04 АЗЭ Лабораторные работы / ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 3-4

			i
	Якоби	J			) по искомым характеристикам режима было меньше
			x j		K
				X

единицы J max 1.

Это условие и есть необходимое и достаточное. Условие по норме матрицы Якоби:

		i			1 - достаточное условие сходимости.
		x j		K
			X

Для проверки (анализа) влияния нелинейности уравнений на сходимость итерационного процесса, запишем рекуррентное соотношение типа (118) в виде (120) U (U )

P

y

y

y

y

U

(U )

1н

0 U

12

U

13

U

...

1n

U

1б

U

;

1

1

2

3

n

БУ

1

y11U1

y11

y11

y11

y11

U

(U )

P2ген

y21

U

0 U

y23

U

...

y2n

U

y2б

U

;

2

2

1

2

3

n

БУ

y22U2

y22

y22

y22

y22

(120)

...

n

(U )

P

y

n1

U1

y

n2

U2 ...

0 Un

y

nб

U БУ .

Un

n

ynn

ynn

ynnUn

ynn

Возьмем частные производные от (120) и подставим их в

матрицу

Якоби (119) применительно к системе узловых уравнений в форме балансов токов.

					(U1 )
						U1
						(U2 )
		i
J						U1
		U			...
						(Un )
						U1

(U		)		(U		)			P					y						y
	1		...		1				1н					12			...			1n
U				U			y U 2							y						y
	2				n			11 1				11						11
(U		)		(U		)			y	21			P							y	2n
	2		...		2									2н			...
U2				Un									y22 U			2
									y22							2				y22					(121)
...			...	...			...					...					...	...
(Un )									yn1					yn1						Pnн
			...	(Un )													...
U2				Un					ynn					ynn							2
																		ynn Un

Сопоставляя матрицу Якоби, для которой анализируется сходимость нелинейной системы уравнений, с матрицей (линейной системы, подготовленной к итерации) замечаем, что отличие состоит в диагональном элементе: у матрицы диагональный элемент ii = 0, а у матрицы Якоби диагональный элемент

i (U )			Pi (н,г )		(122)
U	i		y	U 2
			ii	i

Анализ выражений (121), (122) показывает, что для слабо загруженных режимов с малыми нагрузками Pi и большими собственными проводимостями yii (малым сопротивлением подходящих линий) влияние нелинейности на сходимость мало, т.к. диагональный элемент близок к нулю.

Напротив, при расчете тяжелых режимов Pi велико, Ui мало (снижено по отношению к UБ), влияние нелинейности на сходимость существенно,

11

поэтому сходимость тяжелых режимов (режимов, близких к предельным по условиям статической устойчивости электрической системы) медленная, а иногда не наблюдается.

Расходимость итерационного процесса (при правильно закодированных исходных данных) служит, при упрощенном анализе, признаком нарушения статической устойчивости рассчитываемого режима. Это заключение является существенным результатом применения ЭВМ и численных итерационных методов решения уравнений установившегося режима. Оно используется в современной проектной и эксплуатационной практике.

12

3.5 Решение уравнений узловых напряжений итерационными методами

3.5.1 Решение уравнений узловых напряжений в форме баланса токов

Матричное уравнение:

Pi

Yу U JУ ; где JУi

.

UΔi

UБУ

Представим в алгебраической форме и разрешим каждое уравнение

системы относительно диагональных элементов ( U 1, U 2 ,

, U n ):

Y

Y

Y

-P

UΔ1

0 UΔ1

12

UΔ2

13

UΔ3 ...

1n

UΔn

1

Y11

Y11

UΔ1 UБУ Y11

Y11

Y21

U

0 U

Y23

U

...

Y2n

U

-P2

U

UΔ2

UБУ Y22

Δ2

Y22

Δ1

Δ2

Y22

Δ3

Y22

Δn

(123)

Yn3

U

Yn1

U

Yn2

U

U

... 0

U

-Pn

Δn

Ynn

Δ1

Ynn

Δ2

Ynn

Δ3

Δn

UΔn

UБУ Ynn

Для итерационного решения необходимо выбрать начальное

приближение падений напряжений U(0)

и подставить в правую часть системы

(123). Получим U(1) , затем подставим его в правую часть, получим U(2) и т.д. Процесс может вестись по методу простой или ускоренной итерации.

По методу ускоренной итерации для нахождения k-го переменного в i- ой итерации используются переменные U(i)Δ1 , U(i)Δ2 … U(i)Δk-1 , вычисленные на этой же i-ой итерации и переменные k+1, k+2,…,n , вычисленные на предыдущей (i-1)-ой итерации.

