3.1.1. Ошибка выборки.

Ошибка выборки (илиошибка репрезентативности) представляет собой разность соответствующих выборочных и генеральных характеристик:

– для средней количественного признака

– для доли (альтернативного признака)

Ошибка выборки свойственна только выборочным наблюдениям. Чем больше значение этой ошибки, тем в большей степени выборочные показатели отличаются от соответствующих генеральных показателей.

3.1.2. Средние ошибки выборки.

Выборочная средняя и выборочная доля по своей сути являются случайными величинами, которые могут принимать различные значения в зависимости от того, какие единицы совокупности попали в выборку. Следовательно, ошибки выборки также являются случайными величинами и могут принимать различные значения. Поэтому принимают среднюю их возможных ошибок – среднюю ошибку выборки, которая зависит:

а) от объема выборки: чем больше численность при прочих равных условиях, тем меньше величина средней ошибки выборки;

б) от степени варьирования (которая, как известно, характеризуется дисперсией или w(1-w) – для доли): чем меньше вариация признака, а следовательно, и дисперсия, тем меньше средняя ошибка выборки, и наоборот.

Средние теоретические ошибки (при случайном повторном отборе):

– для средней количественного признака ;

– для доли (альтернативного признака)

Поскольку практически дисперсия признака в генеральной совокупности точно неизвестна, на практике пользуются значением дисперсии, рассчитанным на основании закона больших чисел, согласно которому выборочная совокупность при достаточно большом объеме выборки достаточно точно воспроизводит характеристики генеральной совокупности.

Таким образом, расчетные формулы средней ошибки выборки будут следующие.

При повторном отборе

– для средней количественного признака ;

– для доли (альтернативного признака) .

При бесповторном отборе

– для средней количественного признака ;

– для доли (альтернативного признака) .

Так как n всегда меньше N, то множитель (1 – n /N) всегда будет меньше единицы, т.е. средняя ошибка при бесповторном отборе всегда будет меньше, чем при повторном.

Учитывая, что генеральная дисперсия выражается через выборочную соотношением , формула для средней ошибки малой выборки будет следующая:

3.1.3. Распространение выборочных результатов на генеральную совокупность.

Конечной целью выборочного наблюдения является характеристика генеральной совокупности на основе выборочных результатов. Выборочные оценки отличаются от генеральных за счет ошибки наблюдения и ошибки выборки:

Выборочная оценка

=

Генеральный параметр

Ошибка наблюдения

Ошибка выборки

Выборочные средние и относительные величины распространяют на генеральную совокупность с учетом предела их возможной ошибки. В каждой конкретной выборке расхождение между выборочной средней и генеральной, т.е. может быть меньше средней ошибки выборки, равно ей или больше ее. Причем каждое из этих расхождений имеет различнуювероятность.

Поэтому фактическое расхождение можно рассматривать как некую предельную ошибку, связанную со средней ошибкой и гарантируемую с определенной вероятностьюP.

Таким образом, предельная ошибка выборки есть отклонение выборочной средней от генеральной средней (причем принимается определенный уровень вероятности суждения о точности данной выборки; вероятность, которая принимается при расчете ошибки выборочной характеристики, называется доверительной).

Формулы для вычисления предельной ошибки выборки следующие:

При повторном отборе

– для средней ;

– для доли .

При бесповторном отборе

– для средней ;

– для доли ,

где t – нормированное отклонение («коэффициент доверия»), зависящее от вероятности, с которой гарантируется предельная ошибка выборки: , (). Вероятность, которая принимается при расчете ошибки выборочной характеристики, называется доверительной.

Предельная ошибка выборки отвечает на вопрос о точности выборки с определенной вероятностью, значение которой определяется кооэффициентом t.

Наиболее часто применяемые значения t следующие (для выборок объема n > 30):

P	0.683 68.3%	0.950 95%	0.954 95.4%	0.990 99%	0.997 99.7
t	1	1.960	2	2.580	3

Таким образом, если t = 1, предельная ошибка составит =. Следовательно, можно утверждать, что с вероятностью 0,683 (т.е. в 68.3% случаев) ошибка репрезентативности не выйдет за пределы(другими словами, разность между выборочными и генеральными показателями не превысит одной средней ошибок выборки). Приt = 2 с вероятностью 0.954 она не выйдет за пределы ,t = 3 с вероятностью 0.997 – за пределы и т.д.

Заметим, вероятность появления ошибки, равной или большей утроенной средней ошибки выборки, т.е. , крайне мала:P = 1 – 0.997 = 0.003. Такие маловероятные события считаются практически невозможными, поэтому величину = 3можно принять запредел возможной ошибки выборки.

Предельная ошибка выборки позволяет определить предельные значения характеристик генеральной совокупности, т.е. те значения генеральных характеристик, за пределы которых с заданной вероятностью значения исследуемых величин выйти не могут, и их доверительные интервалы.

Предельные значения характеристик генеральной совокупности:

– для генеральной средней: или;

– для генеральной доли: или.

Доверительные интервалы:

– для средней: ;;

– для доли: ;.

Это означает, в частности, что с заданной вероятностью можно утверждать, что значение генеральной средней следует ожидать в пределах от до.

Наряду с абсолютным значением предельной ошибки выборки рассчитывается и предельная относительная ошибка выборки:

– для средней, %: ;

– для доли, %: .