TENZORY / 3.Векторное поле

Лекция 3

Векторное поле. Векторные линии. Производная вектора по направлению. Задача о потоке жидкости. Поток. Формула ОстроградскогоГаусса. Векторная запись формулы Остроградского-Гаусса. Дивиргенция. Свойства дивиргенции вектора. Векторные трубки. Формула Стокса. Ротор. Циркуляция. Различные способы вычисления потока.

3.1Векторное поле. Векторные линии

Говорят, что в области задано векторное поле, если каждой точке M из поставлен в соответствие некоторый вектор F = F(M).

Мы будем рассматривать стационарные векторные поля, в которых вектор F(M) зависит только от точки M и не зависит от времени.

Поле силы тяготения, поле скорости частиц текущей жидкости, поле электрической и магнитной индукции примеры векторных полей.

В прямоугольной системе координат Oxyz вектор F(M) запишется в виде

F(M) = Fx(x; y; z)i + Fy(x; y; z)j + Fz(x; y; z)k:

Далее всюду предполагается непрерывность функций Fx, Fy, Fz вместе со своими частными производными.

Векторной линией векторного поля называется такая линия, в каждой точке которой вектор поля направлен по касательной к этой линии.

Векторными линиями поля скоростей жидкости являются траектории, по которым движутся частицы жидкости. В электростатическом поле векторными линиями служат силовые линии поля.

1

Решение. Дифференциальное уравнение (1) примет вид: ddtr = f(M)r:

2

коллинеарны, т.е.

Пусть в данном векторном поле дана замкнутая кривая L, через каждую точку которой проходит векторная линия. Множество всех векторных линий, проходящих через кривую L, образует поверхность, называемую векторной трубкой.

Рассмотрим векторное поле F(r). Радиус-вектор r его векторной линии будем искать как функцию некоторого числового параметра t: r = r(t). Из лекции 1 известно, что drdt(t) есть вектор, направленный по касательной к годографу вектор-функции r(t) в сторону, соответствующую возрастанию аргумента t. Так как в данном случае годограф вектор-функции r(t) есть сама векторная линия векторного поля F(r), то, согласно определению векторной линии, заключаем,

что векторы F(r) и dr(t) dt

	dr(t)	= F(r);	(1)
	dt

где скалярный множитель, который может быть произвольной функцией точки.

Уравнение (1) есть векторное дифференциальное уравнение векторной линии векторного поля F(r).

Задача 3.1. Определить векторные линии векторного поля F(r) = f(M)r, где r радиус-вектор точки M (рис. 1).

Пользуясь произволом выбора , полагаем

= f(1M):

Тогда

ddtr = r:

Умножая обе части на et, получим:

et ddtr + etr = 0

или

dtd (etr) = 0:

Отсюда

r = ce t;

где c произвольный постоянный вектор.

Найденное уравнение выражает в векторной форме уравнение векторной линии векторного поля F(r). Оно определяет прямые, выходящие из полюса (рис. 2). 2

В декартовой системе координат уравнение (1) примет вид

dx

= Fx(x; y; z);

dy

= Fy(x; y; z);

dz

= Fz(x; y; z)

(2)

dt

dt

dt

или

dx

dy

dz

=

=

:

(3)

Fx(x; y; z)

Fy(x; y; z)

Fz(x; y; z)

3

Пользуясь произволом выбора , систему (2) можно записать в виде:

dx

= Fx(x; y; z);

dy

= Fy(x; y; z);

dz

= Fz(x; y; z)

(4)

dt

dt

dt

или

dy

Fy(x; y; z)

dz

Fz(x; y; z)

=

;

=

:

(5)

dx

Fx(x; y; z)

dx

Fx(x; y; z)

Общее решение системы (5)

y = g1(x; C1; C2); z = g2(x; C1; C2)

даёт векторные линии как линии пересечения цилиндрических поверхностей.

