lektsia1

Лекция 1

Тема: «Проецирование точки. Метод Монжа»

1. Условные обозначения и символы

«Начертательная геометрия – раздел геометрии, в котором пространственные фигуры, а также методы решения и исследования пространственных задач изучаются с помощью их изображений на плоскости».

2. Метод проекций

Изображения объектов трехмерного пространства на плоскости проекций получают методом проецирования. Аппарат проецирования включает в себя:

• проецирующие лучи, исходящие из центра проецирования S;

• проецируемый объект;

• плоскость, на которой получается изображение объекта.

Проецирование может быть центральным или параллельным.

При центральном проецировании проецирующие лучи выходят из одной точки – центра проецирования S, который находится на определенном (конечном) расстоянии от плоскости проекции.

При параллельном проецировании центр проецирования удален в бесконечность и все проецирующие лучи становятся параллельными. При этом, необходимо задать направление проецирования и плоскость проекций П₁.

В зависимости от направления проецирующих лучей по отношению к плоскости проекций, параллельное проецирование может быть косоугольным, если проецирующие лучи не перпендикулярны к плоскости проекций или прямоугольным (ортогональным), если проецирующие лучи перпендикулярны к плоскости проекций.

Этот метод широко используется при составлении чертежей, т.к. имеет ряд преимуществ перед центральным и косоугольным параллельным проецированием. К ним относятся простота геометрических построений ортогональных проекций точек и сохранение на проекциях, при определенных условиях, формы и размеров проецируемой фигуры.

3. Инвариантные свойства ортогонального проецирования

4.Обратимость чертежа

К чертежу предъявляются следующие требования: точность, простота, наглядность и обратимость.

Чертеж называется обратимым, если по изображению фигуры можно восстановить ее форму, размеры и положение в пространстве.

a

b

c

a₁  b₁ c₁

Обратимость чертежа может быть обеспечена проецированием на две (три) непараллельные плоскости проекций.

5. Метод Монжа

Французский математик и инженер Гаспар Монж предложил получать изображения путем ортогонального проецирования геометрического образа на несколько взаимно перпендикулярных плоскостей проекций (П₁,П₂, П₃).

Плоскости проекций пересекаясь, образуют восемь прямоугольных трехгранников (октант). (На рисунке показаны первые четыре октанта - четверти).

6. Наглядное изображение точки

Пусть дана точка А, принадлежащая первой четверти. Для того чтобы получить ортогональные проекции точки А, необходимо из этой точки опустить перпендикуляры на три плоскости проекций.

A₁ – горизонтальная проекция точки А

А₂ – фронтальная проекция точки А

А₃ – профильная проекция точки А

А₁ (Х, Y)

А₂ (Х, Z)

А₃ (Y, Z)

Расстояние от точки А до плоскости П₃

|АП₃ |

= |АА₃ | =

|А_x0 |

= Х

Расстояние от точки А до плоскости П₂

| АП₂ |

= y

= | АА₂ | =

|A₁А_x |

Расстояние от точки А до плоскости П₁

| АП₁|

= z

= | АА₁| =

|A₂А_x |

Положение точки А однозначно определяется ее тремя координатами

А ( X Y Z )

7. Комплексный чертеж

Совместим плоскость П₁ с плоскостью П₂ вращением вокруг оси ОХ, а плоскость П₃ с плоскостью П₂ вращением вокруг оси ОZ. Получим комплексный чертеж (эпюр).

А₂А₃ – горизонтальная линия проекционной связи

А₁А₂ – вертикальная линия проекционной связи

Для упрощения комплексного чертежа границы плоскостей проекций П₁,П₂,П₃ не указывают.

Если все координаты точки имеют числовые значения, то точка расположена в пространстве. Если точка имеет одну нулевую координату, то точка принадлежит плоскости проекций.

Если точка имеет две нулевые координаты, то точка принадлежит оси проекций

8. Взаимное положение точек

Даны две точки А и B принадлежащие первой четверти. Рассмотрим три случая:

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