ОснАлгор_Посібн_Яровенко

8. Для розв’язання задачі автоматизації обліку студентів створюється база даних об’єктів обліку, в основі якої лежить, наприклад, ММ у виді алгебри реляційних відношень.

Враховуючи навчальні цілі нашого курсу, будемо розрізняти ММ власне об’єкту, який розглядається в задачі, і його ІМ, достатню для отримання розв’язку цієї задачі. Тому в деякому сенсі така ММ об’єкту-оригіналу є більш загальною ніж його ІМ, тому що описує об’єкт-оригінал за допомогою не тільки даних, але математичних об’єктів (множин, груп, функцій тощо) і логіко-математичних співвідношень (рівнянь, рівностей, нерівностей, логікоматематичних конструкцій).

Класифікація математичних моделей.

Математичні моделі можна розділити на класи за різними критеріями (ознаками) – за складністю об’єкту (простий чи складний), за цілями моделювання, за видом параметрів, за оператором моделі, за способом побудови і дослідження, за способом відображення властивостей об’єкту тощо.

Наприклад, за способом відображення властивостей об’єкту математичні моделі можна розділити на структурні та функціональні (див. п. 3.2). Серед структурних моделей можна виділити топологічні та графові моделі.

За принципами побудови математичні моделі дуже умовно можна розділити на аналітичні, імітаційні та нечіткі (семіотичні).

В аналітичних моделях зв’язки між параметрами об’єкту дослідження та процес його функціонування записуються у вигляді явних функціональних залежностей (аналітичних формул). Для опису цих залежностей застосовується мова алгебричних, трансцендентних, диференціальних, інтегральних та інших рівнянь.

Зускладненням об’єкту дослідження побудова аналітичної моделі є досить трудомісткою задачею. В деяких випадках аналітичну модель об’єкту взагалі неможливо побудувати, а в інших вона виявляється надто складною для практичного застосування. Тоді необхідно побудувати модель, придатну для застосування комп’ютерів – імітаційну модель.

Зматематичної точки зору імітаційну модель можна розглядати як сукупність рівнянь, які описують поведінку фізичні та інформаційні процеси, що відбуваються в об’єкті дослідження, тобто, описують його поведінку (процес функціонування) і які розв’язують з використанням чисельних методів для кожного моменту модельного часу. Окремі рівняння можуть бути дуже простими, але їх кількість і частота розв’язання – дуже великими, тому використання комп’ютерів є необхідністю. Розв’язання таких рівнянь в процесі моделювання означає встановлення хронологічної послідовності подій, які виникають і відображають послідовність станів об’єкту дослідження. Імітаційна модель функціонує так само, як об’єкт дослідження.

Часто імітаційну модель називають алгоритмічною, тому що її можна подати у вигляді сукупності алгоритмів, які описують поведінку об’єкту дослідження.

61

Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)

До нечітких математичних моделей відносяться моделі з невизначеними (нечіткими) параметрами. Теоретичною основою побудови і дослідження таких моделей є математична теорія нечітких множин, основоположником якої є Лотфі Заде (L.A.Zadeh). В своїй статті «Нечіткі множини» (Fuzzy sets. – Information and Control, 1965, vol. 8, N 3, pp.338-353). Л.Заде ввів поняття

«нечітка множина», в якому розширив класичне поняття множини, припустивши, що функція належності елемента множині може приймати будьякі значення в інтервалі [0, 1], а не тільки значення 0 чи 1. Теорія нечітких множин дозволяє описувати нечіткі поняття і знання, оперувати ними та робити нечіткі висновки. Сьогодні нечіткі моделі широко застосовуються для комп’ютерного моделювання людино-машинних систем, побудови систем лінгвістичного аналізу, експертних систем тощо.

Якщо взаємозв’язок між параметрами моделі, зокрема вид оператора , який описує поведінку моделі, є лінійним, то модель називається лінійною. Лінійні моделі більш прості для аналізу. Наприклад, із властивості лінійності слідує принцип суперпозиції розв’язків, тобто, якщо відомі розв’язки Y1(X1) і Y2(X2), то справедливо Y(X1 +Х2)= Y1 + Y2. Граничні значення вихідних параметрів Y для лінійних моделей досягаються, як правило, на границях областей допустимих значень незалежних параметрів.

