7.2. Подбор сечения балки

Исходя из назначения проектируемой балки, определение необходимых размеров её поперечного сечения производится по двум критериям: 1) - балка должна быть прочной при минимальном весе; 2) - жесткость балки должна быть не ниже заданной.

При расчете по допускаемым напряжениям исходят из условия прочности по нормальным напряжениям

, (7.2)

где - максимальный изгибающий момент;

- момент сопротивления сечения относительно нейтральной оси;

- допускаемые напряжения для материала балки.

Подбор сечений производят по наиболее напряженному сечению, в котором изгибающий момент достигает максимальной величины. Из условия прочности (7.2) при заданном изгибающем моменте определяется требуемый момент сопротивления поперечного сечения

, (7.3)

по которому назначаются (или выбираются по сортаменту прокатных сталей) размеры поперечных сечений балки так, чтобы действительный момент сопротивления был бы близок к требуемому.

Условие жесткости можно выразить неравенством

, (7.4)

т.е. максимальный прогиб балки не должен превышать допускаемый .

Допускаемый прогиб (стрела прогиба) зависит от назначения рассчитываемого бруса (балка, вал), а его величину обычно задают в долях от пролета (межопорного расстояния ). Для консолей пролетпринимается равным удвоенному вылету консоли.

Так, например, для балок мостовых кранов , а для валов и шпинделей металлорежущих станков(1 мм на длине 1000мм).

Следует заметить, что проектировочные расчеты балок предусматривают выполнение и некоторых других расчетов, например оценка устойчивости стенок балок, определение величины касательных напряжений в сечениях изгибаемых балок и др. В данном конспекте методика выполнения таких расчетов не приводится.

7.3. Определение прогибов балки и углов поворотов сечений.

Под действием внешних сил продольная ось балки искривляется (например, для консольной балки рис. 7.3), а ее поперечные сечения, определяемые расстоянием х, перемещаются .Изогнутую ось балки называют упругой линией.

Перемещение центра тяжести сечения по направлению, перпендикулярному к оси балки, называется прогибом балкив данном сечении и обозначается буквой. На рис. 7.3 центр тяжести произвольного сечения, взятого на расстояниих от начала координат, переместился по вертикали из точкиО₁ в точкуО₂ на расстояниеО₁О₂. Это перемещение и является прогибом балки в сечении с абсциссойх. Наибольший прогиб (при) называетсястрелой прогибаи обозначается буквойf.

При деформации балки каждое сечение, оставаясь плоским, поворачивается по отношению к своему прежнему положению. Угол , на который сечение поворачивается по отношению к своему первоначальному положению, называетсяуглом поворота сечения.

Существует несколько методов определения прогибов и углов поворота сечений балки, возникающих при плоском поперечном изгибе. Здесь изложен достаточно простой метод – метод начальных параметров, удобный при использовании компьютерных технологий расчета.

Метод начальных параметров позволяет записать уравнения прогибов и углов поворотазаданных сечений, пригодные для всех участков балки, поэтому эти уравнения, называются универсальными, или обобщенными.

Универсальные уравнения (в форме, предложенной профессором А. П. Коробовым), учитывают все основные типы нагрузок – сосредоточенный момент М, сосредоточенную силуР, распределенную нагрузкупостоянной или переменной интенсивности. Для балки постоянного сеченияпри действии нагрузок, дающих положительные моменты, уравнение перемещений (прогибов) имеет следующий вид (распределенная нагрузка- постоянна):

(7.5)

Дифференцируя уравнение (7.5), получаем уравнение углов поворота сечений:

(7.6)

Здесь – начальные параметры:у₀ – прогиб в начале координат;— угол поворота начального сечения;М₀ – изгибающий момент в начальном сечении;– поперечная сила в том же сечении. Отметим, чтоу₀ и– это геометрические факторы, аи– силовые факторы.

Начальные параметры , могут принимать какие угодно значения: положительные, отрицательные и равные нулю. Определяют эти четыре величины, исходя из условия закрепления балки, а также нагружения левого конца, который принят за начало координат.

Знак и др. (прерыватель) показывает, что соответствующее слагаемое нужно учитывать только приx > a, x > bи т.д.. Это означает, что при определении прогиба в каком-либо сечении с абсциссойх в уравнение входят лишь нагрузки, лежащие слева от этого сечения.

Таким образом, определение перемещений по методу начальных параметров сводится в первую очередь к определению величин начальных параметров . Статические начальные параметрыинаходят из условий равновесия балки. Геометрические начальные параметрыу₀ иопределяют из условий на опорах.

