Laboratorny_praktikum_EPiV

где e = 1,6·10-19 Кл − заряд электрона; me = 9,11·10-31 кг − масса электрона. Если магнитный момент m поместить в магнитное поле H0 , то на него

будет действовать пара сил, т. е. вращательный момент T , который стремится повернуть момент электрона m параллельно полю H0 :

		,	(5.9)
T	= μ0 m, H0

где μ0 = 4p ×10−7 − магнитная постоянная.

Наличие механического спинового момента делает электрон подобным

гироскопу, ось которого под влиянием действующего на него момента T прецессирует (рис. 5.6).

С учетом (5.8) подставим значение T из (5.9) в уравнение (5.7), – получим уравнение движения магнитного момента:

				e
		dm	= −μ0
					m, H	0 .			(5.10)
		dt		m
				e
	Если в единице объема V вещества находится N нескомпенсированных
								1
	магнитных моментов, то можно вести вектор намагниченности						M =		∑m –
								V
									N

магнитный момент в единице объема. Тогда из выражения (5.10) получим уравнение для неограниченной однородной среды:

dM

e

= -m

M , H

.

(5.11)

dt

0 m

0

e

Обозначим g = -m0

e

= 7p ×10

4

м

,

,

где γ −

гиромагнитное отно-

А × с

me

шение. С учетом введенного обозначения перепишем (5.10):

dM

(5.12)

dt

= -g M

, H0 .

Это уравнение носит название уравнения движения намагниченности Ландау – Лифшица.

Намагниченность M по смыслу является объемной плотностью нескомпенсированных магнитных моментов и определяется свойствами конкретной марки феррита.

Векторное уравнение (5.12) эквивалентно трем скалярным уравнениям в декартовой системе координат:

51

	dM x			+ γH M = 0,
	dt
					0 y
dM y				− γH0 M x = 0,		(5.13)
	dt
	dM z		= 0.
	dt

Здесь учтено, что в соответствии с рис. 5.6 поле H0 направлено вдоль

оси OZ, т. е. H = z0 H0 .

Решив совместно первые два уравнения из (5.13), получим:

M x		= M cos ω0t,	(5.14)
M	y	= M sin ω t.
		0

где ω0 = γН0 − частота свободной прецессии магнитного момента, гиромаг-

нитная частота или частота ферромагнитного резонанса. Из (5.14) видно, что конец вектора M описывает окружность, вращаясь против часовой стрелки, если смотреть с конца вектора H0 (правое вращение). При этом частота свободной прецессии определяется только величиной напряженности внешнего магнитного поля H0 . В реальных ферромагнетиках из-за наличия потерь (магнитное трение) конец вектора M движется по скручивающейся спирали и через время порядка 10-8 с вектор M устанавливается параллельно вектору H0 .

Из выражения ω0 = γH0 следует, что чем больше напряженность внешнего поля H0 , тем выше частота прецессии. При реально достижимых полях частота ω0 расположена в диапазоне сверхвысоких частот. Из выражения для ω0 можно сделать неправильный вывод о том, что резонансная частота может быть сделана сколь угодно малой при уменьшении статического поля H0 . На самом деле это не так, поскольку при малых полях H0 в ферромагнетике на-

блюдаются другие явления, определяющиеся внутренними полями ферромагнетика, рассмотрение которых выходит за рамки настоящей работы.

Электромагнитные волны в феррите. Тензор магнитной проницаемости

Предположим, что в намагниченном феррите распространяется электромагнитная волна с несовпадающим по направлению с вектором напряженно-

сти магнитного поля Hɺ = Hɺme jωt . Тогда уравнение движения намагниченности (5.12) примет вид:

52

								ɺ	ɺ
					dMɺ
							= −γ M , H∑ ,			(5.15)
						dt
где	Hɺ	∑ = H0	+ Hɺme jωt .
		Поскольку вектор
				Hɺ изменяется по гармоническому закону, то ориента-
ция результирующего вектора						Hɺ∑		будет меняться с частотой ω . Это вызовет

так называемую вынужденную прецессию вектора намагниченности, которая будет незатухающей, ибо нет определенного направления, параллельно которому могли бы установиться магнитные моменты.

Если частота электромагнитного поля равна частоте ферромагнитного резонанса, то энергия поля будет тратиться на поддержание прецессии. В этом случае будет наблюдаться резкое увеличение потерь – резонансное по-

глощение.

Если считать, что феррит намагничен до насыщения, т. е. все элементарные магнитные моменты ориентированы по постоянному полю H0 (в отсутст-

вие переменного поля Hɺ ), то намагниченность равна намагниченности насыщения M 0 . Суммарная намагниченность равна:

MɺΣ = z0 M 0

+ M me jωt .

Рассмотрим случай малого сигнала, т. е. Hm H0 , Mm M0 . Подставив

в (5.15) Hɺ

∑ и Mɺ∑ ,

получим:

ɺ

jωt

= −γ

ɺ

ɺ

(5.16)

jωM me

M ∑

, H∑ .

