СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
.docт.е. дисперсия есть математическое ожидание квадрата центрированной случайной величины. Пользуются символами .
Опираясь на формулы для дисперсии, можно доказать такие свойства дисперсии.
1с) .
2с) .
3с)
.
Величину называют корреляционным моментом случайных величин и .
Для вычисления по опытным данным используют формулу
.
Пары наблюдались в опытах.
Если , то случайные величины и называют некоррелированными.
5) Моменты случайной величины
Сам термин и способ построения заимствовал из механики (статические, центробежные моменты, моменты инерции).
Начальным моментом порядка называется число
.
Очевидно .
Центральным моментом порядка называется число
.
,
.
Центральные моменты выражаются через начальные.
.
Мы получили часто используемую формулу, связывающую дисперсию, начальный момент 2го порядка и математическое ожидание.
.
– для дискретных случайных величин.
– для непрерывных случайных величин.
Чем больше моментов мы рассматриваем, тем подробнее информация о случайной величине. Однако, надежно вычислить по опытным данным моменты высоких порядков бывает затруднительно. Поэтому в практических задачах моменты выше четвертого порядка не рассматриваются.
Важным является центральный момент 3го порядка.
,
.
Он характеризует асимметрию плотности вероятности.
Но величина размерная и поэтому «чувствительна к изменению масштаба» (в том числе и к рассеиванию).
Поэтому вводят безразмерную величину коэффициент асимметрии
.
Точно также вместо вводят величину, называемую эксцессом
.
Эксцесс характеризует остроконечность распределения по отношению к нормальному закону.
Пример 1. Найти дисперсию случайной величины , если дан ряд распределения.
-
1
2
5
0,3
0,5
0,2
Решение. 1) Найдем математическое ожидание:
.
2) Найдем все возможные значения квадрата отклонения:
,
,
.
-
1,69
0,09
7,29
0,3
0,5
0,2
.
Другой способ
,
.
-
1
4
25
0,3
0,5
0,2
,
,
.
Пример 2. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины , заданной функцией распределения
Математическое ожидание. , возможные значения случайных величин лежат от до по только на , вне этого интервала = 0.
.
Дисперсия
.
Повторение испытаний. Формула Бернулли
Пусть производится независимых опытов, в каждом из которых событие может появляться с одной и той же вероятностью – .
Такая схема испытаний называется «схемой испытаний Бернулли». Требуется вычислить вероятность того, что в указанной серии опытов событие появится ровно раз. Ясно, что . Еще говорят, что – вероятность успехов при испытаниях.
Пример. Производится 3 выстрела по мишени. Вероятность попадания при каждом выстреле равна . Какова вероятность поражения цели ровно двумя выстрелами?
Решение. Пусть – попадание при -ом выстреле. – событие 2 успеха при 3х выстрелах.
?
,
где .
Обобщим на успехов в опытах и получим следующую формулу вероятности успехов в опытах по схеме Бернулли.
Это и есть формула Бернулли.
Биномиальное распределение
Говорят, что случайная величина, выражающая число успехов в схеме испытаний Бернулли имеет биномиальное распределение
.
Для биномиального распределения можно вывести числовые характеристики.
целое число от .
,
,
.
Продолжим рассмотрение предыдущего примера и получим ряд распределения для , а также числовые характеристики.
;
;
;
.
-
0
1
2
3
0,064
0,288
0,432
0,216
Числовые характеристики
– это значит случайная
величина соответствует наибольшей вероятности;
– среднее число успехов;
;
.
Число , которому при заданном соответствует максимальная биномиальная вероятность называется наивероятнейшим числом появления события . При заданных и это число определяется неравенствами
.
Если число не является целым, то равно целой части этого числа
.
Если же – целое число, то имеет два значения
и .
Пример. Доля изделий высшего сорта на данном предприятии составляет 30%. Чему равно наивероятнейшее число изделий высшего сорта в случайно отобранной партии из 75 изделий.
Решение. По условию , , . Составляем двойное неравенство:
,
22.
