ОснАлгор_Посібн_Яровенко

2.2.1.2.Вербальні;

2.2.2.Формалізовані:

2.2.2.1.Аналогові;

2.2.2.2.Логічні;

2.2.2.3.Знакові:

2.2.2.3.1.Лінгвістичні;

2.2.2.3.2.Математичні;

2.2.2.3.3.Спеціальні – ноти, хімічні формули, тощо;

Деякі види моделей з приведеної класифікації розглянемо детальніше.

Реальна (матеріальна) модель – це реально існуючий і створений із реальних матеріалів образ, який адекватно відтворює досліджуваний об'єкт.

Натурна модель – це сам об’єкт-оригінал чи його частина, на якому проводяться дослідження існуючих (в тому числі природніх) об’єктів чи випробування (з метою удосконалення) проектів штучних об’єктів (об’єктівартефактів).

Ці моделі характеризує повна адекватність реальній системі і обумовлена цим висока точність і достовірність результатів моделювання. З одного боку це системи, для яких неможливо побудувати більш абстрактну модель (авіаційні системи з високим ступенем надійності, які не можуть бути забезпечені абстрактним моделюванням і тому проводять льотні випробування дослідних моделей літаків). З іншого боку – системи, натурне моделювання яких обходиться дешевше, ніж створення і дослідження моделей більш високого рівня абстракції (прості системи), або вже існують системи, для яких потрібно деталізувати характеристики або отримати нові данні. Класичним прикладом натурного моделювання системи-оригіналу є побудова обчислювальної машини «МЭСМ» з метою «відпрацювання» проекту обчислювальної машини «БЭСМ».

Аналогова модель – це модель об’єкту-оригіналу, побудована за принципом аналогії та висновками теорії подібності.

Аналогова модель може бути матеріальною або уявною, тобто деяким умовним образом, що дає інформацію про досліджуваний об’єкт.

Структурна модель – це модель, яка відображає внутрішню будову об’єкту дослідження та взаємозв’язки між його елементами (складовими частинами). Наприклад, структурною аналоговою моделлю є універсальна аналогова обчислювальна машина.

Функціональна модель – це модель, яка відображає особливості функціонування (поведінки) об’єкту дослідження.

Геометрично подібна модель – це аналогова модель об'єкту дослідження, яка відтворює його у деякому масштабі, але може не відображає деякі його суттєві, важливі властивості.

Прикладами таких моделей можуть бути макети різних машин та установок (макет теплової машини, лабораторні установки технологічних ліній тощо). Вони використовуються у зменшеному масштабі в основному для того, щоб мати просторову уяву про об'єкт, компонування його елементів, правильно розмістити в просторі основні комунікації між елементами тощо. Слід

51

Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)

враховувати, що таке розмежування понять моделі і макету є в певній мірі відносним і визначається метою (цілями) дослідження. Так, наприклад, точна масштабна копія автомобіля (літака, корабля), яка не вміє самостійно їхати (літати, плавати) для конструктора є макетом. Але така копія з повним правом може бути названа моделлю для музею або для інженера-дизайнера.

Фізично-подібна (фізична) модель – це аналогова модель, яка має ту ж фізичну природу, що й об’єкт-оригінал, а між параметрами об’єкту та його моделі існує однозначна відповідність.

Установки та пристрої, на яких провадять дослідження, є фізичними моделями, якщо вони зберігають фізичну подібність процесів моделі до процесів у об'єкті-оригіналі, відтворюючи їх у тому самому чи іншому масштабі. Нагадаємо, під фізичною подібністю розуміють однозначну відповідність між параметрами об'єкту і його моделі, яка виявляється в тотожності критеріїв подібності. При цьому математичні описи об’єкту і його моделі є аналогічними (якщо не тотожними). Тому за характеристиками і властивостями моделі можна однозначно одержати характеристики і властивості досліджуваного об’єкту.

Прикладами фізичних моделей, на відміну від макетів, можуть бути:

модель дослідного заводу для вивчення нового хімічного процесу;

діючі моделі літаків та кораблів в зменшеному масштабі;

автота пілотні тренажери.

Фізична модель дозволяє охопити явище чи процес у всій повноті, є найбільш адекватною й точною, але досить дорогою, трудомісткою та менш універсальною. Фізичні моделі широко застосовують в електро- і теплоенергетиці, в гідрота аеродинаміці, у будівельній справі, суднобудуванні, геології, радіотехніці, в різноманітних задачах кібернетики й біоніки (див. Фізичне моделювання в п.3.5).