Далее, преобразуем векторное произведение в правой части с учетом ма-

лости сигнала ( Hm H0 , M m M 0 ):

=

z

e jωt

, z H

e jωt

+

Mɺ

Σ

, Hɺ

, Hɺ M

+ Mɺ

Σ

0

m

0

m

0

0

(5.17)

M

e jωt

, z H

+ Mɺ

, Hɺ

e2 jωt ≈ z , Hɺ

+ Mɺ

e jωt

m

m

0

m

0

m

0

0

С учетом приближенного равенства (5.17) уравнение (5.16) примет вид:

= −γM 0

jωMɺ

z0 , Hɺm

+ γH0 z0 , Mɺ m .

(5.18)

53

Разложим Hɺm и Mɺm по декартовым осям:

Hɺm = x0 Hɺmx + y0 Hɺmy + z0 Hɺmz ,

Mɺm = x0 Mɺmx + y0 Mɺmy + z0 Mɺmz .

Тогда уравнение (5.18) можно записать в следующих проекциях:

jωMɺmx = ωM Hɺmy − ω0 Mɺmy ,
	= −ωM Hɺmx + ω0 Mɺmx ,	(5.19)
jωMɺmy
	= 0,
jωMɺmz
где ω0 = γH0 − частота ферромагнитного резонанса; ωM = γM 0 −		параметр,

имеющий размерность частоты, определяемый свойствами феррита. Решение системы (5.19) для компонент вектора намагниченности дает:

= −

ω ω

M

− j

ωω

Mɺmx

0

Hɺmx

M

Hɺmy

,

2

2

2

2

ω − ω0

ω − ω0

= j

ωω

−

ω ω

M

Hɺmy ,

(5.20)

Mɺmy

M

Hɺmx

0

ω2

− ω02

ω2

− ω02

Mɺ

= 0.

mz

Комплексная амплитуда вектора магнитной индукции определяется известным равенством:

	= μ					) .	(5.21)
Bɺ			0	(Hɺ	+ Mɺ
m				m	m
Проецируя уравнение (5.21) на декартовы оси и подставляя соответст-
вующие значения Mɺmx , Mɺmy и Mɺmz		из системы (5.20), получаем:

54

Bɺmx

Bɺmy

Bɺmz

= μ0			−	ω ω		M
	1			0			Hɺmx
				2		2
				ω − ω0
			ωωM			ɺ
= jμ0						Hmx + μ0
		ω2 − ω2
				0

= μ0 Hɺmz .

− jμ0			ωωM				ɺ	,
							Hmy
			ω2 − ω2
					0
	−	ω ω		M
1		0			Hɺmy , .
		2		2
		ω − ω0

Запишем полученную систему (5.22) в матричном виде:

Bɺm = μa Hɺm .

Здесь Bɺm и Hɺm − векторы-столбцы:

x

B

x

H

mx

0

mx

0

= y

B

= y

H

Bɺ

,

Hɺ

0

,

m

0

my

m

my

z0 Bmz

z0 Hmz

а μa представляет собой матрицу:

								μa			− jκ					0
		μ					=	jκ				μ				0			,
			a										a		μ
								0			0
																0
где
												ω ω
μa							= μ0 1			−			0 M					,
													2			2
												ω − ω							,
																0
κ = μ									ωωM
									2		2
								0	ω − ω0 .

(5.22)

(5.23)

(5.24)

(5.25)

Матрица μa называется тензором абсолютной магнитной проницае-

мости феррита.

Обратим внимание на то, что в анизотропной гиромагнитной среде векторы B и H не параллельны в пространстве. Это следует из системы (5.22).

55

Предположим, что в намагниченном до насыщения феррите распространяется электромагнитная волна, вектор H которой поляризован по кругу в плоскости, перпендикулярной вектору H0 , т. е. в плоскости XОY (рис. 5.7).

z

H0

H∑ Н0

МΣ

+	y
0 H y

H x+

x H +

Рис. 5.7. Прецессия вектора намагниченности в присутствии высокочастотного магнитного поля.

ɺ

+

вектор, вращающийся по часовой стрелке, если

Обозначим через H

смотреть вдоль направления вектора H0 :

= (x

− jy

)Hɺ

.

(5.26)

Hɺ +

m

0

0

m

Тогда вектор с противоположным направлением вращения будет равен:

= (x

+ jy

)Hɺ

.

(5.27)

Hɺ −

m

0

0

m

Подставим в систему (5.20) вместо Hɺmx и Hɺmy

их значения из уравнения

(5.26):

ω

M

Mɺmx+ = −

Hɺm ,

ω − ω0

ωM

(5.28)

ɺ

+

= j

ɺ

M

H .

my

ω − ω0

m

56

Таким образом, получим:

ɺ +

ω

M

M m = −(x0 − jy0 )

ɺ

ω − ω

Hm .

