TENZORY / 3.Векторное поле

Таким образом, поток через S равен сумме потоков координат вектора P через соответствующие проекции поверхности S на координатные плоскости. При этом, разумеется, требуется взаимнооднозначность проектирований поверхности S на координатные плоскости.

Задача 3.4. Найти поток вектор-функции P = xy2i + yz2 j + x2zk через часть параболоида вращения z = x2 + y2, вырезанную цилиндром x2 + y2 = 4, принимая в качестве направления нормали то, при котором нормальный вектор образует с осью Oz острый угол.

Решение. Как известно, если поверхность задана уравнением z = '(x; y), то единичный нормальный вектор находится по форму-

ле

'x0 (x; y)i 'y0 (x; y)j + k

n =

:

q

1 + 'x02 + 'y02

В нашем случае

2xi 2yj + k

n =

:

Следовательно,

p1 + 4x2 + 4y2

=

(P

n)dS =

2x2y2 y2z + x2z

dS:

ZZ

ZZ

1 + 4x2

+ 4y2

S

S

p

3.6Формула Остроградского–Гаусса

Поток через замкнутую поверхность S может быть вычислен с помощью некоторого тройного интеграла, взятого по области V , ограниченной поверхностью S.

Теорема. Если функции P (x; y; z), Q(x; y; z), R(x; y; z) непрерывны вместе со своими частными производными первого порядка в ограниченной замкнутой области, имеющей объём V , то имеет

11

место формула	ZZZ	@x		+ @y			+ @z dV;
ZZ [P cos + Q cos + R cos ] dS =
		@P			@Q			@R
S	V

(17)

где S граница области V , причём поток берётся по внешней стороне этой поверхности (т.е. единичный нормальный вектор n = i cos + j cos + k cos направлен вне объёма V ).

3.7Векторная запись формулы Остроградского–Гаусса. Дивиргенция

Левая часть формулы Остроградского–Гаусса есть поток вектора G

через замкнутую поверхность S, ограничивающую объём V . С другой стороны, поток вектора, имея физический смысл, определён независимо ни от какой системы координат (15). Значит и правая часть формулы (17) не зависит от системы координат. Позднее мы покажем с позиций тензорного исчисления, что подинтегральная функция в правой части формулы (17) тоже не зависит от системы координат. Эта функция называется дивиргенцией поля G и обозначается

	div G =	@Gx	+	@Gy			+		@Gz	:	(18)
		@x		@y					@z
	Из формулы Остроградского–Гаусса следует
	div G = lim							:
					V
			V !0

Теперь формулу Остроградского–Гаусса можно записать в век-

торной форме:
ZZ (G n) dS = ZZZ divG dV:							(19)
S			V
Используя формальный вектор
r = i	@	+ j	@	+ k	@
	@x		@y		@z

12

дивиргенцию можно представить в виде скалярного произведения:

div G = r G:

(20)

Выясним физический смысл формулы (19). Будем рассматривать векторное поле как поле скоростей v движущейся жидкости, считая её плотность = 1. Возьмём область V , ограниченную замкнутой

поверхностью S. Для этого случая формула (19) запишется так:

	ZZ	(v n) dS = ZZZ div v dV:		(21)
	S		V
Как мы знаем, поток		S	(v n) dS определяет количество жидко-
сти, протекающей	через поверхность S в единицу времени. Точ-
		RR

нее говоря, поток даёт алгебраическую сумму количеств вытекающей и втекающей через замкнутую поверхность S жидкости. Если

RR

(v n) dS > 0, то из области V вытекает жидкости больше, чем

S

втекает.

Предположим, что в некоторой точке M дивиргенция скорости положительна: div v > 0. В силу непрерывности частных производных она является положительной и в точках достаточно малого шара V , ограниченного сферой S с центром в точке M. Тогда из области V через её границу S жидкости вытекает больше, чем втекает. По этой причине точку M называют источником. В противоположном случае точку называют стоком.

3.8Свойства дивиргенции вектора

Свойство 1.

div c = 0;

где c постоянный вектор.

Свойство 2.

div F = div F;

13

где постоянное число.

Свойство 3.
div (F + G) = div F + div G:
Свойство 4.
div (fG) = f div G + (grad f) F;				(22)
где f некоторая дифференцируемая скалярная функция.
Свойство 5.
	f0	(r)		(23)
div (f(r)c) =			(r c);
		r

где c постоянный вектор, r радиус-вектор.