Математично подібна модель – це аналогова модель, яка має фізичну природу, відмінну від природи досліджуваного об’єкту, але має подібний чи однаковий математичний опис.

Такі моделі застосовують, коли характеристики одного (фізичного, соціального, економічного тощо) процесу чи явища використовують для одержання характеристик процесу чи явища іншої природи в інших умовах. Наприклад, механічний маятник розглядають як модель для вивчення електромеханічних коливань синхронного електричного генератора.

Здебільшого математично подібні моделі виконують як електричні моделі, в яких струми, напруги, а іноді й потужності є аналогами величин іншої фізичної природи. Так фізичні процеси в аналоговій обчислювальній машині та об'єкті дослідження мають різну природу за винятком, очевидним, випадків моделювання процесів в електронних приладах.

До електричних моделей прямої аналогії належать такі різновиди цих моделей, як моделі з суцільним середовищем, з провідною пластиною (провідним папером), електролітичні ванни й різні сіткові моделі полів.

52

Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)

На відміну від аналогових моделей, побудованих за принципом прямої аналогії, існують квазіаналогові моделі, що ґрунтуються на принципі еквівалентності.

Чудовим прикладом такої моделі є різновидність логістичної моделі, приведена в одному із підручників (Е.В.Шикин, А.Г.Чхартишвили. Математические методы и модели в управлении: Учеб. пособие. – 3-е изд. – М.: Дело, 2004. – 440 с. – Серия «Классический университетский учебник»).

Припустимо, що потрібно знайти оптимальний спосіб для регулярних відомих поставок товарів в три міста, побудувавши для цього тільки один склад. Основною вимогою є: місце для складу має бути таким, щоб повні транспортні витрати були найменшими (вартість кожного перевезення рівна добутку відстані від складу до пункту призначення на загальну вагу товарів, що перевозяться, і вимірюється в тонно-кілометрах). Наклеїмо карту місцевості на лист фанери. В місці знаходження кожного місця зробимо отвори, а до пропущених через них нитки прив’яжемо вантажі, пропорціональні потребам товарів в ці міста (рис. 21). Зв’яжемо вільні конці ниток в один вузол і відпустимо. Під дією сили тяжіння система прийде в стан рівноваги. Те місце на листі фанери, яке при цьому займе вузол, і буде відповідати оптимальному розміщенню складу. Очевидно, що вартість нових доріг, які, можливо, прийдеться побудувати, в цій моделі не враховується.

Рис. 21. Квазіаналогова логістична модель.

Різновидністю аналогів (фізичнота математично-подібних) є імітаційні моделі.

Імітатором (термін, до речі, відсутній в зарубіжній термінології) найчастіше називають досить простий (часто примітивний) образ об’єкту дослідження, який не може дати ніяких нових відомостей про об’єкт-оригінал, а призначений тільки для демонстрації його форми (структури) чи поведінки в певних умовах (певних режимів функціонування). Вони можуть виконуватись без дотримання масштабу і природа їх може відрізнятися від природи об’єктуоригіналу. Прикладами примітивних імітаторів є демонстраційні конструкції атомів хімічних елементів чи молекул, сонячної системи, планети Земля (глобус), манекени для демонстрації одежі тощо.

Значно ширший сенс має термін «імітаційна модель», який також використовується тільки у вітчизняній науковій термінології а в зарубіжній йому відповідає аналог «simulation model».

53

Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)

Імітаційна модель (simulation model) – це модель, яка імітує процеси, які відбуваються в об’єкті дослідження при його функціонуванні під впливом зовнішнього середовища.

Тобто, імітаційна модель імітує поведінку, процес функціонування об’єкту-оригіналу в певних умовах. Процеси, які при цьому імітуються, можуть бути самої різної природи – фізичні, інформаційні, логічні, економічні, фінансові, виробничі та інші.

Найчастіше імітаційна модель досліджуваного об’єкту має вигляд

математичної комп’ютерної моделі, придатної для комп’ютерних експериментів з нею. Такі моделі використовуються для дослідження складних систем і процесів (див. Імітаційне моделювання в п.3.5).