При выводе уравнений для конкретного вида изгибаемой балки и схемы её нагружения рекомендуется соблюдать некоторые правила, которые будут изложены при рассмотрении примера.

П р и м е р 7.1.

Для заданных размеров балки и схемы приложения нагрузок (рис. 7.4), построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментовМ, подобрать, из условий прочности, двутавр, построить графики прогибов и углов поворотов сечений по длине балки. Проверить выполнение условия жесткости.

Исходные данные:

Р е ш е н и е.

1. Определение опорных реакций.

Направим реакции R_A, иR_Bвверх. Составим уравнение моментов относительно точкиА:

.

Отсюда, подставив числовые значения, находим R_B:

кН.

Составим уравнение моментов относительно точки В:

.

Откуда, подставив числовые значения, находим R_А:

Для проверки правильности определения реакций составляем сумму проекций всех сил на ось y:

Таким образом, реакции определены верно.

Обратим внимание, что реакция R_А получилась отрицательной, поэтому, в дальнейшем необходимо изменить на рисунке её направление на обратное (см. рис. 7.5) и считать эту реакцию положительной¹. С учетом сказанного принимаемR_A= 16,12кН.

2. Построение эпюр поперечных сил и изгибающих моментов.

Для построения эпюр QиMиспользуем метод сечений.

Балка имеет шесть участков, поэтому будем рассматривать условие равновесия отсекаемой части балки поочередно на каждом участке. Напомним, что поперечная сила в произвольном поперечном сечении бруса с абсциссойхравна алгебраической сумме проекций на осьyвсех внешних сил, приложенных к его отсеченной части.

Изгибающий момент в этом же сечении, равен алгебраической сумме моментов всех сил, приложенных к отсеченной части, относительно той точки оси бруса, через которую проходит рассматриваемое сечение (точкаС на рисунке 7.5).

При построении эпюр QиMнеобходимо соблюдать правила знаков, отражаемые на рис. 7.2,в.

На первом участкедля любого сечениях () запишем:

Здесь бесконечно малая величина, позволяющая определить значение момента в сечении, расположенном весьма близко к границеI– го участка. Это необходимо сделать, чтобы при переходе через границу участка обнаружить скачек момента, поскольку в сеченииприложен внешний сосредоточенный моментМ. Из последнего выражения видно, что не зависит отх, т.е. она постоянная на длине участка, а является линейной функциейх , поэтому на первом участке построить эпюры достаточно просто.

На втором участке(см. рис. 7.5) для любого сечениях () запишем:

Рассмотрим еще один участок – четвертый(см. рис. 7.5) на котором имеется распределенная нагрузкаq. Поперечная сила в сечениихот действия только распределенной нагрузки численно равна равнодействующейраспределенной нагрузки на длине, т.е.. Изгибающий момент в том же сечении отqравен моменту их равнодействующей, линия действия которой проходит посредине отрезка, т.е..

С учетом сказанного составим полное уравнение равновесия для отсеченной части при расположении сечения с абсциссой х на четвертом участке ():

Анализ последнего выражения показывает, что поперечная сила линейно зависит отх, поэтому для построения эпюры достаточно найти ее ординаты в двух граничных сечениях:и.

В тоже время, изгибающий момент в пределах длины четвертого участка, изменяется по квадратичному закону, поэтому для построения эпюры следует определить три-четыре её ординаты:

Порядок построения эпюр на других участках выполняется по таким же правилам.

На рисунке 7.6 показаны эпюры поперечных сил и изгибающих моментов для рассматриваемой балки.

Как видно из рисунка 7.6 наиболее нагруженным является сечение балки в котором приложена сосредоточенная сила . В этом сечении изгибающий момент достигает максимальной величины - 44,47кН·м.

3. Подбор сечения балки по условию прочности.

Найдем проектировочную величину момента сопротивления сечения балки W из условия прочности (5.2)

По таблице сортамента подбираем двутавр № 24 (рис. 7.7), сечение которого имеет такие основные характеристики: h=24см,b=11,5см,S=0,56см, = 289 см³, а момент инерцииI_z = 3460 см⁴= 3460·10^-8м⁴.

Как уже было ранее упомянуто более полную проверку прочности балки в опасном сечении (с учетом касательных напряжений) здесь не рассматриваем.

4. Определение прогибов балки и углов поворотов сечений.

Определения прогибов и углов поворота сечений балки, возникающих при плоском поперечном изгибе, используем метод начальных параметров, описанный выше.