Доказательство. Полагая в формуле (22) f = f(r); G = c;

получим

div ff(r)cg = f(r)div c + grad f(r)c:

Так как

div c = 0 и grad f(r) = f0r(r)r;

то

div ff(r)cg = f0r(r)(r c):

Полагая в (23) f(r) = rn, получим

div (rnc) = nrn 2(r c):

2

Свойство 6.

div (f(r)r) = 3f(r) + rf0(r):

Доказательство. Упражняйтесь. 2

7.div (c r)r = 4(c r).

8.div ((r a)b) = a b.

	@2f		@2f		@2f
9. div (grad f) =		+		+			.
	@x2		@y2			@z2

14

3.9Формула Стокса. Ротор. Циркуляция

Формула Стокса является обобщением формулы ОстроградскогоГрина и позволяет свести вычисление криволинейного интеграла по замкнутому контуру L к вычислению потока через поверхность S, ограниченную этим контуром.

Теорема. Если функции P (x; y; z), Q(x; y; z), R(x; y; z) и их частные производные первого порядка непрерывны на поверхности S, ограниченной замкнутым контуром L, то имеет место формула

I

P dx + Q dy + R dz =

= ZZ	@y		@z		L	@z		@x cos +	@x		@y cos dS;
					cos +
		@R		@Q			@P	@R		@Q	@P

S

(24)

называемая формулой Стокса.

Если при этом сторона поверхности выбрана (т.е. выбрано направление единичного нормального вектора), то направление обхода контура L выбирается положительным, т.е. таким, что наблюдатель, идущий вдоль контура по выбранной стороне поверхности S, перемещается так, что поверхность остаётся с левой стороны от на-

блюдателя (рис. 7).

Доказательство этой теоремы мы не приводим.

Пусть дано векторное поле P = Px(x; y; z)i+Py(x; y; z)j+Pz(x; y; z)k

с непрерывно дифференцируемыми компонентами. Вектор

rot P =	@yz			@zy i +	@zx		@xz j +	@xy		@yx k (25)
		@P		@P	@P		@P	@P		@P

15

называется ротором (вихрем) векторного поля P. Его удобно запи-

сывать в виде символического детерминанта
		@i		j		k
			@		@
rot P =								(26)
		@x	@y			@z
	Px			Py		Pz
или векторного произведения
rot P = r P:								(27)

Выясним механический смысл ротора. Рассмотрим вращение твёр-

дого тела вокруг оси, проходящей через точку O с угловой скоро-

стью ! = i + j + k. Скорость произвольной точки M(r) тела

равна

	i	j	k
		y
v = [!; r] =	x		z	= ( z		y)i + ( x		z)j + ( y		x)k:

Тогда

		@i	@		@
rot v =				j		k		= 2 i + 2 j + 2 k;
	z	@x	y x	@y	z y		x
					@z

т.е. ротор скорости v равен удвоенной угловой скорости твёрдого

тела

rot v = 2!:

Используя понятия циркуляции и ротора формулу Стокса можно

записать в виде

I	ZZ	(28)
P dr =	(rot P n)dS;

LS

16

т.е. циркуляция векторного поля P по ориентированному контуру L равна потоку вихря этого поля через ориентированную поверхность S, ограниченную контуром L (при этом направление обхода контура и ориентация поверхности согласованы по правилу правого винта (для правой системы координат)).

Пример. Найти циркуляцию векторного поля P = yi + zj + xk

по окружности L:

(	x + y + z	=	0
x2	+ y2 + z2	= R2;

с заданным направлением движения против хода часовой стрелки, если смотреть с положительной стороны оси Ox (рис. 8).

Применим формулу Стокса (28). Поверхность S есть круг на плоскости x + y + z = 0, единичный вектор нормали к S есть

n = 1 (1; 1; 1). Вначале найдём

p

3

		i		j		k
rot P =		@	@		@			= i j k = ( 1; 1; 1):
		@x		@y	@z
		y		z		x

Далее										p
1		1					1
(rot P; n) = p		p					p			= 3;
	3				3			3
ZZ (rot P n)dS = p				ZZ dS = R2p										:
			3										3
S					S

17

Пример. Найти rot F(r), где r = jrj, r радиус-вектор точ-

ки (x; y; z).