Лінійна поведінка характерна для досить простих об’єктів. Для дослідження складних об’єктів використовуються нелінійні або квазілінійні моделі.

Найпоширенішою класифікацією математичних моделей є класифікація за видом (властивостями) їх параметрів.

Параметри, що описують поведінку і стан об’єкту дослідження утворюють множини, які в загальному випадку не перетинаються (п. 3.1, 3.3).

Відомо, що величини можуть бути двох типів – дискретні тобто ті, які набувають ізольованих («відірваних») один від іншого значень і допускають природню нумерацію, та неперервні, які набувають всі значення з деякого інтервалу. Можливий також змішаний випадок, наприклад, коли величина на деякому інтервалі своїх значень веде себе, як дискретна, а на іншому – як неперервна. Тому в залежності від виду своїх параметрів математичні моделі можуть бути або дискретними, або неперервними, або змішаними. Таке розділення є дещо умовним, тому що в результаті уточнення чи зміни модель дискретна модель може стати неперервною і навпаки.

Якщо модель включає параметри, значення яких є випадковими величинами (тобто, відомими з деякою ймовірністю), то вона називається ймовірнісною або стохастичною. Вивчаються такі моделі за допомогою методів стохастичного моделювання та теорії ймовірностей і математичної статистики. Протилежністю стохастичним моделям є моделі детерміновані, в яких значенні параметрів цілком визначені (передбачувані). Якщо модель включає нечіткі параметри, то вона називається нечіткою (семіотичною).

В залежності від розмірності своїх параметрів моделі поділяються на

одномірні, двомірні й тримірні.

62

Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)

Динамічні (еволюційні) моделі, на відміну від статичних, описують поведінку об’єкту-оригіналу в часі. Деякі чи всі параметри таких моделей є залежними від часу.

Проміжне місце займають квазістатичні, стаціонарні та нестаціонарні (квазістаціонарні) моделі.

Вквазістатичній моделі приймається, що зміна об’єкту в часі відбувається так повільно, що в кожний момент часу в першому наближені можна вважати об’єкт статичним, а час приймати за додатковий параметр.

Встаціонарній моделі вважається, що процеси в часі відбуваються, але об’єкт-оригінал з часом не змінюється, тобто, в кожній фіксованій точці простору станів параметри моделі не залежать від часу. Як правило, стаціонарні моделі використовуються для опису різноманітних потоків (рідини, газу, тепла), коли умови на вході і виході потоку є постійними.

Найпростішим прикладом стаціонарної моделі є модель електричного кола з постійним струмом.

Якщо в якості одного з незалежних параметрів моделі необхідно враховувати час (чи його аналог), то модель називається нестаціонарною. Прикладом нестаціонарної моделі є модель потоку рідини, яка витікає з деякого резервуару і протікає в трубі. Із зниженням рівня рідини в резервуарі тиск на вході в трубу буде зменшуватись, що спричинить зміну параметрів потоку в будь-якій точці труби.

Схема класифікації математичних моделей в залежності від властивостей їх параметрів зображена на рис.22.

Властивості параметрів моделі

Природа

Визначеність

Врахування часу

Розмірність

Дискретні

Детерміновані

Статичні

Одномірні

Неперервні

Ймовірнісні

Динамічні

Двомірні

(стохастичні)

Змішані

Нечіткі

Стаціонарні

Тримірні

Нестаціонарні

Рис. 22.

Класифікація математичних моделей за видом параметрів.

63

Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)

3.5. ПОБУДОВА ІНФОРМАЦІЙНОЇ ТА МАТЕМАТИЧНОЇ МОДЕЛІ ОБ’ЄКТУ ДОСЛІДЖЕННЯ.

Досвід показує, що в багатьох випадках правильно вибрати модель – значить вирішити проблему більше ніж наполовину.

