TENZORY / 2.Скалярное поле

Таким образом,

du(r) = 2((a r) a) dr:

Ввиду (11)

grad u(r) = 2((a r) a):

(12)

Заметим, что можно было бы решить эту задачу в координатах. Но рассмотреть в ответе инвариантный смысл (12) было бы затруднительно. 2

Пусть скалярное поле определено функцией u(r), заданной в зависимости от длины r радиуса-вектора. Тогда поверхностями уровня являются сферы с центром в начале координат. Такое поле называют центрально-симметричным. Градиент функции u(r) находят следующим образом.

Находим дифференциал

du(r) = u0r(r)dr:

Исходя из тождества r r = r2, находим

d(r r) = 2(r dr) = 2rdr:

Отсюда получаем полезную формулу

dr =

r dr

:

(13)

r

Тогда

du(r) = u0

r

dr

u0 (r)

u0

(r)

(r)

=

r

(r

dr) =

r

r

dr:

r

r

r

r

Отсюда получаем:

u0 (r)

grad u(r) =

r

r:

(14)

r

Задача. Найти градиент функции u(r) = rn.

Решение. Согласно формуле (14) получаем:

grad rn = nrn 1 r = nrn 2r = nrn 1r0: r

Замечание. Проделайте эти выкладки в координатах.

11

Упражнения

1. Найти производную поля u(x; y; z) = x3y2z в направлении градиента функцииpg(x; y; z) = x2 4xy + 5y 6z2 в точке M(3; 1; 1=3).

Ответ: 722369.

2. Вычислить градиенты следующих полей (в скобках даны отве-

ты):
1) u(r) = a (b r),							([a; b]);
2) u(r) = i r,					(i);
3) u(r) =	ap	r		,		2r21p				(2r2a (a r)r) ;
		r							r
4) u(r) = ji rj,							1				(r xi)!;
								y2 + z2
5) u(r) = j (r i),							p(k);

1

1

1

1

6) u(r) = r +

+ ln r,

+

r ;

r

r

r2

r3

7) u(r) = r5 + r(a r)2,

5r3r + r

(a r)2r + 2r(a r)a ;

1

8) u(r) = k r,

(k);

9) [a; r]2,

(2((a; a)r (a; r)a));

10)

u(r) = r2r

,

rc2

2r(r4

;

c

c

r)

11)

u(r) = cos r,

sin r

;

r

r

12)

u(r) = r12 ,

r4

;

2r

13)

u(r) = (a r) (b r),

((a r) b + (b r) a);

14)

u(r) = pr,

2rpr ;

r

!.

15.

p

,

p(a r)2

((a r) a)

u(r) =

(a

r)2

12