Задача 3.2. Найти векторные линии плоского поля

(x; y) = (x y)i + (x + y)j:

Решение. Система (5)примет вид

dxdy = xx + yy:

Это однородное дифференциальное уравнение 1-го порядка. Применяя подстановку y = xz, где z новая искомая функция от x, найдём

			= C exp arctan	y	:
	px2 + y2
				x

Полученное уравнение векторной линии удобнее записать в полярных координатах:

= Ce':

Это есть уравнение логарифмической спирали (рис. 3).

4

Задача 3.3. Найти векторные линии поля F = xi yj 2zk.

Решение. Уравнения (3) примут вид

dx

dy

dz

=

=

или

x

y

2z

dx

=

dy

;

dy

=

dz

:

x

y

y

2z

Интегрируя полученную систему, найдём xy = C1; y2 = C2z:

Следовательно, векторные линии векторного поля u есть линии, получающиеся при пересечении гиперболических цилиндров xy = C1

с параболическими цилиндрами y2 = C2z.

3.2Производная вектора по направлению

Рассмотрим векторное поле

F(M) = Fx(x; y; z)i + Fy(x; y; z)j + Fz(x; y; z)k

и луч l	8 y			=	y0	+ t cos		;	(6)
	>	x		=	x0	+ t cos
	< z			=	z0 + t cos ;			t > 0
	:
выходящий из	точки M			(x	; y	; z	) в направлении единичного векто-
	>		0	0	0	0
ра
	l0 = i cos + j cos + k cos :								(7)

Будем считать, что скалярные функции Fx(x; y; z), Fy(x; y; z),

Fz(x; y; z) дифференцируемы.

Пусть M1(x0 + t cos ; y0 + t cos ; z0 + t cos ) другая точка этого луча и lF = F(M1) F(M0) приращение функции F(M)

направлении l. Легко проверить

l = jM0M1j = t:

5

Устремим точку M1 по лучу l к точке M0.

Производной функции F = F(x; y; z) в точке M0 по направле-

нию l называется предел lim lF, если он существует.

l!0 l

Производная функции F по направлению l обозначается символом @@lF. Таким образом,

@F = lim lF

@l l!0 l

и производная функции F по направлению l есть скорость (как вектор!) изменения функции F по направлению l.

Так как

lF = lFxi + lFyj + lFzk;

то

@F

@Fx

@Fy

@Fz

=

i +

j +

k:

@l

@l

@l

@l

Но здесь

@Fx

,

@Fy

,

@Fz

есть производные по направлению скаляр-

@l

@l

@l

ных полей. Поэтому

@yx cos + @zx cos i +

@l

=

@xx cos +

@F

@F

@F

@F

+

@xy

cos +

@yy

cos + @zy

cos j +

(8)

@F

@F

@F

+

@xz

cos +

@yz

cos + @zz

cos k

@F

@F

@F

или

@l

=

@xx i +

@xy j +

@xz k cos +

@F

@F

@F

@F

+

@yx i +

@yy j +

@yz k cos +

@F

@F

@F

+

@zx i +

@zy j +

@zz k cos =

@F

@F

@F

=

@F

cos +

@F

cos +

@F

cos :

(9)

@x

@y

@z

6

f(Mi) Si:

3.3Интеграл по площади поверхности

Пусть на поверхности S : z = '(x; y), ограниченной замкнутой кривой L, задана функция f(M) = f(x; y; z).

ZZ

X

f(x; y; z)dS = lim

S

Пусть xy проекция поверхности S на плоскость Oxy.

Лемма.

= ah

0 = ah0

h0	= h cos(n; n0)
0	= cos(n; n0)
	1		0
=
		cos(n; n0)
Формулу 0 = cos(n; n0) перепишем в виде
			cos(n; n0)d = d 0	(10)

и ещё раз отметим, что d 0 есть проекция d на плоскость с нормальным вектором n0.

