10	200	-50	0.5
2	0.07	9	200	-30	0.3
3	0.08	5	300	-50	0.5
4	0.04	15	300	-30	0.5
5	0.06	10	200	-30	0.3
6	0.15	5	300	-50	0.6
7	0.1	10	200	-30	0.3
8	0.2	15	300	-40	0.6
9	0.1	10	200	-50	0.5
10	0.05	10	250	-30	0.5
11	0.15	10	300	-25	0.5
12	0.15	7	400	-50	0.6
13	0.15	5	300	-50	0.5
14	0.08	9	300	-30	0.4
15	0.09	15	200	-40	0.3

Таблиця 3.2 Дослідження косинусоїдального імпульсу

№ варіанта	τ	АМ	N	Fh	DF	T
1	0.05	10	500	-50	0.2	1
2	0.04	15	400	-30	0.1	2
3	0.04	15	500	-40	0.1	1
4	0.06	10	300	-50	0.2	1
5	0.07	12	500	-30	0.1	1
6	0.03	10	500	-50	0.2	1
7	0.1	10	500	-50	0.1	2
8	0.05	15	300	-30	0.1	1
9	0.07	10	500	-50	0.1	1
10	0.05	15	500	-50	0.1	1
11	0.06	10	300	-50	0.2	1
12	0.04	10	500	-50	0.2	1
13	0.05	10	400	-30	0.2	1
14	0.05	15	500	-40	0.2	2
15	0.06	10	400	-50	0.2	1

Таблиця 3.3 Дослідження трикутного імпульсу

№ варіанта	τ	H	N	fh	DF
1	0.05	100	200	-50	0.5
2	0.06	200	200	-30	0.6
3	0.05	100	200	-50	0.6
4	0.06	100	200	-30	0.8
5	0.05	200	100	-50	0.7
6	0.1	100	200	-50	0.5
7	0.15	100	300	-30	0.6
8	0.03	100	200	-50	0.7
9	0.05	100	200	-30	0.8
10	0.06	100	300	-30	0.5
11	0.07	100	200	-50	0.5
12	0.08	100	400	-50	0.7
13	0.06	100	200	-30	0.5
14	0.15	100	200	-50	0.7
15	0.06	100	400	-30	0.8

Таблиця 3.4 Дослідження імпульсу експонентної форми.

№ варіанта	τ	H	N	fh	DF
1	0.05	100	200	-50	0.5
2	0.06	200	200	-30	0.6
3	0.05	100	200	-50	0.6
4	0.06	100	200	-30	0.8
5	0.05	200	100	-50	0.7
6	0.1	100	200	-50	0.5
7	0.15	100	300	-30	0.6
8	0.03	100	200	-50	0.7
9	0.05	100	200	-30	0.8
10	0.06	100	300	-30	0.5
11	0.07	100	200	-50	0.5
12	0.08	100	400	-50	0.7
13	0.06	100	200	-30	0.5
14	0.15	100	200	-50	0.7
15	0.06	100	400	-30	0.8

Контрольні запитання:

1. Умови представлення неперіодичної функції рядом Фур’є.

2. Які властивості спектральної щільності неперіодичного сигналу?

3. Назвіть команди для генерації імпульсу Гауса, прямокутного та трикутного імпульсів в середовищі Matlab?

4. Яким чином визначити спектральну щільність неперіодичного сигналу?

5. Як обчислити практичну ширину спектру сигналу?

6. Для чого використовується пряме та зворотне перетворення Фур’є?