- •Лекции № 6
- •Случайная величина
- •Понятие случайной величины
- •Распределение случайных величин
- •Ряд распределения
- •Числовые характеристики случайных величин
- •Математическое ожидание
- •Медиана
- •Дисперсия и среднее квадратическое отклонение
- •Нормальный закон распределения
- •Первичная обработка результатов эксперимента
- •Среднее арифметическое
- •Дисперсия и среднее квадратическое отклонение
- •Интервальный ряд. Гистограмма
- •Элементы регрессионного анализа
- •Метод наименьших квадратов
- •Корреляционная зависимость
Дисперсия и среднее квадратическое отклонение
При описании некоторых явлений среднее арифметическое дает о них примерное представление, вполне удовлетворительное для практических целей. Таково, например, среднее число правонарушений в день, рассмотренное в примере 1. Однако весьма часто встречаются такие ситуации, для описания которых недостаточно знать только среднее арифметическое.
Поучительная история. Двух студентов юридического факультета послали на практику, одного в город Дрюково, другого — в город Стуково. Практиканты узнали, что в это время года среднесуточная температура в этех городах равна нулю. Тот из них, что поехал в Стуково, будучи человеком осторожным, взял с собой: только теплые веши. Другой, более легкомысленный, оделся по-летнему. Оказалось, что в течение всей практики в обоих городах температура была стабильной: в Дрюкове — +2 днем и -2 ночью, в Стукове — +15 днем и -15 ночью. В результате, несмотря на то, что среднесуточная температура действительно была нулевой, оба студента заболели, так как один постоянно перегревался, а другой — постоянно мерз.
Из этой истории видно, что, помимо средней величины, нужно знать еще и то, как заданные числа рассеяны около их среднего значения. Для этой цели вводятся дисперсия и среднее квадратическое отклонение.
Дисперсией величин x1, x2, ... , xn называется число
(4)
Пример 3. На обследование каждого из десяти автомобилей было затрачено следующее время (в мин):
Таблица 3
i |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
xi |
25 |
30 |
22 |
22 |
54 |
36 |
41 |
45 |
25 |
40 |
Здесь символом xi обозначено время, затраченное на обследование автомобиля с номером i. Найдем дисперсию величин xi.
Решение. Составим таблицу из трех столбцов:
Таблица 4.
xi |
xi- |
(xi-)2 |
25 |
-9 |
81 |
30 |
-4 |
16 |
22 |
-12 |
144 |
22 |
-12 |
144 |
54 |
20 |
400 |
36 |
2 |
4 |
41 |
7 |
49 |
45 |
11 |
121 |
25 |
-9 |
81 |
40 |
6 |
36 |
340 |
0 |
1076 |
В последней строке первого столбца записано общее время обследования всех автомобилей, т.е. сумма всех чисел xi — 340. Поделив ее на 10, найдем среднее арифметическое чисел x1, x2, ... , x10 : = 34 (мин).
Во втором столбце записаны разности x1 - , x2 - , ... , x10 -, представляющие собой отклонения величин x1, x2, ... , x10 от их среднего. Сумма отклонений всегда равна нулю, что показано в последней строке второго столбца. Это важнейшее свойство средней величины.
В третьем столбце табл. 4 записаны квадраты отклонений: (x1 -)2 ,( x2 - )2, ... ,( x10 -)2.
Сумма квадратов, как видно из последней строки, равна 1076. По формуле (4) находим дисперсию D:
(мин2).
Если известны частоты то для вычисления дисперсии вместо формулы (4) можно использовать формулу
, (5)
где, как и выше, суть различные среди заданных чиселx1, x2, ... , xn .
Средним квадратическим отклонением величин x1, x2, ... , xn от их среднего значения называется величина
S=. (6)
В примере 3 среднее квадратическое отклонение равно
S= = 10,3 7310,4 (мин).
Из формулы (4) видно, что дисперсия представляет собой среднее арифметическое квадратов разностей x1 - , x2 - , ... , xn -. Поэтому величину S можно рассматривать как среднее отклонение величин x1, x2, ... , xn от их среднего значения .
Из определения дисперсии и среднего квадратического отклонения следует, что последнее не превышает наибольшей из величин |xi -| (абсолютная величина отклонения). Так, в рассмотренном примере 10,4 < 20, т.е. S существенно меньше максимального отклонения.
Теперь допустим, что нужно обследовать все автомобили города Дрюкова. Но число автомобилей так велико, что описать все значения величины Х (X — время обследования) практически невозможно. Однако мы можем, не проводя самого обследования, предсказать его результаты приближенно, с помощью примера 3. Предварительно, используя табл. 3, составим другую таблицу, в которой укажем время обследования хi и соответствующую частоту pi:
Таблица 5
i |
22 |
25 |
30 |
36 |
40 |
41 |
45 |
54 |
|
0,2 |
0,2 |
0,1 |
0,1 |
0,1 |
0,1 |
0,1 |
0,1 |
Обычно, прогноз содержит следующую информацию о величине X:
диапазон значений величины X,
среднее значение ,
среднее квадратическое отклонение S,
интервал наиболее вероятных значений величины X,
долю значении величины X, попадающих в заданный промежуток.
По данным примера 3:
время обследования автомобиля изменяется в пределах от 22 до 54 мин,
среднее время обследования одного автомобиля — = 34 мин,
среднее отклонение величины Х от ее среднего значения составляет S = 10,4 мин.
Интервалом: наиболее вероятных значений величины X обычно называют интервал, серединой которого является точка — среднее арифметическое, и в который попадает более половины значений величины X. Рассмотрим, например, интервал (-S; +S). Имеем: -S=23,6 и +S=44,4. Из табл. 5 видно, что в интервале 23,6—44,4 содержится 5 значений величины X: 25, 30, 36, 40, 41. Их частоты соответственно равны 0,2;0,1; 0,1; 0,1; 0,1. Суммарная частота будет 0,6. Это число составляет 60% от единицы, т.е. от суммы всех частот. Следовательно, в интервал 23,6-44,4 попадает 60% (т.е. большая часть) значений величины X. Таким образом, этот интервал является интервалом наиболее вероятных значений величины X. Доля значений величины X. попавших в какой-либо другой интервал, оценивается так же. Обычно оценивают долю больших и малых значений. В нашем примере доля автомобилей, на обслуживание которых затрачивается меньше 23,6 мин, составляет 20% от общего количества автомобилей (в табл. 5 имеется одно такое значение — 22, и его частота равна 0,2). Доля автомобилей, на обслуживание которых затрачивается больше 44,4 мим, составляет также 20% от общего количества автомобилей.
При обработке статистического материала используется специальная терминология. Совокупность всех рассматриваемых объектов называют генеральной совокупностью, я часть объектов, каким-либо способом выбранных для обследования, называют выборкой. В нашем примере с автомобилями генеральную совокупность образуют все автомобили города Дрюкова, а выборку — те 10 автомобилей, которые рассматривалась в примере 3.
Очень важно сделать выборку правильно. От этого зависит, насколько точными и: достоверными будут полученные выводы, результаты прогноза. В математической статистике изучаются способы отбора, позволяющие сделать выборку так, чтобы полученная с ее помощью информация давала достаточно полное и адекватное представление об интересующем нас признаке изучаемой генеральной совокупности. Тогда найденные с помощью выборки: среднее арифметическое и D дисперсия будут близка к гипотетическим величинам — среднему арифметическому и дисперсии, которые могли бы быть получены при обработке всей генеральной совокупности.