(i)

-P1

(i 1)

Y12

(i 1)

Y13

(i 1)

Y1n

(i 1)

UΔ1

0 UΔ1

UΔ2

UΔ3

...

UΔn

UΔ1(i 1) UБУ Y11

Y11

Y11

Y11

Y21

U(i)

-P2

0 U(i 1)

Y23

U(i 1)

...

Y2n

U(i 1)

U(i)

UΔ2(i 1) UБУ Y22

Δ2

Y22

Δ1

Δ2

Y22

Δ3

Y22

Δn

(124)

U

U

U

U

...

0 U

(i)

Yn1

(i)

Yn2

(i)

Yn3

(i)

-Pn

(i 1)

Δn

Ynn

Δ1

Ynn

Δ2

Ynn

Δ3

(i 1)

UБУ Ynn

Δn

UΔn

Аналогично организуется итерационный процесс расчета напряжений узлов Uу на базе уравнений (108), записанных для напряжений узлов.

Решение нелинейных узловых уравнений можно записать, используя обратную матрицу Y-1.

U Y 1 J			(125)
		y
	13

	S	i
U Y 1				;
Ui

U U n UБУ

Используя эти уравнения, получим:

		S	iн			S		iн
U n UБУ	Y 1				n UБУ	Y 1				(126)
		Ui
						Ui

Выражение (126) имеет большое прикладное значение в области расчетов установившихся режимов. Оно называется обращенной формой уравнений узловых напряжений (поскольку используется обратная матрица Y 1 Z ) и представляет собой самостоятельный метод расчета режимов.

3.5.2 Обращенная форма уравнений узловых напряжений и их анализ

Обратную матрицу Y 1 в выражениях (125), (126) обозначают через Z и называют матрицей собственных и взаимных сопротивлений

Y 1 Z

Тогда:

	S		iн
U n UБУ	Z				, или	(127)
	Ui

U

U

Z

S1

Z

S2

Z

S3

... Z

Sn

1

БУ

11

12

13

1n

U1

U2

U3

Un

S1

S2

S3

Sn

UБУ

Z21

Z22

Z23

... Z2n

U

2

(128)

U1

U2

U3

Un

U

U

Z

S1

Z

S2

Z

S3

... Z

Sn

n

БУ

n1

n 2

n3

nn

U1

U2

U3

Un

или в общем виде:

	U БУ	Z ij	S j
Ui
					,	(129)
			U	j
i,j = 1,2,		,n

Чтобы использовать схему расчета (126),(128) и (129), надо предварительно обратить матрицу узловых проводимостей. После этого процесс получения решения (нахождение U1, U2, …Un) происходит гораздо быстрее, чем итерационное решение системы исходных нелинейных уравнений (15).(Этот факт может иметь и физическое толкование).

Алгоритм итерационного решения нелинейных обращенных уравнений следующий:

14

Задаемся начальными приближениями напряжений Ui0, например Ui=Uном, и подставляем их в знаменатель в правую часть (128). Выполняем

необходимые			вычисления согласно (128), в результате находим вектор
			первого приближения (здесь Z, U и S в общем случае имеют
U(1)	, U(1)	,...,U(1)
1	2	n

комплексный характер). Во втором приближении в знаменатель (128) подставляются значения напряжений Ui(1) первой итерации, находится Ui(2) после чего выполняется третья итерация и т.д. Итерационный процесс заканчивается, когда разность напряжений между двумя соседними приближениями становится меньше заданной точности расчета.

	1		U K U K 1					U , %	(130)
	Uном
							m	U

Итерационный процесс определения напряжений по обращенным уравнениям может быть ускорен, если на k-той итерации для расчета i-того

неизвестного принимать	U( k ) , U( k ) ,...,U( k )					из	этой			же k-той	итерации, а
	1		2		i 1
остальные неизвестные Ui+1 брать из (k-1) итерации, т.е.
U(к) f ((U , U		2	,..., U	i 1	)к ,(U	, U	i 1	,..., U	n	)к 1 )	(131)
i	1				i

Физический смысл элементов матрицы собственных и взаимных сопротивлений Z можно уяснить, если рассмотреть частные режимы работы сети, в которых нагрузки узлов от 1-ого до n-ого последовательно задаются

единичными	токами Ii 1 при холостом ходе в остальных узлах сети
( I1 1, I2 I3	In 0 ).