Академік А.М.Тихонов

Процес створення (синтезу) і дослідження моделі об’єкту називається моделюванням. Це найзагальніший і найуживаніший у науці, зокрема в кібернетиці, метод досліджень.

Чудово висловився про необхідність та цінність моделювання в сучасній науці світі визначний математик академік А.А.Самарський:

«Технические, экологические, экономические и иные системы, изучаемые современной наукой, больше не поддаются исследованию (в нужной полноте и точности) обычными теоретическими методами.

Прямой натурный эксперимент над ними долог, дорог, часто либо опасен, либо попросту невозможен, так как многие из этих систем существуют в «единственном экземпляре». Цена ошибок и просчетов в обращении с ними недопустимо высока. Поэтому математическое (шире – информационное) моделирование является неизбежной составляющей научно-технического прогресса».

Означення. Моделювання – це метод дослідження, що ґрунтується на заміні конкретного об’єкту-оригіналу дослідження його моделлю.

Означення. Моделювання – це дослідження властивостей, станів та основних закономірностей і особливостей функціонування об’єктів-оригіналів за допомогою їх моделей.

Процес моделювання включає три елементи:

суб’єкт (дослідник),

об’єкт дослідження,

модель об’єкту.

Моделювання може мати різні цілі:

синтез чи ідентифікація моделі об’єкту дослідження;

вивчення властивостей об’єкту-оригіналу, його поведінки, внутрішньої будови (структури) та механізму взаємодії його елементів;

пояснення вже відомих результатів емпіричних досліджень, верифікація параметрів моделі за результатами експерименту;

перевірка різного роду гіпотез про характеристики випадкових параметрів об’єкту дослідження;

уточнення та оптимізація моделі об’єкту дослідження;

моніторинг стану об’єкту дослідження;

прогнозування поведінки об’єкту в нових умовах при різних зовнішніх впливах і способах керування;

64

Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)

аналіз чутливості системи до зміни тих чи інших факторів;

оптимізація функціонування об’єкту дослідження, пошук правильного керування об’єктом у відповідності до вибраного критерію оптимальності;

створення об’єктів із заданими властивостями (параметрами).

Вищевказані цілі моделювання є загальними для всіх сфер науковопрактичної діяльності та предметних областей. В той же час в конкретній ПО чи галузі цілі моделювання можуть бути розширені й деталізовані. Наприклад, проектування нових мікроелектронних пристроїв, проектування літальних апаратів, розробка систем екологічного моніторингу і контролю, оптимальне проектування нових та інтенсифікація діючих хімічних технологічних процесів тощо.

Задачі моделювання.

Увідповідності з цілями моделювання можна виділити такі задачі моделювання: пряма задача, обернена задача, задача ідентифікації, задача

оптимізації, задача прогнозування.

Пряма задача полягає у знаходженні (обчисленні) значень вихідних параметрів Y при відомих значеннях вхідних параметрів X, постійних параметрів H, впливів зовнішнього середовища V та відомій моделі Fm.

Обернена задача (або задача управління) полягає у знаходженні таких значень вхідних параметрів Х, що забезпечують задані значення вихідних параметрів Y при відомій моделі Fm та фіксованих значеннях параметрів H та впливів V.

Уформулюванні задачі ідентифікації відомими є множина вхідних параметрів X, множина вихідних параметрів Y та множина моделей Fm. Потрібно визначити єдину модель f з множини запропонованих моделей Fm,

івизначити її параметри H, що забезпечують при вхідних значення Х вихідні значення Y.

Упостановці задачі оптимізації відомими являються модель F, множина можливих вхідних значень X та критерій оптимізації К, а вимагається знайти такі значення вхідних параметрів X, значення параметрів H та значення вихідних параметрів Y, що задовольняють заданому критерію оптимізації К.

Задача прогнозування формулюється так, що при відомих значеннях вхідних та вихідних параметрів моделі Xt, Yt до моменту часу t та заданому часі прогнозування Т потрібно визначити модель F та її параметри H, які забезпечують найліпший прогноз Yt+Т .