Разом з тим сьогодні надзвичайно популярним є інший вид імітаційних моделей – симулятори, які є віртуальними моделями досліджуваних об’єктів і реалізуються й досліджуються за допомогою комп’ютера. Такі симулятори реалізують інтерактивну віртуальну реальність (interactive virtual reality) –

повномасштабну реалізацію віртуальної реальності, в якій користувач має можливості керування, які він міг би виконувати, якби дійсно знаходився у створеному штучному світі. До таких симуляторів відносяться симулятори програмних середовищ (наприклад, симуляція DOS-режиму операційних системах сімейства Windows), обчислювальних систем та периферійних пристроїв (SimOS – симулятор комп’ютерів MIPS-архітектур; SimNow – симулятор AMD для архітектур x86 та x86-64; QEMU – відкритий повносистемний симулятор ряду архітектур, який використовує двійкову трансляцію), комп’ютерні ігри.

Але найбільше практичне застосування знайшли симулятори у вигляді складних програмно-апаратних комплексів, до складу яких крім комп’ютера і програмного забезпечення входять реальні фізичні та механічні пристрої та апаратура. Такі симулятори реалізують розширену реальність (augmented reality) – реальність, доповнену віртуальною складовою. Наприклад, реальна кабіна пілота з пристроями керування, доповнена віртуальним зовнішнім простором, який формується за допомогою комп’ютерних технологій. Симулятори розширеної реальності широко застосовуються в медицині, навігаційних системах, обороні, системах керування тощо.

Приведемо ще деякі означення.

Ідеальна модель (ideal model) – це уявна модель, побудована на основі «ідеальних» образів об’єктів дослідження з використанням тільки функціональної аналогії. Яскравими прикладами ідеальних моделей у фізиці є матеріальна точка, ідеальний газ тощо.

Інтуїтивна модель (евристична) – це уявна (віртуальна) модель об’єкту-оригіналу, яка базується на інтуїтивному сприйнятті (представленні) об’єкту без логічного аналізу, але, можливо, на основі попередніх знань і досвіду.

Образна модель – це зоровий образ об'єкту-оригіналу, зафіксований на будь-якому носієві даних (папері, фоточи кіноплівці тощо).

54

Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)

Властивості моделі.

Властивості моделі можна трактувати (розглядати) і як вимоги, яким має відповідати модель.

Повнота – це властивість, яка характеризує наскільки повно модель відображає ті властивості об’єкту-оригіналу, які необхідні для досягнення цілей моделювання.

Оскільки при створені моделі, керуючись цілями моделювання, враховують тільки ті властивості об’єкту дослідження, які суттєві (важливі) для розглядуваної задачі (достатні для досягнення цілей моделювання), то будь-яка модель є подібною об’єкту-оригіналу, але не тотожною (ідентичною) йому, і, значить, в деякій мірі неповною. Очевидно, що повна модель буде повністю тотожна об’єкту-оригіналу, що і відображено в епіграфі. Але в моделюванні виключається будь-яке самовідношення – ніщо не може бути моделлю самого себе.

Адекватність (від лат adaequatus – прирівняний) – збіг властивостей моделі та відповідних властивостей об’єкту-оригіналу в межах цілей моделювання.

Адекватність характеризує здатність моделі правильно відображати

(правильно якісно та кількісно достатньо точно, з відносною похибкою не гірше заданої) властивості об’єкту-оригіналу, визначені цілями моделювання. Тому можна говорити про якісну й кількісну адекватність моделі та про якісні й кількісні моделі. Кількісна адекватність моделі є мірою її точності.

Точність – це ступінь збігу результатів моделювання з реальними (відомими апріорі) чи бажаними.

Достатня простота – це властивість, яка характеризує можливість

досягнення цілей моделювання з достатньою точністю та прийнятними затратами.

На перший погляд вимога простоти моделі є протилежною вимозі її адекватності. Можна думати, що чим модель більш адекватна, тим вона менш проста, і адекватні моделі більш складних об’єктів мають бути все складнішими. Але це не так. Оскільки за означенням модель має відображати найбільш важливі і принципові властивості об’єкту-оригіналу, то серед множини адекватних моделей навіть дуже складного об’єкту можуть бути і дуже прості моделі. Наприклад, моделлю Землі є глобус, моделлю міста – його карта чи карта-схема руху міського транспорту тощо.

Мають місце випадки, коли ускладнення моделі знижує її адекватність.

Робастність (від англ. Robust – міцний) – це властивість моделі, яка характеризує її стійкість по відношенню до похибок у вхідних даних чи у виборі оціночних шкал, здатність нівелювати ці похибки і не допускати їх надмірного впливу на результати моделювання.