Замечания:
1. Если требуется вычислить вероятность того, что число успехов при испытаниях заключено между натуральными числами и , то, воспользовавшись независимостью испытаний и теоремой сложения вероятностей, получим следующую формулу
.
2. Вероятность получения хотя бы одного успеха при испытаниях можно найти, используя противоположное событие:
.
Пример. Симметричную монету бросают шесть раз. Определить вероятность выпадения цифры:
а) ровно 4 раза
.
б) не более 3х раз
.
в) хотя бы один раз
.
Когда число независимых испытаний велико, вычисление по формуле Бернулли затруднительно, т.к. требует вычисления факториалов больших чисел. В дальнейшем мы получим асимптотические формулы, используемые при больших .
Распределение Пуассона
Пусть в схеме испытаний Бернулли
1) ;
2) ;
3) (можно ).
Что произойдет с биномиальным распределением?
.
– распределение Пуассона.
Это распределение однопараметрическое (параметр а).
Числовые характеристики распределения Пуассона найдем тоже предельным переходом.
То, что , можно использовать как подтверждение пуассоновского распределения.
Если по опытным данным
,
то это будет свидетельствовать в пользу гипотезы о пуассоновском распределении.
Как следует из предыдущего, при определенных условиях
.
Это выполняется, когда порядка нескольких сотен, а . Иногда закон Пуассона называют законом редких явлений.
Распределение Пуассона является точным в следующей задаче:
Пусть на оси х случайным образом размещены точки с выполнением следующих условий.
1) Вероятность попадания любого заданного числа точек на отрезок длиной зависит лишь от и не зависит от положения отрезка на оси х – однородность.
2) Точки расположены так, что вероятность иметь любое заданное число точек на каком-либо отрезке не зависит от того, сколько точек попало на любой другой отрезок, не пересекающийся с первым – независимость.
3) Точки расположены по одной – ординарность.
Пусть требуется определить вероятность того, что отрезок длиной содержит ровно точек. Количество точек здесь распределено по закону Пуассона. Если – средняя плотность точек, то и искомая вероятность
.
Если рассматривать события, происходящие во времени, то тогда мы имеем поток событий, т.е. последовательность событий, наступающих в случайные моменты времени.
Примеры:
-
поступление вызовов на АТС;
-
прибытие клиентов в мастерскую бытового обслуживания;
-
последовательность отказов элементов в приборе.
Тогда вышеприведенные условия получают другие названия.
1) однородность стационарность;
2) независимость отсутствие последствия;
3) ординарность ординарность.
Такой поток называют простейшими (пуассоновскими).
Число называют интенсивностью потока – это среднее число событий появляющихся в единицу времени.
Формулу Пуассона можно считать математической моделью простейшего потока событий.
Пример. Среднее число вызовов, поступающих на АТС в одну минуту, равно 2м. Найти вероятность того, что за пять минут поступит 2 вызова.
Решение. , выз., мин.
.
Событие практически невозможное.
Равномерное распределение
Это распределение, плотность вероятности которого определяется так:
Величину этой можно найти из таких соображений.
Площадь прямоугольника равна 1, основание его – , значит .
Его еще называют распределением с постоянной плотностью.
Найдем числовые характеристики.
– нет (амодальное распределение).
.
.
, , коэффициент асимметрии равен нулю, т.к. распределение симметричное.
.
.
плосковершинность.
Вероятность попадания в заданный интервал .
– соответствует геометрической вероятности.
Пример. Поезда данного маршрута трамвая идут с интервалом 5 мин. Пассажир подходит к трамвайной остановке в некоторый момент времени. Какова вероятность появления пассажира не ранее, чем через минуту после ухода предыдущего трамвая и не позже, чем за две минуты до отхода следующего?
.
Экспоненциальное распределение
Показательным (экспоненциальным) называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины , которое описывается плотностью
где – постоянная положительная величина.
Мы видим, что экспоненциальное распределение определяется одним параметром .
Найдем функцию распределения экспоненциального закона.
.
Вычислим числовые характеристики экспоненциального распределения.
.
.
.
– это есть математическое ожидание.
.
.
.