28. Криволінійні кординати.
До цього часу ми мали справу з декартовими або косокутними координатами. Положення точки зручно визначити за допомогою криволінійних координат.
-92-
Три координати називаються криволінійними координатами точки, якщо вони однозначно визначають положення точки в просторі.
Вони вводяться за допомогою системи рівнянь
/28.1/
Тобто
/28.1/
Рівняння /28.1/ можна розв’язати відносно
Функції /28.1/ і /28.2/ будемо вважати неперервними, диференційованими, а при необхідності – однозначними.
Приклад 1. Циліндрична система координат.
Циліндричними координатами точки М є
Вони зв’язані з декартовими координатами за допомогою відомих співвідношень
Приклад 2. Сферична система координат.
Сферичними координатами точки є
При цьому
Приклад 3. Криволінійні координати точки задані рівняннм
У першому з рівнянь /28.2/ зафіксуємо криволінійну координатну , тобто приймемо
Очевидно, це є рівнянням певної поверхні в просторі , яку ми будемо називати координатною поверхнею. Існують всього три координатні поверхні.
-93-
Вони перетинаються вздовж трьох ліній
Які ми будемо називати координатними лініями.
Координатні лінії, в свою чергу перетинаються в одній точці М
Означення .Якщо три координатні лінії є взвємно перпендикулярними в кожній точці простору, то криволінійнап систеиа координат називається ортогональною.
Поверхня
Є циліндром радіуса , поверхня
-площиною, яка проходить через вісь і утворює кутз площиноюповерхня
-площина, паралельна до площини на віддалівід цієї
площини. Як видно з рис.73, три лінії є взаємо перпендикулярними.
Подібним чином переконуємось, що ортогональною є і сферична система координат. Координатними поверхнями є
-сфера радіуса
-94-
- площина що проходить через вісь і утворює кутз площиною
- конус, описаний навколо осі , твірна якого утворює кутз віссю. Як видно з рис. 74. три кривіє ортогональними.
Розглянемо криволінійний простір, визначений координатами
тобто
поруч з точкою М, визначеною радіусом-вектором , розглянемо нескінченно близьку точкуз радіусом-вектором. Тоді
/28.4/
порівняємо цей вираз з формулою
І, зокрема з формулою
Де - масштабні вектори косокутної системи,- контраваріантні складові вкктора. У рівності /28.4/ми можемо вважати контраваріантними складовими вектора.
Тоді можна інтегрувати як масштабні вектори в криволінійній системі координат
На відміну від косокутної системи часткові похідні є змінними величинами, тому
-кожній точці криволінійного простору можна поставити у відповідність
-95-
косокутну систему. Визначену масштабними векторами . Таку косокутну систему називають локальною або репером.
Нарисуємо координатні поверхні і координатні лінії, що відповідають точці М криволінійного простору. Нехай точка лежить на координатній лінії, тоді
У нашому конкретному випадку / точка знаходиться на лінії
І тому
-вектори іколінеарні, векторє дотичним до координатної лінії. З другого боку
Де - довжина дуги, тому
вираз
називають коефіцієнтом Ламе. Враховуючи, що
одержимо
Взагалі: масштабний вектор є дотичним до координатної осі, його довжина дорівнює коефіцієнтові Ламе
За аналогією з теорії косокутних координат введемо луальні вектори в криволінійному просторі. Будемо виходити з формули
-96-
Приймаючи , ми одержуємо
З другого боку
Порівнюючи дві останні рівності маємо
Легко переконатися, що як і для косокутних координат
дійсно
Тому що незалежні координати, похіднаі дорівнює символу Крон екера.
Зауважимо, що вектор - перпендикулярний до поверхні. Це випливає з загальних властивостей градієнта скалярної функції/ див, 6/
29.матричний тензор в криволінійних координатах
Повернемося до формули
І згадаємо. Що величини є контраваріантними складовими векторау локальній системі координат, визначеній масштабними векторами. Коваріантні складові вектора визначається рівністю
Розкриємо скалярний добуток в декартові системі
-97-
І врахуємо, що
Тоді /29.1/
Введемо позначення
/29.2/
Формула /29.1/ визначає операцію опускання індекса у контраваріантного вектора
/29.3/
Отже, величини треба інтерпретувати як коваріантні складові метричного тензора.
Таким чином. Ми ввели коваріантний метричний тензор у криволінійному просторі.легко бачити, що /29.2/ формально збігається з означенням метричного тензора в косокутному просторі
У випадку ортогональної криволінійної системи
Приклад І. знайдемо компоненти метричного тензора для циліндричної системи координат.
Маємо
-98-
.
Приклад 2.Компоненти метричного тензора для сферичної системи координат
, ,,
, ,.
Нескладний підрахунок дає:
,
,
,
,
,
.
Приклад 3. Знайдемо компоненти метричного тензора для координат поверхні тора
Координати поверхні тора пов’язані з декартовими за допомогою таких співвідношень:
,
,
,
Приймаючи
, ,,
маємо
-99-
,
,
,
,
,
.
Контраваріантні складові метричного тензора визначимо за формулами:
, /29.6/
тобто
. /29.7/
Як і в теорії косокутних координат, коваріантний метричний тензор зв’язаний з контраваріантним відомим співвідношенням:
. /29.8/
Справедливість цієї формули очевидна з такого ланцюга рівностей:
-100-
Зокрема, якщо криволінійна система ортогональна співвідношення між ко- і контраваріантними складовими метричного тензора істотно спрощуються. Наприклад, при
,
,
і взагалі
, .
У випадку ортогональної системи дуальний базис в ортогональним подібно як і базис. Приймаючи в /29.8/маємо
,
, ,,
і взагалі
, .
Приклад 1.Матриця контрваріантного метричного тензора для циліндричної системи координат має вигляд
,
що можна перевірити безпосередньо
,
,
,
-101-
,
,
.
Приклад 2.Для сферичної системи координат
.
Зафіксуємо точку криволінійного простору і розглянемо в цій точці вектор. Його ко- і контраваріантні складові визначені формулами
, ,
.
Перемножуючи останню рівність на , одержимо
,
і аналогічно
.
Таким чином, відомі правила опускання і піднімання індексів справедливі і в криволінійному просторі.
Нехай задане векторне поле .
-102-
Ми можемо говорити про ко- і контраваріантні складові вектора в різних точках простору. При переході від точкидо точкискладові вектора змінюються:
а) за рахунок зміни вектора при переході від однієї точки простору до іншої;
б) за рахунок зміни репера /масштабних векторів /.
Рис. 77
Всі формули теорії косокутних координат залишаються правильними і для криволінійних просторів тільки тоді, коли мова йде про одну і цю ж точку простору.
В розв’язуванні проблем дослідник укріплює свої сили, знаходить нові методи і нові точки зору, відкриває більш широкі і вільні горизонти.
Д.Гільберт