Далее

S : '(x; y) z = 0 n0 = q ('0x; '0y; 1)

('0x)2 + ('0y)2 + 1

k?Oxy

1

cos(n0; k) = q

('0x)2 + ('0y)2 + 1

q

dS = ('0x)2 + ('0y)2 + 1 d xy (11)

7

Мы получили обычный двойной интеграл:
ZZ f(x; y; z)dS = ZZ f(x; y; '(x; y))
			('x0	)2	+ ('y0 )2 + 1 d xy:
S	xy	q

(12)

3.4Задача о потоке жидкости

Рассмотрим движение жидкости в пространстве. Пусть скорость v

частицы, протекающей через данную точку M пространства, зависит только от этой точки, но не зависит от времени:

v = vx(x; y; z)i + vy(x; y; z)j + vz(x; y; z)k:

(13)

Вычислим поток жидкости через поверхность S, т.е. количество жидкости, протекающей через эту поверхность за единицу времени, считая плотность жидкости равной единице.

Вначале рассмотрим частный случай, когда скорость v во всех точках одна и та же, а поверхностью является плоская площадка (рис. 4).

За единицу времени частицы жидкости, лежащие на площадке S, переместятся в направлении вектора v на расстояние, равное его длине, и расположатся на площадке S1. Количество жидкости , которое за единицу времени пройдёт через площадку S, численно равно, очевидно, объёму цилиндра с основанием S и образующей v. Обозначив высоту этого цилиндра через h, получим = Sh.

8

Пусть n0 единичный нормальный вектор к площадке S, а ' угол между n0 и v. Так как h = jvj cos ' = jvjjn0j cos ' = v n0, то

= (v n0)S:

(14)

Теперь рассмотрим общий случай. Пусть в пространстве задано векторное поле (13) скоростей жидкости и некоторая поверхность S, ограниченная пространственной кривой L (рис. 5). Предположим, что в каждой точке M этой поверхности определён единичный нормальный вектор, направляющие косинусы которого являются непрерывными функциями координат точек поверхности. Подсчитаем количество жидкости , протекающей в единицу времени через эту поверхность.

Разобьём поверхность S на n малых частей S1, S2, : : :, Sn и в каждой из них выберем точку Mi(xi; yi; zi). Нормальный единичный вектор к поверхности S в точке Mi обозначим через ni (рис. 5), где

ni = i cos i + j cos i + k cos i:

Будем считать, что в пределах каждой малой части Si скорость частиц жидкости постоянна и равна её значению в точке Mi:

vi = vx(xi; yi; zi)i + vy(xi; yi; zi)j + vz(xi; yi; zi)k

и что малая поверхность Si плоская. При этих предположениях количество жидкости i, протекающей через Si, можно приближённо подсчитать по формуле (14):

i (vi ni) Si:

Суммируя все такие выражения, найдём приближённое значение количества жидкости , протекающей через поверхность S за единицу времени:

nn

XX

=	i (vi ni) Si:
i=1	i=1

9

Переходя к пределу при n ! 1 при условии, что каждая часть Si

стягивается в точку, найдём точное значение количества жидкости

n		ZZ
= n!1 i=1	i i i
X	n ) S =	S		n)dS
lim (v		(v

или в координатах

= ZZ	(v n) dS = ZZ (vx cos + vy cos + vz cos ) dS:
S	S

3.5Поток векторного поля

По аналогии с потоком текущей жидкости введём понятие потока вектора P = Px(x; y; z)i + Py(x; y; z)j + Pz(x; y; z)k через поверхность S. При этом предположим, что в каждой точке этой поверхности определён единичный нормальный вектор n = i cos i+j cos i+ k cos i направляющие косинусы которого являются непрерывными функциями координат точки поверхности.

Потоком вектора P (или потоком векторного поля) через поверхность S называется следующий интеграл по поверхности (по-

верхностный интеграл 2-го рода):

= ZZ	(P n)dS = ZZ (Px cos + Py cos + Pz cos ) dS: (15)
S	S

Учитывая (10), получим

cos dS = cos(n0; i)dS = d yz; cos dS = cos(n0; j)dS = d xz; cos dS = cos(n0; i)dS = d xy:

Тогда интеграл, стоящий в правой части (15), запишется в виде сум-

мы трёх обычных двойных интегралов

ZZ	Pxd yz + ZZ	Pyd xz + ZZ Pzd xy:	(16)
yz	xz	xy

10