6. Решение некоторых метрических задач

ПРЕОБРАЗОВАНИЯМИ КОМПЛЕКСНОГО ЧЕРТЕЖА

6.1. Определение расстояний

1) Между двумя точками. Решение сводится к определению натуральной величины отрезка способом прямоугольного треугольника.

2) Между прямой и точкой. Решение – прямую преобразовать в проецирующую прямую (рис. 6.1).

3) Между точкой и плоскостью. Решение – плоскость преобразовать в проецирующую (рис. 6.2).

4) Между двумя параллельными прямыми. Решение – на одной прямой взять точку, вторую преобразовать в проецирующую.

5) Между двумя скрещивающимися прямыми. Решение – одну из прямых преобразовать в проецирующую прямую (рис. 6.3).

6) Между прямой и параллельной ей плоскостью. Решение – на прямой взять точку и плоскость преобразовать в проецирующую.

7) Между двумя параллельными плоскостями. Решение – на одной из плоскостей проекций взять точку, а вторую плоскость преобразовать в проецирующую.

Рис. 6.3

6.2. Определение углов наклона прямых

1) Между двумя пересекающимися прямыми. Решение – преобразовать плоскость, заданную двумя пересекающимися прямыми, в плоскость уровня.

2) Между двумя скрещивающимися прямыми. Решение – скрещивающиеся прямые заменяют пересекающимися таким образом, чтобы их положение в пространстве по отношению к плоскостям проекций не изменилось. Затем плоскость, заданную двумя пересекающимися прямыми, преобразовать в плоскость уровня (рис. 6.4).

а б

Рис. 6.4

3) Между прямой и плоскостью. Решение – из точки, взятой на прямой, опускают перпендикулярnна плоскость, тогда прямая и перпендикуляр составляют плоскость. Эту плоскость преобразуют в плоскость уровня и определяют уголпри вершине А.

Искомый угол между прямой и плоскостью определяется как дополнительный в прямоугольном треугольнике:= 90°–(рис. 6.5).

Рис. 6.5

4) Между двумя гранями.Решение – линию пересечения двух плоскостей (общее ребро двугранного угла) преобразуют в проецирующее положение (рис. 6.6).

6.3. Определение угла наклона плоскости к плоскости проекции

Р е ш е н и е 1. Проводят линии наибольшего наклона плоскости и способом прямоугольного треугольника определяют угол наклона этих прямых к П₁и П₂.

Линии наибольшего наклона – эта линии, лежащие в заданной плоскости и перпендикулярные линиям уровня (или следам плоскости).

П р и м е р. Дана плоскость треугольника АВС. Определить угол наклона треугольника АВС к П₁(рис. 6.7).

В плоскости проводим горизонталь h и из точки В опускаем перпендикуляр к горизонтали, т. е. линию наибольшего наклона к П₁. Способом прямоугольного треугольника определяем натуральную величину отрезка ВD. Угол между натуральной величиной и горизонтальной проекцией отрезка и является углом наклона АВС к П₁.

Р е ш е н и е 2. Заданную плоскость преобразуют в плоскость проецирующую, т. е. решают третью задачу на преобразование (см. рис. 5.4).

7. Поверхности

7.1. Образование поверхностей. Классификация

В начертательной геометрии образование поверхностей рассматривают как результат движения некоторой образующей линии по направляющей. И образующая, и направляющая могут быть прямыми или кривыми линиями. В зависимости от вида образующей и закона изменения направляющей получается та или иная поверхность.

Если образующей является прямая линия, то поверхность называется линейчатой. К линейчатым поверхностям относятся следующие:

конические– образованы перемещением образующей по некоторой направляющей, причем образующая имеет одну неподвижную точку, которая называется вершиной конической поверхности;

цилиндрические– образующая, перемещаясь по направляющей, всегда остается параллельной некоторой заданной прямой;

винтовые – прямолинейная образующая перемещается по винтовой линии, причем угол между образующей и осью вращения остается постоянным;

поверхности с плоскостью параллелизма – прямая перемещается по двум скрещивающимся линиям, оставаясь всегда параллельной некоторой плоскости, называемой плоскостью параллелизма. Среди поверхностей с плоскостью параллелизма различаютцилиндроиды– направляющими являются две скре-щивающиеся кривые;коноиды– направляющие – скрещивающиеся линии, но одна из них прямая;косая плоскость– направляющие – две скрещивающиеся прямые.

В качестве примера линейчатой поверхности на рис. 7.1, 7.2 приведены конус, цилиндр, прямой и наклонный геликоиды, косая плоскость. Если поверхности образованы вращением образующей вокруг некоторой прямой, то их называют поверхностями вращения.

а б в

Рис. 7.1

Образующая поверхности вращения, лежащая в плоскости, проходящей через ось вращения, называется меридианом. Сечение поверхности плоскостью, перпендикулярной оси, является окружностью, его называютпараллелью. Параллель с наименьшим радиусом называютгорлом, с наибольшим –экватором(рис. 7.3).

а б

Рис. 7.2