Воспользуемся формулой (25). Так как r = (x2 + y2 + z2)1=2 и,

например,

@Fz(r)

dFz(r) @r

dFz(r)

y

=

=

;

dr

@y

@y

dr

r

то

r i +

dr r j+

rot F(r) =

dr r

dr

dr

r

dFz(r) y

dFy(r) z

dFz(r) x

dFx(r) z

+

dr

r

dr

r

k =

dFy(r) x dFx(r) y

= 1

x

y

k

= 1 r

dF(r) :

i

j

k

r

r

dFx(r) dFy(r) dFz(r)

dr

dr

dr

dr

Нетрудно проверить

следующие свойства

ротора.

1.rot c = 0, где c постоянный вектор.

2.rot (cP) = c rot P, где c постоянное число.

3.rot (P + G) = rot P + rot G.

4.rot (fP) = f rot P + grad f P, где f скалярная дифференцируемая функция.

5.rot (c r) = 2c, где c постоянный вектор, r радиус-вектор.

6.div (P G) = G rot P P rot G.

7.rot(grad f) = 0.

Теорема. Пусть дано векторное поле P = Pxi + Pyj + Pzk с

непрерывно дифференцируемыми компонентами; M0 точка, n0

единичный вектор; плоскость, перпендикулярная вектору n0 и проходящая через M0; K" круг в плоскости радиуса " с центром в точке M0, " граница круга K". Пусть окружность " (рис. 9) ориентирована по отношению к вектору n0 по

18

правилу правого винта (для правой системы координат). Тогда в точке M0

rot P n		= "!+0	H	"	dr		(29)
	0	lim		" P		;

где " площадь круга K".

По формуле (29) выражаются проекции rot P на любые попарно ортогональные единичные векторы. Этими проекциями rot P определяется однозначно.

Величины, входящие в правую часть равенства (29), не зависят от выбора системы координат одной и той же ориентации. Однако при замене правой системы координат на левую и неизменном векторе n0

направление обхода окружности " изменяется на противоположное, что влечёт изменение знака в правой части (29), а значит изменение знака в левой части у rot P.

Таким образом, rot P инвариантен относительно преобразований прямоугольных координат, сохраняющих их ориентацию; rot P

аксиальный, или осевой вектор (таким называют вектор в ориентированном пространстве, который при изменении ориентации пространства преобразуется в противоположный вектор).

3.10Независимость криволинейного интеграла от пути интегрирования

Рассмотрим вопрос о независимости криволинейного интеграла

ZZ

P dl =	Px dx + Fy dy + Pz dz	(30)
L	L

от пути интегрирования. Легко доказать

Теорема. Для того чтобы криволинейный интеграл (30) в некоторой области V не зависел от пути интегрирования, необходимо

19

и достаточно, чтобы интеграл по любому замкнутому контуру, лежащему в этой области, был равен нулю.

Область V пространства называется односвязной, если для любого замкнутого контура L, лежащего в этой области, существует поверхность, лежащая в этой области, для которой контур L является границей. В этом случае говорят, что на контур L можно натянуть поверхность S, целиком принадлежащую области V . Односвязными областями, например, являются куб, шар, всё пространство. Примером неодносязной области может служить всё пространство, из которого исключены все точки некоторой прямой. Неодносвязной областью является также внутренность тора (рис. ).

Теорема. Для того чтобы криволинейный интеграл (30) в односвязной области V не зависел от пути интегрирования, необходимо и достаточно, чтобы всюду в этой области rot P = 0.

Доказательство достаточности немедленно вытекает из формулы Стокса.

3.11Отыскание первообразной по полному дифференциалу

Пусть дано дифференциальное выражение Px dx+Py dy+Pz dz, причём функции Px, Py , Pz непрерывны вместе со своими частными производными первого порядка в некоторой односвязной области V .

Теорема. Для того чтобы дифференциальное выражение Px dx+

Py dy + Pz dz в односвязной области V было полным дифференциалом некоторой функции U = U(x; y; z), необходимо и достаточно, чтобы в этой области выполнялись условия

@P@yz = @P@zy ; @P@zx = @P@xz ; @P@xy = @P@yx :

В этом случае, как следует из предыдущей теоремы, криволинейный интеграл (30) не зависит от пути интегрирования. Выражение

20