Виділимо також три типи навчальних задач у сфері інформаційного моделювання, які за рівнем складності можна класифікувати наступним чином:

1. Аналіз та застосування готових ІМ та ММ об'єкту дослідження.

2. Побудова ІМ та ММ об'єкту дослідження на основі несистематизованих даних про нього.

3. Створення інформаційної моделі об'єкту дослідження.

65

Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)

Принципи моделювання.

В науці принципами називають загальні положення, вимоги, яким повинні задовольняти наукові припущення, гіпотези або теорії. Принципи відрізняються від законів природи тим, що їхнє формулювання загальніше, менш конкретне. Від аксіом принципи відрізняються тим, що обираються не довільно, а формулюються в процесі пошуку істини, а тому можуть виникати, змінюватися і застарівати.

До основних принципів моделювання відносяться:

Принцип інформаційної достатності. Очевидно, що при відсутності будь-

якої інформації про досліджуваний об’єкт побудова його моделі неможлива. З іншої сторони При наявності повної інформації про об’єкт моделювання його просто непотрібне. Отже, має існувати деякий критичний рівень апріорних відомостей про досліджуваний об’єкт (рівень інформаційної достатності), при досягненні якого стає можливим створення моделі цього об’єкту.

Принцип здійсненності. Модель має забезпечити досягнення заданої цілі (мети) моделювання з ймовірністю, суттєво відмінною від нуля, за скінчений час та в межах виділеного бюджету. На практиці цей принцип реалізується розумним балансом між такими властивостями моделі як повнота, адекватність, точність та достатня простота. Далеко не всі моделі досліджуваного об’єкту можна використати в практичних дослідженнях, наприклад, в комп’ютерному моделюванні.

Принцип множинності та єдності (універсальності) моделей.

Оскільки моделлю досліджуваного об’єкту-оригіналу може бути будьякий подібний йому об’єкт, то, в принципі, існує багато різних моделей одного і того ж об’єкту. Ці моделі можуть мати різну точність, відрізнятися рівнем деталізації та/або адекватності, способом та формою подання тощо. Але така множинність моделей одного і того ж об’єкту тільки розширює можливості його дослідження та пізнання, а порівняння результатів моделювання значно підвищує їх достовірність. В той же час різні об’єкти можуть мати одну і ту ж (структурну, функціональну, чи, що найчастіше буває, математичну). Наприклад, коливання в механічній системі «кулькапружина», в найпростішому замкненому електричному контурі (системі «ємність-індуктивність»), в системі взаємодії двох біологічних популяцій та коливання заробітної плати описуються одним і тим же звичайним диференціальним рівнянням другого порядку. Отже дослідивши один об’єкт, можна робити висновки про властивості різноманітних, навіть інших за природою об’єктів.

Побудова моделі.

Побудова моделі, взагалі кажучи (в загальному випадку), процедура не формалізована. Можна виділити наступні узагальненні етапи моделювання:

Перший етап побудови моделі передбачає наявність деяких знань про об’єкт-оригінал. Пізнавальні можливості моделі зумовлюються тим, що модель відображає (відтворює, імітує) деякі суттєві властивості об’єкт-оригіналу.

66

Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)

Питання про необхідну і достатню міру подібності об’єкт-оригіналу і моделі вимагає конкретного аналізу.

На цьому етапі розробляється інформаційна модель (спочатку звичайно у вербальній (усній) формі, далі – у знаковій формі), добирається метод розв'язування задачі.

На другому етапі модель виступає як самостійний об’єкт дослідження. Однією з форм такого дослідження є проведення «модельних» експериментів, під час яких свідомо змінюються умови функціонування моделі і систематизуються дані про її «поведінку». Кінцевим результатом цього етапу є множина (сукупність) знань про модель.

На третьому етапі здійснюється перенесення знань з моделі на об’єкторигінал – формування множини знань. Одночасно відбувається перехід з «мови» моделі на «мову» оригіналу. Процес перенесення знань здійснюється за певними правилами. Знання про модель мають бути скореговані з урахуванням тих властивостей об’єкту-оригіналу, які не відображались чи були змінені при побудові моделі.