Систему уравнений (129) можно представить в виде:

			n	S
	Ui U	БУ	zij		j	UБУ	U i(1) U i(2)	... U i( j )	... U i(n)
				U j						(132)
			j 1
	i 1, 2,..., n

Из выражения (132) следует, что элементы матрицы узловых сопротивлений Zij представляют собой коэффициенты частичных падений напряжения, или коэффициенты влияния тока нагрузки в j-том узле на напряжение в i-том узле.

Действительно, если взять сложную схему сети, представляющую собой связанный направленный граф, т.е. одно дерево со своими хордами, то очевидно, что в этой схеме ток нагрузки каждого узла влияет на напряжение во всех узлах. Естественно, что матрица узловых проводимостей Y и обратная к ней Z зависят только от пассивных параметров сети, т.е. от топологии схемы и сопротивлений или проводимостей ветвей. Эта матрица остается неизменной при изменении нагрузок в узлах.

В первом частном режиме:

I1 1, I2 I3

In 0

Тогда:

15

U1U2

U3

Un

UБУ	z11 I1	z1 j I j , где	I j 0;
UБУ	z21 I1
UБУ	z31 I1		(133)

UБУ zn1 I1

Рассчитав такой режим по любой программе расчета установившихся режимов, можно сразу получить весь столбец матрицы Zi1 (1-й столбец - при I1=1, 2-й столбец Zi2 – при расчете второго частного режима при I2 = 1 и т.д.). Т.е. получается, что элементы матрицы узловых сопротивлений можно найти с помощью программ расчета установившихся режимов по результатам расчетов на ЭВМ n-частных режимов с единичными токами в узлах поочередно.

Процедура нахождения Z путем прямого обращения Y или вышеописанным путем громоздкая, но вычисленная один раз, матрица Y 1 обеспечивает быстродействие расчетов режимов и поэтому ее применение эффективно в задачах, где надо считать много режимов одной сети с различными нагрузками (задачи оптимизации режима и т.п.).

После того, как напряжения в узлах сети найдены, остальные параметры режима рассчитываются безитерационным путем.

Вопросы для защиты работы

1. Каким способом задается информация об электрических цепях при их расчетах на компьютере? Приведите примеры для промышленных пакетов.

2.В чем сходство и различие методов простой и ускоренной итерации?

3.Объясните принцип решения системы нелинейных уравнений узловых напряжений методом простой и методом ускоренной итерации.

4.Как формулируются условия сходимости итерационных процессов решения систем линейных алгебраических уравнений? систем нелинейных уравнений?

5.Перечислите основные критерии сходимости итерационного процесса расчета УУР электрической сети.

6.Как провести доказательство теоремы сходимости при решении узловых уравнений УУР?

7.Нарисуйте блок-схему алгоритма решения УУР по метода Гаусса.

8.В чем особенность метода Гаусса-Зейделя7 для решения каких задач его выгоднее применять?

16

9.Таблицы взаимных индуктивных и емкостных связей. Формирование и заполнение. Алгоритмы расчетов.

10.Таблицы узловых и контурных характеристик. Формирование и заполнение. Алгоритмы расчетов.

11.Применение табличных структур в задачах расчета режимов электрических сетей. Законы Кирхгофа. Уравнения небалансов.

12.Метод условных потенциалов. Движение потенциала. Прямой и обратный ход. Алгоритм расчета режима.

13.Задачи расчета установившегося режима ЭЭС. Балансирующий узел. Алгоритм расчета нормального режима.

14.Алгоритм решения уравнений узловых напряжений в форме баланса токов. Вычислительная эффективность.

15.Методы и алгоритмы решения систем линейных уравнений (СЛУ) – точные и приближенные. Сравнительная характеристика.

16.Метод обратной матрицы и метод Гаусса – сравнение и алгоритмы. Достоинства и недостатки.

17.Решение уравнений состояния ЭС по методу Гаусса и его модификациям. Факторы, влияющие на точность решения.

18.Итерационные методы – Якоби, Гаусса-Зейделя и релаксационный. Алгоритмы. Сравнительная характеристика эффективности расчетов.

19.Алгоритмы ускорения расчета итерационными методами линейных уравнений, описывающих режимы электроэнергетической системы.

20.Алгоритмы и методы решения систем нелинейных уравнений, описывающих режимы ЭЭС. Сравнительная характеристика.

21.Критерии и анализ сходимости итерационного процесса решения нелинейных уравнений, описывающих режимы ЭЭС.

22.Собственные значения матрицы. Нормы матрицы. Ускорение сходимости итерационных методов решения УУР электрической системы.

23.Метод простой итерации и метод Зейделя – сравнение и алгоритмы. Достоинства и недостатки. Вычислительная эффективность.