Завжди потрібно мати на увазі, що вхідні можуть бути відомі лише з більшою чи меншою точністю і така невизначеність не повинна суттєво впливати на результати дослідження.

Простий приклад відомого математика А.Д.Мишкіса ілюструє вищесказане:

55

Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)

Нехай, наприклад, задані а=275,1±0,1 та b=272,3±0,1; тоді а-b=2,8±0,2.

Тут а та b відомі з точністю до 0,04 %, а а-b – до 7 %; точність погіршилась в 200 разів!

Перевірка моделі на робастність може бути одним із важливих компонентів верифікації моделі.

Продуктивність – це властивість моделі, яка зв’язана з достовірністю вхідних даних, що задаються апріорі.

Якщо вхідні дані є результатом вимірювань, то точність їх вимірювання

має бути вищою, чим точність тих параметрів, які отримуються при використанні моделі. В противному випадку, а також при неможливості реально виміряти і тим самим задати вхідні дані, модель буде непродуктивною, а за результатами моделювання можна буде тільки визначити якими властивостями можуть володіти об’єкти розглядуваного класу та, можливо, оцінити ці властивості.

Потенційність (потенціальність, потужність) – передбачуваність з позицій можливості отримання нових знань про досліджуваний об’єкт.

Універсальність – можливість застосування моделі в інших задачах і для досягнення інших цілей.

Економічність – оцінюється затратами на обчислювальні ресурси (машинний час і пам'ять), необхідні для реалізації моделі.

Очевидно, що вимоги економічності, високої точності та адекватності моделі є суперечливими і практично можуть бути реалізовані тільки в результаті розумного компромісу. Властивість економічності часто пов’язують з простотою моделі.

Ефективність – це властивість моделі, яка показує, наскільки правильним було створення й використання моделі для досягнення цілей моделювання.

Наочність – бажана але не обов’язкова властивість моделі, під якою розуміється безпосередній, чіткий та ясний змістовий сенс її компонент, що дає можливість не тільки зайвий раз проконтролювати модель, але й інколи намітити план розв’язування математичної задачі чи й допомогти в розв’язуванні модельного рівняння.

Очевидно, що властивості створеної моделі вимагають перевірки. Відомі два способи (методи) перевірки:

Валідація – процес, який дає змогу встановити, чи є модель відображенням саме того об’єкту-оригіналу, який досліджується;

Верифікація – контроль правильності моделі шляхом порівняння результатів

моделювання з іншими відомими фактами, зокрема, з експериментальними даними.

Таким чином, модель виступає як своєрідний інструмент для пізнання, який дослідник ставить між собою та досліджуваним об'єктом, і за допомогою якого досліджує (вивчає) об'єкт-оригінал. Оскільки для кожного об’єкту існує, взагалі кажучи, безліч моделей, то виникає проблема вибору або побудови моделі об’єкту, який досліджується в конкретній задачі.

56

Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)

Загальним критерієм вибору (побудови) моделі є мінімум затрат ресурсів на отримання потрібної інформації про об’єкт-оригінал при виконанні заданих вимог (обмежень) на її (інформації) повноту, точність і достовірність.

3.3. ІНФОРМАЦІЙНА МОДЕЛЬ ОБ’ЄКТУ.

Для створення моделі об'єкту, яка з достатньою точністю характеризуватиме реальний об'єкт, необхідно навчитися збирати, правильно подавати й потім опрацьовувати інформацію про нього. Це означає, що для дослідження об'єкту не обов'язково створювати матеріальну модель.

Люди в своїй роботі і повсякденному житті часто використовують зовсім інші моделі. Наприклад, розклад руху потягів - це також модель, але зовсім іншого типу. В ній просто вказані характеристики об'єктів, в даному випадку деякої множини потягів (можливо одного чи кількох), які направляються із одних пунктів призначення до інших.

Часто для вивчення об'єкту достатньо мати необхідну інформацію про нього, подану у відповідній формі. В цьому випадку говорять про

інформаційну модель об'єкту.

Існує багато визначень цього поняття. Наприклад:

Інформаційна модель – це модель об'єкту дослідження у вигляді інформації, що описує істотні для даного розгляду параметри і змінні величини об’єкту, зв’язки між ними, входи і виходи об’єкту і яка дозволяє шляхом подачі на модель інформації про зміну вхідних величин моделювати можливі стани об’єкту [Вікіпедія].