Четвертий етап – практична перевірка знань, отримуваних за допомогою моделей, та їх використання для побудови узагальнюючої теорії об’єкту, його перетворень чи керування ним.

Моделювання – циклічний процес. Це означає, що за першим чотирьохетапним циклом може слідувати другий, третій і т.д. При цьому знання про досліджуваний об’єкт розширюються та уточнюються, а початкова модель поступово вдосконалюються. Недоліки, виявлені після першого циклу моделювання, зумовлені малими знаннями про об’єкт чи помилками в побудові моделі, можна виправити в наступних циклах.

Види моделювання.

Має місце відповідність між видами моделей і видами (методами) моделювання. Тобто, класифікація моделей визначає методи моделювання, які застосовувались для створення кожної з них, але з іншого боку метод моделювання визначає вид моделі, яка при цьому створюється чи застосовується. Тому методи моделювання можна класифікувати за видами моделей, які розглянуті раніше (рис. 23).

Моделювання

	Матеріальне						Абстрактне
Натурне		Фізичне			Інтуїтивне			Знакове		Образне
								Математичне
	Геометричне		Аналогове

Рис. 23. Класифікація видів моделювання.

67

Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)

Розглянемо детальніше фізичне та математичне моделювання.

Фізичне моделювання.

Означення. Моделювання фізичне – це дослідження об'єктів (систем)

на моделях фізичних, при якому досліджуваний процес (явище) відтворюють, зберігаючи його фізичну природу, або використовують аналогічне інше фізичне явище [Енциклопедія кібернетики].

При фізичному моделюванні в якості моделі використовується або сам досліджуваний об’єкт-оригінал, або інший об’єкт подібної фізичної природи. Типовим прикладом такого моделювання є модель літального апарату, який продувається в аеродинамічній трубі.

Основою для фізичного моделювання є методи теорії подібності, що ґрунтуються на аналізі розмірностей фізичних величин. Необхідною умовою при фізичному моделюванні є додержання геометричної подібності моделі та об’єкту-оригіналу і відповідних масштабів для параметрів останнього.

Фізичне моделювання доцільно застосовувати, досліджуючи такі складні об'єкти, для яких або неможливо, або дуже складно дати досить точний математичний опис їхнього функціонування, а експериментально здобути потрібні характеристики об'єктів у виробничих умовах неможливо без порушення експлуатаційних режимів технології, процесів і устаткування, бо це в ряді випадків неприпустиме (наприклад, коли досліджують роботу систем автоматики на граничних режимах в умовах великих збурень, налагоджують схеми аварійного захисту тощо).

Фізичне моделювання складних систем, наприклад, електричних, здійснюють на динамічних моделях, використовуючи спеціальні машинимоделі, що відтворюють основні характеристики реальних елементів системи. Моделювання фізичне дає змогу відтворювати властивості систем автоматичного керування (САК) повніше, ніж за моделювання математичного, що спирається, як правило, на ідеалізовані математичні описи об'єкту й елементів системи. Таке моделювання забезпечує можливість безпосереднього приєднання до фізичної моделі реальної вимірювальної та регулюючої апаратури без спеціальних перетворювальних пристроїв, які вносять додаткові похибки й спотворення.

Метод фізичного моделювання менш універсальний, ніж математичне чи комп’ютерне моделювання, проте в деяких випадках він ефективний (коли досліджують нестаціонарні режими в регульованих енергосистемах, САК деякими агрегатами хімії і металургії, виробництва й автоматики складних електроприводів та в аеродинаміці й будівельній техніці, а іноді є єдиним можливим засобом (наприклад, при відпрацьовуванні бортових САК космічних літальних апаратів), який дає змогу досягти високого ступеня точності й надійності автоматичних систем.

68

Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)

Математичне моделювання.

Означення. Математичне моделювання – це методологія, суть якої полягає в заміні об’єкта, що досліджується, його образом – математичною моделлю – і подальшим вивченням моделі як методами математичного аналізу (аналітично), так і за допомогою комп’ютерних експериментів.