24.Метод Гаусса-Зейделя - алгоритм. Организация итерационного процесса при решении системы нелинейных алгебраических уравнений. Сходимость.

25.Вычислительный процесс метода Гаусса-Зейделя при использовании табличной формы описания электрической сети.

17

Основная литература

1.Электрические системы, т.1. Математические задачи энергетики. Под ред. В. А. Веникова. Учебное пособие для электроэнергетических вузов. М., “Высшая школа”, 1981, 336 с.

2.Расчет и анализ режимов работы сетей. Под ред. В. А. Веникова, Москва, Энергия, 1974

3.Идельчик В. И. Электрические системы и сети. М., Энергоатомиздат,

1989

4.Лыкин А.В. Электрические системы и сети: Учебное пособие. – М.: Изд-во Логос, 2011. – 254с.

5.Справочник по проектированию электрических сетей / Под ред. Д.Л. Файбисовича 2-е изд., перераб. и доп. – М.: Изд-во НЦ ЭНАС, 2006. – 352с.

6.Электрооборудование электрических станций и подстанций / Л.Д. Рожкова, Л.К. Корнеева, Т.В. Чиркова. – 3-е изд. – М.: Изд. центр

“Академия, 2006. – 448с.

7.Технико-экономическое обоснование развития электрических сетей 35-220 кВ. : Методическое пособие по курсу «Электрические системы и сети» для курсового проектирования и подготовки выпускных квалификационных работ / Сост. А.А. Альмендеев, Ю.В. Вейс, В.Г. Гольдштейн, В.П. Степанов, Л.М. Сулейманова. Самар. гос. техн. ун-т;

Самара, 2006. – 31с.

8.Передача и распределение электрической энергии: учеб. пособие / А.А. Герасименко, В.Т. Федин. – Красноярск: ИПЦ КГТУ; Минск: БНТУ,

2006.- 808 с.

9.Шиманская Т.А. Применение матричных методов для расчета и анализа режимов электрических сетей: Методическое пособие по

выполнению курсовой работы и изучению дисциплины «Математические задачи энергетики» / Т.А. Шиманская; Под редакцией В.Т. Федина. – Мн.: БНТУ, 2008. – 112 с.

•Дополнительная литература

1.Алгоритмы расчёта установившихся режимов и переходных процессов. Строев В.А., Шаров Ю.В., Кузнецов О.Н. Учебное пособие. – М.: Издательский дом МЭИ, 2006. – 83 с.

2.Железко Ю.С., Артемьев А.В., Савченко О.В. Расчёт, анализ и нормирование потерь электроэнергии в электрических сетях: Руководство для практических расчётов. – М.: Изд-во НЦ ЭНАС, 2006.

–280с.

3.Шведов Г.В. Экономические режимы электрических сетей. Учебное пособие. – М.: Издательский дом МЭИ, 2007. – 40 с.

18

4.Управление качеством электроэнергии / Карташев И.И., Тульский В.Н., Шамонов Р.Г. и др. – М.: Издательство МЭИ, 2006, 320 c.

5.Дьяков, А.Ф. Электрические сети сверх- и ультравысокого напряжения ЕЭС России. Теоретические и практические основы: в 3 т. / под общей редакцией чл.-корр. РАН А.Ф. Дьякова. М.: НТФ «Энергопрогресс» Корпорации «ЕЭЭК», 2012.Том 1. Электропередачи переменного тока.

— 696 с.

6.Александров, Г.Н. Передача электрической энергии: учеб. для вузов, 2- е изд./ Г.Н. Александров. - Спб.: Изд-во Политехн. ун-та, 2009. - 412 с.

7.Неуймин, В.Г. и др. Вычислительные модели потокораспределения в электрических системах / Б.И. Аюев, В.В.Давыдов, П.М. Ерохин М., В.Г. Неуймин, М.: Флинта: Наука, 2008. - 256 с.

8.Щербачев, О.В. Применение цифровых вычислительных машин в электроэнергетике. Учеб. для вузов / О.В. Щербачев, А.Н. Зейлигер, К.П. Кадомская. М: Энергия. 1980. – 240 с.

•Интернет-ресурсы: информационные базы данных (по профилю образовательных программ)

http://aees.samgtu.ru – сайт кафедры «Автоматизированные электроэнергетические системы».

http://www.keu-ees.ru/ - официальный сайт корпоративного энергетического университета ЕЭС (НП "КОНЦ ЕЭС")

http://www.rastrwin.ru – сайт разработчиков ПК «RastrWin» http://swman.ru/ - сайт разработчиков ПК «МОДУС» http://regimov.net – неофициальный сайт специалистов по режимам.

19