Найти все значения , при которых сходится ряд :

1.53. .	1.54. .
1.55. .
1.56. .

Исследовать на сходимость ряд с помощью признака Даламбера:

1.57. .	1.58. ,,.
1.59. .	1.60. .
1.61. .	1.62. .
1.63. .	1.64. .
1.65. .	1.66. .

Исследовать на сходимость ряд с помощью признака Коши:

1.67. .	1.68. .
1.69. .	1.70. .
1.71. .	1.72. .
1.73. .	1.74. .

Исследовать на сходимость ряд с помощью признака Раабе или признака Гаусса:

1.75. .	1.76. .
1.77. .	1.78. .
1.79. .
1.80. .

Исследовать на сходимость ряд :

1.81. .	1.82. .
1.83. .	1.84. .
1.85. .	1.86. .
1.87. .	1.88. .
1.89. .	1.90. .

Ответы: 1.33. Сходится. 1.34. Расходится. 1.35. Сходится. 1.36. Сходится. 1.37. Сходится. 1.38. Расходится. 1.39. Сходится. 1.40. Расходится. 1.41. Расходится. 1.42. Сходится. 1.43. Сходится. 1.44. Сходится. 1.45. Сходится. 1.46. Сходится. 1.47. Сходится. 1.48. Расходится. 1.49. Расходится. 1.50. Сходится. 1.51. Сходится. 1.52. Сходится. 1.53. .1.54. .1.55. .1.56. .1.57. Сходится. 1.58. Сходится при , расходится при.1.59. Признак Даламбера не решает вопроса о сходимости данного ряда. 1.60. Расходится. 1.61. Сходится. 1.62. Сходится. 1.63. Сходится. 1.64. Сходится. 1.65. Сходится. 1.66. Сходится. 1.67. Сходится. 1.68. Сходится. 1.69. Расходится. 1.70. Сходится. 1.71. Сходится. 1.72. Сходится. 1.73. Сходится. 1.74. Сходится. 1.75. Сходится при .1.76. Сходится, если , и расходится, если.1.77. Сходится, если , и расходится, если.1.78. Сходится при .1.79. Сходится. 1.80. Сходится при .1.81. Сходится. 1.82. Сходится. 1.83. Сходится. 1.84. Сходится при и при, если.1.85. Сходится. 1.86. Сходится. 1.87. Сходится. 1.88. Расходится. 1.89. Сходится. 1.90. Сходится.

1.3. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость

Ряд называется знакопеременным, если среди его членов имеются как положительные, так и отрицательные.

Ряд , где, называетсязнакочередующимся, или альтернирующим.

Абсолютно сходящимся рядом называется сходящийся ряд , для которого сходится и ряд.

Свойства абсолютно сходящихся рядов таковы.

1. Абсолютно сходящийся ряд сходится, т. е. из сходимости ряда следует сходимость ряда.

1. Если ряды иабсолютно сходятся, то при любыхирядтакже абсолютно сходится.

2. Если ряд абсолютно сходится, то ряд, составленный из тех же членов, но взятых в другом порядке, также абсолютно сходится, и его сумма равна сумме исходного ряда.

4. Правило Коши. Если ряды иабсолютно сходятся, то

,

где .

Ряд также абсолютно сходится, а его сумма равна, гдеи– суммы рядови.

Если ряд сходится, а рядрасходится, то такой ряд называетсяусловно сходящимся.

Если один из рядов илисходится условно, а второй – абсолютно, то для их произведения справедливо правило Коши.

Теорема Римана. Если ряд сходится условно, то каким бы ни было число, можно так переставить члены ряда, что сумма полученного ряда будет равна.

Признак сходимости Лейбница. Пусть для ряда выполнены условия:

1. ; 2..

Тогда этот ряд сходится и его сумма удовлетворяет неравенству .

Для остатка альтернирующего ряда справедливо неравенство. Таким образом,модуль остатка не превосходит модуля первого из отбрасываемых членов.

Признак Абеля. Если ряд сходится, а числаобразуют монотонную и ограниченную последовательность, то рядсходится.

Признак Дирихле. Если частичные суммы ряда ограничены в совокупности (т. е.), а последовательностьмонотонно стремится к нулю, то рядсходится.

Следствие признака Дирихле. Если последовательность моно-

тонно стремится к нулю, то ряд сходится при любом, а ряд

сходится при .

Пример 1.6. Исследовать на сходимость ряд .

Решение. Это знакочередующийся ряд. Проверим выполнение условий признака Лейбница.

1. Рассмотрим функцию . Тогда,, если. Значит, прифункциямонотонно убывает.

2. .

Ряд сходится.

Пример 1.7. Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость ряды:

а) ; б); в).

Решение. а) Используя неравенства ,, получаем. Из сходимости рядапо признаку сравнения следует сходимость ряда, т. е. абсолютная сходимость ряда.

б) Используя неравенства ,, получаем. Из сходимости рядапо признаку сравнения следует сходимость ряда, т. е. абсолютная сходимость ряда.

в) Используя неравенство , получаем. Рядрасходится, т. к. и рядрасходится, а рядсходится. Проверим условную сходимость. Последовательностьмонотонно стремится к нулю; следовательно, рядсходится. Рядсходится условно.

Доказать, что ряды абсолютно сходятся:

1.91. .	1.92. .
1.93. .	1.94. .

Исследовать на сходимость ряды:

1.95. .	1.96. .
1.97. .	1.98. .

Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость ряды:

1.99. .	1.100. .
1.101. .

Исследовать на сходимость ряды:

1.102. .	1.103. .
1.104. .

Найти все значения , при которых ряд: а) абсолютно сходится; б) условно сходится:

1.105. .	1.106. .
1.107. .	1.108. .
1.109. .	1.110. .
1.111. .	1.112. .
1.113. .
1.114. .

Найти все значения и, при которых ряд: а) абсолютно сходится; б) условно сходится:

1.115. .
1.116. .
1.117. .

1.118. Пользуясь одним из равенств

,

,

где , доказать, что.

Пользуясь тем, что , найти суммы следующих рядов, полученных из данного перестановкой его членов:

1.119. .
1.120. .
1.121. .

1.122. Пусть ряд сходится и. Следует ли отсюда, что рядтакже сходится?

Ответы: 1.95. Сходится. 1.96. Сходится. 1.97. Сходится. 1.98. Сходится. 1.99. Сходится условно. 1.100. Сходится абсолютно. 1.101. Сходится условно. 1.102. Сходится. 1.103. Расходится. 1.104. Расходится. 1.105. а) ; б).1.106. а) ; б).1.107. а) ; б).1.108. а) ; б).1.109. а) ; б).1.110. а) ; б)   любое. 1.111. а) ,; б),.1.112. а)  ,; б),.1.113. а) ; б).1.114. а) ; б).1.115. а) ; б) .1.116. а) ,; б).1.117. а) ,; б) .1.119. .1.120. .1.121. 0. 1.122. Нет. Пример: ,.