Або, якщо коротко:

Означення. Математичне моделювання – це метод дослідження об’єктів шляхом побудови їхніх математичних моделей і дослідження цих моделей.

В основу методу покладено ідентичність форми рівнянь і однозначність співвідношень між змінними в рівняннях оригіналу й моделі, тобто їхні аналогії.

Неможливо уявити собі сучасну науку без широкого використання математичного моделювання. Цей метод пізнання, конструювання, проектування поєднує в собі переваги як теорії, так і експерименту. Заміна здійснюється з метою спрощення, здешевлення, прискорення дослідження властивостей об’єкту-оригіналу.

Робота не з самим об’єктом (явищем, процесом), а з його моделлю дає можливість безболісно, відносно швидко і без суттєвих витрат вивчати його властивості й поведінку в будь-яких можливих ситуаціях (переваги теорії). У той же час, обчислювальні експерименти (комп’ютерні, симуляційні, імітаційні) з моделями об’єктів дозволяють, опираючись на можливості сучасних обчислювальних методів і технічних засобів інформатики, детально й глибоко вивчати об’єкти з достатньою повнотою, недоступною чисто теоретичним (аналітичним) підходам (переваги експерименту).

Сама постановка питання про інформаційне (математичне) моделювання будь-якого об’єкту породжує чіткий план дій. Його можна умовно розбити на три етапи: модель – алгоритм – програма (рис. 24).

Модель

ОБ’ЄКТ

Програма
		Алгоритм

Рис. 24. Тріада математичного моделювання (А.А.Самарський)

69

Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)

Видатні вчені констатують, що математичне моделювання опирається на знання практично всіх розділів математики. Тому важко уявити, що без фундаментальних математичних знань процес побудови математичної моделі об’єкту дослідження буде успішним.

Найважливішим достоїнством математичного моделювання як методу пізнання є можливість кількісного аналізу, тобто отримання числових параметрів досліджуваного об’єкту. Серед його переваг можна виділити наступні:

можливість дослідження систем, фізичне моделювання яких економічно не виправдане або важко здійснене;

можливість дослідження систем, фізичне моделювання яких зв’язане з небезпечними для здоров’я людини умовами, наприклад, при високій радіації чи токсичності;

можливість дослідження систем на стадії їх проектування;

можливість дослідження важкодоступних об’єктів, наприклад, моделювання атмосфери планет;

можливість дослідження неспостережних об’єктів із-за їх розмірів чи часу існування. Наприклад, моделі макрота мікросвіту, дослідження вибуху тощо;

дослідження економічних, соціальних та біологічних систем.

Різновидності математичного моделювання.

Квазіаналогове моделювання – метод дослідження, який полягає у вивченні не об’єкту дослідження, а об’єкту іншої фізичної природи, який описується математичними співвідношеннями, еквівалентними відносно одержуваних результатів.

Квазіаналогова математична модель – це математично подібна модель

(див. п. 3.2).

Аналітичне моделювання – дослідження математичних моделей аналітичними методами математичних теорій (алгебри та математичного аналізу, диференціальних та інтегральних рівнянь тощо).

Такі дослідження можна здійснювати як теоретично, так і з використанням комп’ютерів. Тому можна говорити про теоретичне та

комп’ютерне аналітичне моделювання. Останнє сьогодні широко застосовується завдяки появі великої кількості потужних пакетів прикладних програм для математичних символьних обчислень – систем комп’ютерної алгебри (MATLAB та вільний аналог Scilab, MathСad, Maple, Mathematica та ін.).

Комп’ютерне моделювання – дослідження математичних моделей шляхом комп’ютерних експериментів над ними.

Таке моделювання здійснюють за допомогою аналогових та цифрових пристроїв обчислювальної техніки, тому говорять про аналогове й дискретне (цифрове) комп’ютерне моделювання. Крім аналогових комп’ютерів багато інших пристроїв аналогової природи (нейрон, оптичні, оптоелектронні тощо)

70

Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)