5. Елементи релятивістському динаміки

Принцип відносності Ейнштейна стверджує інваріантність усіх законів природи по відношенню до переходу від однієї інерціальної системи відліку до іншої. Це означає, що всі рівняння, що описують закони природи, повинні бути інваріантні відносно перетворень Лоренца. До моменту створення СТВ теорія, що задовольняє цій умові, вже існувала - це електродинаміка Максвелла. Однак рівняння класичної механіки Ньютона виявилися неінваріантна щодо перетворень Лоренца, і тому СТВ зажадала перегляду та уточнення законів механіки.  В основу такого перегляду Ейнштейн поклав вимоги здійсненності закону збереження імпульсу та закону збереження енергії в замкнутих системах. Для того, щоб закон збереження імпульсу виконувався в усіх інерційних системах відліку, виявилося необхідним змінити визначення імпульсу тіла. Замість класичного імпульсув СТВрелятивістський імпульс тіла з масою m, що рухається зі швидкістюзаписується у вигляді  (*)  Якщо прийняти таке визначення, то закон збереження сумарного імпульсу взаємодіючих частинок (наприклад, при зіткненнях) буде виконуватися в усіх інерційних системах, пов'язаних перетвореннями Лоренца. При β → 0 релятивістський імпульс переходить у класичний. Маса m, що входить у вираз для імпульсу, є фундаментальна характеристика частки, яка не залежить від вибору інерціальної системи відліку, а, отже, і від швидкості її руху. (У багатьох підручниках минулих років її було прийнято позначати буквою m₀ і називати масою спокою. Крім того, вводилася так звана релятивістська маса, рівна залежить від швидкості руху тіла. Сучасна фізика поступово відмовляється від цієї термінології).  Основний закон релятивістської динаміки матеріальної точки записується так само, як і другий закон Ньютона:     але тільки в СТВ підрозуміється релятивістський імпульс частинки. Отже,     Так як релятивістський імпульс не пропорційний швидкості частинки, швидкість його зміни не буде прямо пропорційна прискоренню. Тому постійна по модулю і напрямку сила не викликає рівноприскореного руху. Наприклад, у випадку одномірного руху вздовж осі x прискорення частинки під дією постійної сили виявляється рівним     Якщо швидкість класичної частинки безмежно зростає під дією постійної сили, то швидкість релятивістської частки не може перевищити швидкість світла c в порожнечі. У релятивістській механіці, так само, як і в механіці Ньютона, виконується закон збереження енергії. Кінетична енергія тіла E_k визначається через роботу зовнішньої сили, необхідну для повідомлення тілу заданої швидкості. Щоб розігнати частку маси m зі стану спокою до швидкості υ₀ під дією постійної сили F, ця сила повинна виконати роботу     Оскільки a dt = dυ, остаточно можна записати     Обчислення цього інтеграла приводить до наступного виразу для кінетичної енергії (індекс «нуль» при швидкості υ опущений):     Ейнштейн інтерпретував перший член в правій частині цього виразу як повну енергію E рухомий частинки, а другий член як енергію спокою E₀:  (**)  E₀ = mc².  (***)  Кінетична енергія E_k релятивістської динаміки є різниця між повною енергією E тіла і його енергією спокою E₀:  Ek = E - E0.  Рис. 5.1 ілюструє зміну кінетичної енергії частки в залежності від її швидкості для частинок, що підкоряються класичному і релятивістському законам.    Рис. 5.1.  Залежність кінетичної енергії від швидкості для релятивістської (a) і академічній (b) часток. При υ <<c обидва закони співпадають  Надзвичайно важливий висновок релятивістської механіки полягає в тому, що яка перебуває у спокої маса m містить величезний запас енергії. Це твердження має різноманітні практичні застосування, включаючи використання ядерної енергії. Якщо маса частинки або системи частинок зменшилася на Δm, то при цьому повинна виділитися енергія ΔE = Δm · c². Численні прямі експерименти дають переконливі докази існування енергії спокою. Перше експериментальне підтвердження правильності співвідношення Ейнштейна, що зв'язує масу й енергію, було отримано при порівнянні енергії, що вивільняється при радіоактивному розпаді, з різницею мас вихідного ядра і кінцевих продуктів.Наприклад, при бета-розпаді вільного нейтрона з'являється протон, електрон і ще одна частинка з нульовою масою - антинейтрино:      При цьому сумарна кінетична енергія кінцевих продуктів дорівнює 1,25·10^–13 Дж. Маса нейтрона перевищує сумарну масу протона й електрона на Δm = 13,9·10^–31 кг. Такому зменшення маси повинна відповідати енергія ΔE = Δm · c² = 1,25·10^–13 Дж, рівна спостерігається кінетичної енергією продуктів розпаду.  Щоб виникло відчуття масштабів цього явища в макросвіті, розглянемо такий приклад. Під час вибуху 1 т тринітротолуолу вивільняється енергія4,2·10⁹ Дж При вибуху мегатонної бомби виділиться енергія 4,2·10¹⁵ Дж. Відповідна цієї величезної енергії маса m = E / c² виявляється рівною всього 46 р. Таким чином, при вибуху ядерної мегатонної бомби маса ядерної «вибухівки» повинна зменшиться приблизно на 50 р. Повна початкова маса водневої бомби, еквівалентній за потужності 1 мегатонн тринітротолуолу, приблизно в 1000 разів більше і складає близько 50 кг.  Закон пропорційності маси і енергії є одним з найбільш важливих висновків СТВ.Маса і енергія є різними властивостями матерії. Маса тіла характеризує його інертність, а також здатність тіла вступати в гравітаційна взаємодія з іншими тілами. Найважливішим властивістю енергії є її здатність перетворюватися з однієї форми в іншу в еквівалентних кількостях при різних фізичних процесах - у цьому полягає зміст закону збереження енергії. Пропорційність маси і енергії є вираженням внутрішньої сутності матерії. Формула Ейнштейна  E₀ = mc² висловлює фундаментальний закон природи, який прийнято називати законом взаємозв'язку маси і енергії.  Комбінуючи вираз (*) для релятивістського імпульсу і вираз (**) для повної енергії E, можна одержати співвідношення, що зв'язує ці величини. Для цього зручно формули (*) і (**) переписати в наступному вигляді:  (*)  (**)  Віднімаючи почленно, можна отримати  E² = (mc²)² + (pc)².  Звідси ще раз варто, що для покояться часток (p = 0) E = E₀ = mc².  Отримане співвідношення показує, що частка може мати енергію та імпульс, але не мати маси (m = 0). Такі частинки називаються безмасові. Для безмассових частинок зв'язок між енергією та імпульсом виражається простим співвідношенням  E = pc До безмасові часткам відносяться фотони - кванти електромагнітного випромінювання і, можливо, нейтрино. Безмасові частки не можуть існувати в стані спокою, у всіх інерціальних системах відліку вони рухаються з граничною швидкістю c.