(5.29)

0

Тогда магнитная индукция в соответствии с (5.21) будет равна:

ωM

Bɺ+

= m (1 -

)Hɺ + .

(5.30)

w - w0

m

0

m

Отсюда видно, что вектор

ɺ+

также поляризован по кругу и вращается в

B

ɺ

m

ту же сторону, что и вектор

+

. Естественно считать коэффициентом пропор-

H

m

+

ɺ+

ɺ

и

в выражении (5.30) магнитную проницаемость

циональности между H

m

B

m

для волны с правым вращением:

ma+ = m0

(1 -

ωM

) .

(5.31)

w - w0

Аналогично получим выражения для волны с левым вращением:

ɺ −

ω

M

−

M m = (x0 + jy0 )

ɺ

,

w + w

H m

0

wM

Bɺ− = m (1 +

)Hɺ − ,

(5.32)

m

0

w + w0

m

ma− = m0 (1 +

wM

).

w + w0

Видно, что в намагниченном феррите m+a ¹ m−a . Проницаемости m+a и m−a можно выразить через элементы тензора магнитной проницаемости (5.24):

ma+ = ma	- k,
ma− = ma	(5.33)
	+ k.

Как было показано, направление свободной прецессии совпадает с на-

правлением вращения волны Hɺ + . Следовательно, для поддержания свободной прецессии в феррите должна распространяться электромагнитная волна с частотой ω = ω0 = γH0 и правым направлением вращения плоскости поляризации.

При этом волна Hɺ + испытывает наибольшее поглощение.

57

M+, Потери

M+

Потери

H0

Hрез

Рис. 5.8. Зависимости намагниченности для правого вращения и потерь в феррите от величины поля подмагничивания вблизи его резонансного значения.

Поскольку частота ферромагнитного резонанса ω0 пропорциональна величине подмагничивающего поля H0 , то поведение параметров феррита мож-

но выразить через эту величину (рис. 5.8). Напротив, волна H − проходит через феррит с малыми потерями.

μ+	μ−
а	а
μ0	μ0

	−	μа+
	μа	μ0
	μ0

1

Н0

0

Нрез

Рис. 5.9. Зависимость относительных магнитных проницаемостей для электромагнитных волн с правым и левым вращением от поля подмагничивания.

58

∂y

На рис. 5.9 показана зависимость проницаемостей μ+a и μ−a от величины постоянного поля H0 . Значение поля Hрез соответствует гиромагнитному резонансу, т. е. случаю, когда ω = ω0 .

Рассмотрим, как будут записываться уравнения Максвелла в намагниченном феррите. Исходим из обычной записи для монохроматического поля в среде без потерь:

	= jωε
rot Hɺ		Eɺ
	a		(5.34)
rot Eɺ	= − jωBɺ

Координатные значения компонент вектора H следует выбирать из системы (5.22). В этом случае получим:

∂Eɺ∂yz

∂Eɺ∂zx

∂Eɺy∂x

∂Hɺ∂yz

∂Hɺ∂zx

∂Hɺy∂x

−∂Eɺy ∂z

−∂Eɺz ∂x

−∂Eɺx

−	∂Hɺy				= jωεa Eɺx ,
		∂z
−		∂Hɺz			= jωεa Eɺy ,
		∂x
−		∂Hɺx			= jωεa Eɺz ,
		∂y

=− jω(μa Hɺx − jκHɺy ),

=− jω( jκHɺx + μa Hɺy ),

=− jωμ0 Hɺz .

(5.35)

(5.36)

Невзаимные явления в поперечно-намагниченном феррите

Подавляющее большинство вентилей СВЧ строятся на поперечнонамагниченных ферритах, поэтому их и будем рассматривать.

Гиромагнитный резонанс. Как следует из рис. 5.8, волна H + с положительным относительно H 0 вращением плоскости поляризации вектора H на частоте ω = ω0 интенсивно поглощается. Волна с противоположным вращени-

59

ем H − проходит через феррит почти без затухания. Это свойство ферритов может быть использовано в невзаимных устройствах – вентилях.

E

a

H

n

Рис. 5.10. Магнитное поле волны H10 в прямоугольном волноводе.

На рис. 5.10 показано магнитное поле волны H10 в прямоугольном волноводе. На расстоянии от боковых стенок, равном примерно a4 , вектор H

поляризован по кругу, причем направления вращения слева и справа от продольной плоскости симметрии волновода будут противоположными. Если поместить на этом расстоянии, т.е. в область круговой поляризации магнитного

поля, ферритовую пластину, подмагниченную полем H 0 (рис. 5.11), то коэф-

фициенты затухания для волн, распространяющихся в разных направлениях, на резонансной частоте ω = ω0 будут различными.

При отстройке от гиромагнитной частоты ω0 затухание волны H +

уменьшается в соответствии с ходом резонансной кривой, который определяется добротностью феррита.

H0

b

a / 4

a

Рис. 5.11. Намагниченная ферритовая пластина в прямоугольном волноводе.

60