При выводе уравнений для конкретного вида изгибаемой балки и схемы её нагружения рекомендуется соблюдать следующие правила:

1. Начало координат выбирают, как и ранее, в крайней левой точке рассматриваемой балки и делают его общим для всех участков².

2. Условимся расстояния (абсциссы) до сечений в которых действуют нагрузки обозначать в таком порядке (рис. 7.4): до сечения с сосредоточенным моментом М – буквойа, до сечения в котором приложена сосредоточенная силаР – буквойb,до сечения в котором начинается распределенная нагрузка интенсивностью– буквойс, до сечения где заканчивается распределенная нагрузка – буквойd. Если на балку действует несколько повторяющихся нагрузок какого либо вида (М, Р или q), то абсциссы до них (например, доР₁,Р₂ рис. 7.4) обозначаем теми же буквами с соответствующим индексом -b₁, b₂, и т.д. Следует учесть, что опорные реакции также должны учитываться как сосредоточенные силы, причем их абсциссы могут обозначаться либо буквамиb, либо буквами, принятыми на схематических рисунках (например, для реакцииR_B рис. 7.4 абсциссу можно обозначить буквойl).

3. Знаки слагаемых, в формулах (7.5) и (7.6), определяются по правилу назначения знаков при построении эпюр изгибающих моментов от соответствующих силовых факторов (рис. 7.2).

4. В случае обрыва распределенной нагрузки (например, в сечении x = d, рис. 7.4) ее искусственно продлевают до конца рассматриваемого участка, а для восстановления действительных грузовых условий вводят «компенсирующую» нагрузку обратного направления. «Дополнительную» и «компенсирующую» нагрузки будем показывать на чертежах штриховыми линиями (смотри рис.7.8).

5. Для определения начальных параметров у₀ ицелесообразно сразу написать уравнение прогибов для крайнего правого участка (в нашем примере участокVI).

Рассмотрим, как определяются перемещения по методу начальных параметров для заданной балки.

Запишем уравнение упругой линии для крайнего правого участка балки (участок VI). Так как распределенная нагрузка обрывается в точкеF, продлим ее до конца балки, одновременно вводя компенсирующую нагрузку такой же интенсивности (рис. 7.8).

Тогда уравнение упругой линии для рассматриваемого участка () будет иметь вид

Уравнение (7.7) записано с учетом того, что статические начальные параметры нам уже известны:

Для определения геометрических начальных параметров имеем опорные условия:

при ,

при .

Из первого опорного условия следует, что

.

Второе опорное условие дает ()

Теперь уравнение упругой линии и углов поворота сечений можно записать для любого участка балки, учитывая формулы (7.5), (7.6) и пояснения к ним. Так, например, для первого участка () уравнения прогибов и углов поворотов будут иметь такой вид:

Задаваясь несколькими значениями х на рассматриваемом промежутке можно построить упругую линию и углы поворота сечений балки в виде графиков (рис. 7.9).

Для второго участка () уравнения прогибов и углов поворотов будут иметь такой вид:

и так далее.

Учитывая современные возможности вычислительной техники все расчеты целесообразно выполнять на компьютере, используя готовые математические программные продукты, например, математический редактор MathCad.

На рисунке 7.10 приведены зависимости прогибов и углов поворота сечений на всей длине рассмотренной балки, полученные с помощью упомянутой программы.

5. Проверка жесткости балки.

Проверяем пригодность подобранного профиля балки по условию жесткости (формула 5.3).

Наибольший (либо наименьший) прогиб балки будет там, где угол поворота сечения . Положение этого сечения можно найти, приравняв нулю правую часть уравнения (5.5). Однако, имея график зависимости(см. рис. 5.8,б) можно определить значение искомой абсциссы при которой. Из рисунка видно, что, еслим. Воспользовавшись уравнением прогибов для второго участка и взяв, получим

Тогда максимальный прогиб балки в этом сечении будет

,

т.е. жесткость балки в пределах пролета достаточна.

Учитывая, что балка имеет консоль необходимо проверить, не превысит ли прогиб консоли допустимую величину прогиба:

,

а допустимый прогиб консоли будет

,

Следовательно, прогиб консоли превышает допустимый, поэтому необходимо взять двутавр следующего номера (№27) и выполнить повторно требуемые расчеты. Предоставляем курсантам сделать это самостоятельно.

1Можно не менять направление реакции на рисунке, но тогда при рассмотрении равновесия сил (или при построении эпюрМиQ ) её величина берется с отрицательным знаком.

2Можно начало координат выбирать в любом сечении балки, но при этом начальные параметры определяются именно для этого сечения, а перемещения определяются для сечений, лежащих правее начального сечения.