Алгоритм Йена

Нахождение K путей минимальной суммарной длины во взвешенном графе с неотрицательными весами. (Алгоритм Йена)

Алгоритм предназначен для нахождения К путей минимальной длины во взвешенном графе соединяющих вершины u1, u2. Ищутся пути, которые не содержат петель. Алгоритм прислал

Итак задача состоит в отыскании нескольких минимальных путей, поэтому возникает вопрос о том чтобы не получить путь содержащий петлю, в случае поиска одного пути минимального веса, это условие выполняется по необходимости, в данном же случае мы используем алгоритм Йена, позволяющий находить K простых кратчайших цепей.

Работа алгоритма начинается с нахождения кратчайшего пути, для этого будем использовать уже описанный алгоритм. Второй путь ищем, перебирая кратчайшие отклонения от первого, третий кратчайшие отклонения от второго и т.д. Более точное пошаговое описание:

1. Найти минимальный путь P1=(v11,...,v1L[1]) .Положить k = 2. Включить P1 в результирующий список.

2. Положить MinW равным бесконечности. Найти отклонение минимального веса, от (kv1)-го кратчайшего пути Pk-1 для всех i=1,2,...,L[k-1], выполняя для каждого i

шаги с 3-го по 6-й.

3. Проверить, совпадает ли подпуть, образованный первыми i вершинами пути Pk-1, с подпутем, образованным первыми i вершинами любого из путей j=1,2,...,kv1. Если да, положить W[vk-1i,vji+1] равным бесконечности в противном случае ничего не изменять (чтобы в дальнейшем исключить получение в результат одних и тех же путей).

4. Используя алгоритм нахождения кратчайшего пути, найти пути от vk-1i к u2, исключая из рассмотрения корни (vk-11,...,vk-1i) (чтобы исключить петли), для этого достаточно положить равными бесконечности элементы столбцов и строк матрицы W, соответствующие вершинам, входящим в корень.

5. Построить путь, объединяя корень и найденное кратчайшее ответвление, если его вес меньше MinW, то запомнить его.

6. Восстановить исходную матрицу весов W и возвратиться к шагу 3.

7. Поместить путь минимального веса (MinW), найденный в результате выполнения шагов с 3 по 6, в результирующий список. Если k = K, то алгоритм заканчивает работу, иначе увеличить k на единицу и вернуться к шагу 2.

Алгоритм использует массив p для результирующего списка путей, и массив length для хранения соответствующих длин, при этом если начиная с некоторого i элементы length[i] равны -1, значит существует только i-1 кратчайших путей без петель.

Алгоритм Краскала

Построения минимального остовного дерева (Алгоритм Краскала)

Алгоритм предназначен для нахождения минимального остовного дерева, т.е. такого подграфа который бы имел столько же компонент связности, сколько и исходный, но не содержал петель, и сумма весов всех его ребер была бы минимальной.

Вначале опишем алгоритм (возможно не достаточно строго), а затем обсудим, какой способ задания графа был бы наилучшим в данном случае, а так же покажем как от тех способов задания, которые мы использовали ранее перейти к способу применимому здесь.

Итак, алгоритм Краскала:

1. Сортируем ребра графа по возрастанию весов.

2. Полагаем, что каждая вершина относится к своей компоненте связности.

3. Проходим ребра в "отсортированном" порядке. Для каждого ребра выполняем:

Если вершины, соединяемые данным ребром, лежат в разных компонентах связности, то объединяем эти компоненты в одну, а рассматриваемое ребро добавляем к минимальному остовному дереву.

Если вершины, соединяемые данным ребром, лежат в одной компоненте связности, то исключаем ребро из рассмотрения.

4. Если есть еще нерассмотренные ребра и не все компоненты связности

объединены в одну, то переходим к шагу 3, иначе выход. Предположим, что как и ранее граф задается матрицей весов W , ясно, что в данном случае работать непосредственно с матрицей весов не удобно, это выявляется уже на этапе упорядочивания ребер по весу, поэтому вначале выделим массив ребер с соответствующими весами. В нашем случае достаточно, если ребро будет иметь три свойства: начальная вершина, конечная вершина и вес вообще работа с графами хорошо реализуется методами ООП, но поскольку мы не используем расширения

языков, то будем работать с простыми массивами. Для задания набора ребер используем два массива E: array [1..m,1..2] of integer - здесь m - количество ребер

m<n2-n+1, где n - количество вершин, и массив EW: array [1..m] of real, тогда ребро ei, соединяющее вершины u, v с весом wi будет соответствовать элементам E[i,1]=u, E[i,2]=v, EW[i]=w. Таким образом, до начала непосредственно поиска минимального остовного дерева нам необходимо пройти матрицу весов W и заполнить массивы E и EW.

Преобразовав представление графа от весовой матрицы к набору ребер (часто граф изначально задается при помощи списка ребер, и тогда предыдущая часть алгоритма становится не нужна), мы уже можем легко упорядочить ребра по неубыванию весов, я для этого использую в блок-схеме алгоритм пузырька, чтобы не "замазывать" основной алгоритм, но можно легко перейти и к другим способам упорядочивания. Далее в алгоритме вводиться массив V: array [1..n] of integer элементы, которого характеризуют номер компоненты связности соответствующих вершин (две вершины u1,u2 лежат в одной компоненте связности, если и только если V[u1]=V[u2]). Теперь все структуры используемые в алгоритме описаны, и его работу легко будет понять из блок-схемы.

В заключении еще только одно замечание. В алгоритме используется переменная q, которая инициализируется значением n-1(на единицу меньше числа вершин) и затем, при объединении двух компонент связности на шаге 3, q уменьшается на единицу, таким образом, когда (если) q на некотором шаге занулится, то это будет означать, что все вершины лежат в одной компоненте связности и работа алгоритма завершена.

Найденное дерево будет определено с помощью массива WO - матрицы весов.

93