19.2.3. Метод прохождения отрезка с переменным шагом

В отличие от двух предыдущих этот метод позволяет найти не один, а несколько корней, если таковые имеются на выбранном интервале. Он предоставляет возможность локализовать каждый из искомых корней (определить все отрезки [a,b]). Сами корни находят одним из первых двух методов.

Суть метода заключается в следующем.

1. Выбирается интервал [А, В] значений аргумента Х, на котором ищутся корни.

2. Определяется начальное значение шага Н = (В - А)/ n, где n — начальное количество точек на интервале.

3. Проходят интервал [А, В] с шагом Н, вычисляя значения функции f(x) и f(x+H).

4. Если вычисленная пара значений функции имеет разные знаки, корень локализован. Его можно определить, например методом Ньютона. После нахождения корня отступают от него на величину шага Н.

5. Уменьшают шаг, например: Н:= Н / 2

6. Пункты 3 — 5 выполняют до тех пор, пока не будут найдены все корни.

Алгоритм нахождения корня описанным методом, который предполагает, что в программе будет использована функция f(x) и ее производная Prf(x), а также процедура нахождения корня уравнения методом Ньютона, приведен ниже.

1.1. Ввести А, В и Е.

1.2. Ввести Предполагаемое количество корней.

1.3. Вычислить начальный шаг Н = (В - А)/ n.

2. Повторять

2.1. Найдено_корней:= 0.

2.2. Х:= А.

2.3. Пока Х < B выполнить.

2.3.1. Вычислить у1:= f(X);

2.3.2. Вычислить y2:= f(x+H);

2.3.3. Если у1 и у2 имеют разные знаки, то

а) положить Левая_граница:= Х;

б) положить Правая_граница:= Х + Н;

в) найти корень методом Ньютона и вывести его;

г) Найдено_корней:= Найдено_корней + 1;

2.3.4. Х:= Х + Н;

2.4. Н:= Н / 2;

Пока не будет (Предполагаемое = Найдено_корней) Или (Н  Е).

3. Закончить.

Программа для этого алгоритма будет иметь вид

Program Roots;

Const

n= 20; { начальное количество точек на интервале }

Var

A, B, X, y1, y2, lev, Prav, E : Real;

Predpol, Naideno: Integer; { количества корней }

Function f(x: Real): Real;

Begin

f:= { здесь должна быть формула для вычисления функции}

End;

Function Prf(x: Real): Real;

Begin

Prf:= { здесь будет формула для вычисления производной}

End;

Procedure Newton(Lev,E: Real; Var x:Real);

{ нахождение корня методом Ньютона }

{ Lev - левая граница, x - корень }

Var

Y, xn: Real;

Begin

x := Lev;

{ вычисление корня }

Repeat

xn := x-f(x)/Prf(x);

y := Abs(xn-x);

x := xn;

Until y <= E;

X:= xn;

End;

Begin

Writeln('Введите интервал нахождения корней и погрешность');

Readln(A, B, E);

Writeln('Введите предполагаемое количество корней');

Readln(Predpol);

{ Начальный шаг }

H:=(B-A)/2;

{ Поиск корней }

Repeat

Naideno:=0; { найдено корней }

X:=A;

While x < B do

Begin

Y1:= f(x);

Y2:= f(x+H);

If ((y1>=0) And (y2<0))Or((y1<0) And (y2>=0)) then

Begin

{ корень локализован }

Lev:= x;

Newton(Lev, E, x);

Y1:= f(x);

Writeln('Корень = ', Xsl:8:4);

Writeln('Функция = ', y2:10:7);

End;

X:= x + H;

End;

H:= H / 2;

Until (Predpol = Naideno) Or (H <= E);

If Predpol <> Naideno Then

Writeln('Количество корней задано неверно');

Writeln('Работа окончена');

Readln;

End.

19.3. Вычисление определенных интегралов

Известно, что определенный интеграл некоторой функции на f(x) интервале [a,b] равен площади фигуры, ограниченной кривой f(x), осью х и вертикальными линиями, проходящими через границы интервала. Вычисление такого интеграла приближенными методами предполагает замену указанной фигуры более простыми, площади которых можно найти по формулам, применяемым в элементарной геометрии. Очевидно, что чем меньше размеры элементарных фигур — тем точнее результат. Если разность между двумя последовательными приближениями окажется меньше заданной погрешности Е, то последнее значение можно считать результатом.

Общий алгоритм вычисления определенного интеграла можно представить следующим образом.

Алгоритм

1. Ввести a, b и Е.

2. Вычислить начальное значение площади (приближение).

3. Повторять

Вычислить очередное приближение

Пока абсолютная величина разности между соседними приближениями не будет меньше или равна Е.

4. Закончить.

В качестве элементарных фигур, которыми заменяется исходная, наиболее часто используют прямоугольники или трапеции. Соответственно методы приближенного вычисления определенного интеграла называют:

1. Метод прямоугольников и

2. Метод трапеций.