- •III. Ряды
- •1.2. Ряды с неотрицательными членами
- •Найти все значения , при которых сходится ряд :
- •Исследовать на сходимость ряд с помощью признака Даламбера:
- •Исследовать на сходимость ряд с помощью признака Коши:
- •1.3. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость
- •§ 2. Функциональные ряды
- •2.1. Признаки сходимости функциональных рядов
- •Свойства функциональных рядов
- •2.2. Степенные ряды
- •Ряды Тейлора и Маклорена
- •Разложение основных элементарных функций в ряд Маклорена
- •§ 3. Тригонометрические ряды Фурье
§ 3. Тригонометрические ряды Фурье
Если функция кусочно-непрерывна и имеет кусочно-непрерывную производнуюв интервале, причем все точки разрыварегулярны (т. е.), то функцияна этом интервале может быть представленарядом Фурье
,
где ;.
В частности:
а) если функция четная, то имеем
,
где ;
б) если функция нечетная, то получаем
,
где .
Функцию , определенную в интервалеи обладающую в нем приведенными выше свойствами четности, можно в этом интервале разложить в ряд Фурье только по синусам или только по косинусам.
Дифференцирование рядов Фурье. Если функция непрерывна, а её производная кусочно-непрерывна на отрезкеи, то ряд Фурье дляполучается из ряда Фурье дляпочленным дифференцированием.
Интегрирование рядов Фурье. Ряд Фурье, даже расходящийся, интегрируемой по Риману в интервале функцииможно интегрировать почленно в этом интервале.
Разложение в ряд Фурье функций, зависящих от и, удается иногда получить с помощью формул Эйлера:
; ;.
Для этого следует подставить в формулу, задающую рассматриваемую функцию, выражения для косинуса и синуса и получившуюся функцию от разложить в ряд по степеням, а затем вернуться к переменнойс помощью формулы
.
В результате получится искомое разложение заданной функции в ряд Фурье.
Пример 3.1. Разложить в ряд Фурье функцию
.
Решение. Воспользуемся формулами Эйлера. Подставим выражения для синуса и косинуса в функцию и представим получившуюся рациональную функцию параметра в виде суммы двух дробей следующим образом:
.
Поскольку ,, то дробииможно разложить в степенные ряды. (Эти дроби представляют собой суммы бесконечно убывающих геометрических прогрессий.) В результате получим ряд Фурье функциив комплексной форме:
.
Заметив, что , получим.
Пример 3.2. Разложить в ряд Фурье неограниченную периодическую функцию .
Решение. Применим для разложения метод, основанный на применении формул Эйлера. Положив ,(следовательно,), будем иметь
.
Заметив, что ,и, получим, разложив в степенной ряд логарифм,
.
В результате будем иметь
.
Поскольку в левой части этого равенства стоит действительное число, мнимая часть его правой части равна нулю:
.
Следовательно,
, .
Попутно получилось разложение в ряд Фурье функции :
.
Пример 3.3. Найти сумму ряда .
Решение. Ряд сходится при. Рассмотрим ряд, сходящийся при любом. Обозначими. Тогда
, .
Преобразуем выражение, стоящее под знаком логарифма:
.
Таким образом,
.
Откуда сразу находится сумма ряда:
, .
Заодно мы доказали, что
, .
Разложить в ряд Фурье функцию , указать промежутки, в которых сумма ряда Фурье равна функции, и найти сумму ряда в указанной точке:
3.1. . |
|
3.2. . |
|
3.3. . |
|
3.4. . |
|
Разложить в ряд Фурье функцию , и, пользуясь полученным разложением, найти сумму ряда Лейбница.
Разложить в ряд Фурье функцию на указанном промежутке, считая длину промежутка периодом:
3.6. на интервале. |
|
3.7. на интервале. |
|
3.8. на интервале. |
|
3.9. на отрезке. |
|
3.10. ,на отрезке. Доказать с помощью получившегося разложения, что.
3.11. Разложить в ряд Фурье функцию
периодически продолженную на всю числовую ось с периодом 3. Нарисовать график суммы ряда.
Разложить в ряд Фурье периодическую функцию:
3.12. . |
3.13. . |
3.14. . |
3.15. . |
3.16. . |
|
3.17. Разложить в ряд Фурье на интервале по синусам функцию:
3.18. Разложить функцию в ряд Фурье:
а) на отрезке по косинусам;
б) на интервале по синусам;
в) на интервале по синусам и косинусам.
Пользуясь этими разложениями, найти суммы рядов:
, ,.
3.19. Разложить в ряд Фурье по синусам функцию
Пользуясь формулами Эйлера, разложить в ряд Фурье функцию:
3.20. . |
|
3.21. . |
|
3.22. . |
|
3.23. Исходя из разложения
,
почленным интегрированием получить разложение в ряд Фурье на интервале функцийи.
Разложить в ряд Фурье неограниченные периодические функции:
3.24. . |
3.25. . |
3.26. . |
|
Найти сумму ряда:
3.27. . |
3.28. . |
3.29. . |
3.30. . |
Ответы: 3.1. ; 0.3.2. ,;.3.3. ,;.3.4. ,;.3.5. ;.3.6. .3.7. .3.8. .3.9. .3.10. .3.11. .
3.12. .3.13. .3.14. .3.15. .3.16. .3.17. .3.18. .
3.19. .3.20. ,.
3.21. .3.22. .3.23. ;.3.24. ,,.3.25. .3.26. ,
, .3.27. .3.28. .
3.29. .3.30. .