Інформаційна модель – це сукупність інформації, що характеризує істотні властивості і стани об'єкта, процесу, явища, а також взаємозв'язок із зовнішнім світом [Вікіпедія].

Інформаційна модель – це система даних про об’єкт, яку формують в задачах при системному напрямі розвитку ЕОМ [Словник з кібернетики].

Однією з основних навчальних цілей даного курсу є формування у студентів вмінь та навичок створення абстрактної (теоретичної, логічної) моделі досліджуваного в задачі об’єкту з метою подальшого її використання для отримання розв’язку задачі.

З урахуванням цього визначимо інформаційну модель об’єкту наступним чином.

Означення. Інформаційна модель – це абстрактний (уявний чи наочний) образ досліджуваного в задачі об'єкту (об’єкту-оригіналу), який відображає його найбільш істотні властивості і стани, принципово важливі для задачі, що розв'язується, і достатні для отримання її розв’язку.

Або так:

Означення. Інформаційна модель (ІМ) – це сукупність даних про досліджуваний в задачі об’єкт, які характеризують його найбільш істотні властивості і стани, принципово важливі для задачі, що розв'язується, і достатні для отримання її розв’язку.

57

Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)

Враховуючи формальний опис об’єкту дослідження, введений в п.3.1, інформаційну модель об’єкту можна також подати в теоретико-множинному виді:

сукупність вхідних параметрів (впливів) на об’єкт дослідження:

				,	= 1,2,…,	;	≤:
сукупність постійних параметрів об’єкту дослідження
				,	= 1,2,…,	;	≤
сукупність впливів зовнішнього середовища на об’єкт дослідження:
				,	(= 1,2,…,	;	≤	.
сукупність вихідних параметрів					характеристик) об’єкту:
В будь-який				,	= 1,2,…,	;	≤	.
		момент часу стан моделі (модельованого об’єкту)
визначається значеннями				, ,	.	;	≤
Поведінка				,	= 0,1,2,…,
	моделі описується тим же оператором (1) або аналогічним
(подібним, однорідним) йому:					( ( ),	( ),	( ), )
			у	( ) =					(2)

Слід відзначити, що в конкретній задачі шукані параметри об’єкту, тобто, ті, які необхідно обчислити для отримання розв’язку задачі, або належать сукупності вихідних параметрів , або взаємозв’язані з ними співвідношеннями типу (2).

Побудова інформаційної моделі, як і матеріальної, пов'язана з метою моделювання. Будь-який реальний об'єкт має велику кількість властивостей, тому для моделювання мають бути виділені лише ті властивості, які відповідають меті дослідження (цілям моделювання).

Будь-які відомості про об’єкт дослідження можна подати в різній формі, тому існують різні форми ІМ.

Класифікація інформаційних моделей.

Класифікувати ІМ можна за тими ж ознаками, які визначені вище (п.3.2). Відзначимо, що всі абстрактні (теоретичні, уявні) моделі є інформаційними. Вони не мають матеріального втілення.

Означення. Комп’ютерна модель – це інформаційна модель об'єкту дослідження, реалізована комп’ютерними засобами.

Побудувавши ІМ об’єкту, дослідник використовує її замість об'єктуоригінала для вивчення властивостей цього об'єкту та подібних йому об’єктів, прогнозування їх поведінки, розв’язання конкретних задач тощо.

58

Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)

3.4. МАТЕМАТИЧНА МОДЕЛЬ ОБ’ЄКТУ.

Існує багато визначень математичної моделі:

Математична модель – це наближений опис деякого класу явищ зовнішнього світу, виражений за допомогою математичної символіки

[Математичний енциклопедичний словник].

Математична модель – це система математичних співвідношень, які описують досліджуваний об’єкт, процес чи явище [Вікіпедія, Словник з кібернетики].

Математична модель – це математичне представлення реальності

(A mathematical representation of reality) [Encyclopedia Britannica].

Математична модель – це еквівалент об’єкту, який відображає в математичній формі найважливіші його властивості – закони, яким він підпорядковується, зв’язки, властиві його складовим частинам, тощо

[А.А.Самарський].

З урахуванням основної цілі моделювання в межах даного навчального курсу (розв’язання конкретної задачі) визначимо ММ так:

Означення. Математична модель (ММ) – це математичний об’єкт (чи їх сукупність) та математичні співвідношення, які відображають істотні властивості і стани досліджуваного в задачі об’єкту, принципово важливі для задачі, що розв'язується, і достатні для отримання її розв’язку.

Або в більш загальному сенсі:

Означення. Математична модель – це абстрактний образ об’єктуоригіналу у вигляді сукупності математичних об’єктів та математичних співвідношень, які відображають його істотні для цілей моделювання властивості і стани у визначеній предметній області.

Відмінною рисою ММ є строга формалізація – формальний опис властивостей об’єкту дослідження в деякій знаковій системі. Для створення ММ можна використовувати будь-які математичні засоби – мову диференціальних або інтегральних рівнянь, теорію множин, абстрактну алгебру, математичну логіку, теорію ймовірностей, теорію графів тощо. Як слідує із загальної класифікації моделей (п.3.2), ММ відносяться до

абстрактних теоретичних знакових символічних моделей, отже є однією з форм ІМ. Тому можливим є наступне означення.

Означення. Уявна (віртуальна) інформаційна модель, в якій властивості і стани досліджуваного в задачі об’єкту та залежності між ними виражені в математичній формі, називається математичною моделлю.

На практиці в багатьох випадках немає необхідності будувати ММ власне об’єкту, який досліджується, але достатньою (для розв’язання задачі) є наявність ІМ у вигляді відомих (заданих) й невідомих (шуканих) параметрів об’єкту та математичних співвідношень між ними. Крім того в деяких задачах побудова ММ власне об’єкту-оригіналу може виявитись неможливою і для розв’язання таких задач необхідно використовувати інші форми ІМ.

Продемонструємо це на тривіальних прикладах.

59

Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)

1. Для обчислення площі земної поверхні немає потреби будувати ММ Землі, але достатньо мати математичне співвідношення між її радіусом R і площею S у

вигляді формули:		.
2. Для обчислення	відстані S, на яку за час t перемістився автомобіль, який
	= 4

рухається із заданою швидкістю v, немає потреби будувати ММ руху тіла. Припустивши, що автомобіль рухається прямолінійно і рівномірно, та нехтуючи силами опору повітря, тертя та деякими іншими параметрами об’єкту дослідження (для цієї задачі це процес руху автомобіля), отримаємо розв’язок у вигляді математичного співвідношення між параметрами руху: = ∙ .

3.Для розв’язання задачі переведення текстового документу в електронний формат достатньо його ІМ у вигляді сканованого зображення (образна наочна форма).

4.Для розв’язання задачі елементарного обліку студентів, достатньо мати ІМ об’єкту обліку (студента) у вигляді сукупності параметрів, які необхідно враховувати при обліку (таблична форма).

Проте для розв’язання багатьох задач необхідно будувати ММ власне об’єкту, який досліджується в задачі. Крім того, ММ об’єкту дозволить розв’язати значно ширше коло задач щодо нього. Наприклад:

5. Для відповіді на запитання, чи належить точка з координатами (x,y,z) поверхні Землі, необхідно побудувати ММ фігури Землі. Для першого (найгрубішого) наближення можна використати математичний об’єкт «сфера з середнім радіусом R=6371,3 км», тобто геометричного місця точок, відстань яких від центру рівна заданій:

S= {(x, y, z) : (x-a)2 + (y-b)2 +(z-c)2=R2},

де a, b, c – координати центру Землі.

Така ММ фігури Землі добре підходить для задач, точність обчислень у яких не перевищує 0,5%. Для більш точних обчислень в геодезії і космонавтиці зазвичай для опису фігури Землі вибирають еліпсоїд обертання або геоїд.

6. Нагадаємо, що в класичній ньютоновій механіці «прямолінійний рівномірний рух – це рух, при якому тіло (точка) за будь-які рівні і нескінченно малі проміжки часу проходить однакову відстань». В прикладі 2 математичною моделлю процесу руху тіла буде рівняння руху – закон еволюції механічної системи з часом, який можна записати у виді:

звідки отримуємо:		.		=	,
для ММ інших процесів руху будуть інші рівняння руху:
Очевидно, що −	= ∙

другий закон Ньютона для рівноприскореного руху; рівняння Шредінгера – основне рівняння руху нерелятивістської квантової механіки; рівняння Дірака – релятивістсько-інваріантне рівняння руху частинок з напівцілим спіном.

7. Для розв’язання інших задач щодо текстового документу необхідно будувати його ММ, наприклад, модель шифрування-дешифрування, модель стискування (архівації), топологічні та інші моделі тексту.

60

Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)