шпора матан

1Понятие множества и подмножества. Пустое множество. Операции над множествами. Взаимно однозначное соответствие. Эквивалентные множества, счетные и несчетные множества Мн-ва – первичное понятие, на уровне здравого смысла, его не возможно точно определить. Для описания мн-в единая символика, а именно, если в мн-во А входят только эл. х, которые обладают некоторым св-вом S(x), то тогда мн-во А описывается А={х вып-ся усл S(x)}. Подмн-ва – если А и В 2 мн-ва и все эл-ты мн-ва А сод-ся в В, то А наз-ся подмн-вом В, А В, если в В сод-ся эл-ты отличные от эл-тов мн-ва А, то В строго шире А, то А наз-ся собственным подмн-вом В. А⊂В. А=В- мн-ва совпадают. Операции с мн-воми А В={х!х принадл. либо А, либо В} – обьединение мн-в А и В. А∩ В={хх∈А и х∈В} пересечение мн-в А и В. А\ В={хх∈А, но х∉В}дополн. к м-ву В во мн-ве А Числовые мн-ва R,N,Z,Q - стандартные обозначения мн-в на числ. прямой. (а,в)= {ха<х<в} – интервал из R (открытый промежуток, т.к. не содержит границ) [а,в] – замкнутый промежуток сод. гранич. т-ки. (а,в] – полуинтервал. Окрестностью т-ки х наз-ся любой интервал содержащий т-ку х, необязательно симметричную. Для того, чтобы сравнить два каких-либо множества А и В, между их элементами устанавливают соответствие. Если это соответствие взаимооднозначное, то множества называются эквивалентными или равномощными, А В или В А. Пусто́е мно́жество— множество, не содержащее ни одного элемента. Взаимно однозначным соответствием между множествами X и Y называется соответствие (соответственно, отображение), обладающее следующими тремя свойствами: 1) каждому элементу множества X соответствует один и только один элемент множества Y; 2) двум различным элементам множества X всегда соответствуют два различных элемента множества Y; 3) всякий элемент множества Y соответствует хотя бы одному элементу множества X. Множество, равномощное множеству натуральных чисел, называется счетным. Множество, не являющееся конечным или счетным, называется несчетным Множества и называются эквивалентными или равномощными, если между ними можно установить взаимно однозначное соответствие. 5. Связь между бесконечно малыми и бесконечно большими величинами. Основные теоремы о пределах. Предельный переход в неравенствах Cвязь. Eсли f (x) — бесконечно большая функция, то есть бесконечно малая функция в этой же точке.    В самом деле, пусть , это означает, что ( K > 0) ( δ = δ(K)> 0) ( 0 < | x - x0 | < δ ) : | f (x) | > K .    Так как |f (x)| > K , то . Будем считать, что , тогда ( ε > 0) ( δ = δ(ε)> 0) ( 0 < | x - x0 | < δ ) : 1/| f (x)| <ε . Это означает, что . Теорема 1. (о единственности предела функции). Функция не может иметь более одного предела. Теорема 2. Если функции f(x) и  g(x) имеют пределы в точке , то: 1) предел алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме пределов слагаемых, т.е.          2) предел произведения функций равен произведению пределов сомножителей, т.е.            3)предел частного двух функций равен частному от деления предела делимого на предел делителя, если предел делителя не равен нулю, т.е.            Теорема 3 (о пределе сложной функции). Если существует конечный предел а функция f(u) непрерывна в точке , то Переход. Теорема. Если элементы сходящейся последовательности {xn}, начиная с некоторого номера, удовлетворяют неравенству xn ≥ b (xn ≤ b), то и предел a этой последовательности удовлетворяет неравенству a ≥ b (a ≤ b). 9. Точки разрыва, их классификация. Графические иллюстрации. Рассмотрим некоторую функцию f(x), непрерывную в окрестности точки х0, за исключением может быть самой этой точки. Из определения точки разрыва функции следует, что х = х0 является точкой разрыва, если  функция не определена в этой точке, или не является в ней непрерывной. Следует отметить также, что непрерывность функции может быть односторонней. Поясним это следующим образом. Если односторонний предел (см. выше) , то функция называется непрерывной справа. Если односторонний предел (см. выше) , то функция называется непрерывной слева. Определение. Точка х0 называется точкой разрыва функции f(x), если f(x) не определена в точке х0 или не является непрерывной в этой точке.    Определение. Точка х0 называется точкой разрыва 1- го рода, если в этой точке функция f(x) имеет конечные, но не равные друг другу левый и правый пределы.   Для выполнения условий этого определения не требуется, чтобы функция была определена в точке х = х0, достаточно того, что она определена слева и справа от нее. Из определения можно сделать вывод, что в точке разрыва 1 – го рода функция может иметь только конечный скачок. В некоторых частных случаях точку разрыва 1 – го рода еще иногда называют устранимой точкой разрыва, но подробнее об этом поговорим ниже.   Определение. Точка х0 называется точкой разрыва 2 – го рода, если в этой точке функция f(x) не имеет хотя бы одного из односторонних пределов или хотя бы один из них бесконечен.

2Понятие отображения (функции), его области определения и области значения. Основные элементарные функции. Обратное отображение. Отображе́ние или фу́нкция— одно из основных понятий математики, выражающее зависимость одной величины от другой. Множество X тогда называется о́бластью определе́ния отображения F (обозначается D(f) или D(x).). Множество Y — о́бластью значе́ний отображения F.(обозначается E(f) или E(y). Область определения функции - все значения, которые принимает независимая переменная. Область значений функции (множество значений)- все значения, которые принимает функция. Основные простейшие элементарные функции: Линейная функция y=kx+b; Степенная функция y=x?; Квадратичная функция; Показательная функция (0 <a1); Логарифмическая функция x (0 < a1); Тригонометрические функции: sin x, cos x, tg x, ctg x; Обратные тригонометрические функции: arcsin x, arccos x, arctg x, arcctg x. Таким образом, определено отображение , которое называется обратным отображению f, или обратной функцией функции f. 6.Односторонние пределы. Односторонний предел по Коши Число называетсяправосторонним пределом (правым пределом, пределом справа) функции в точке , если для всякого положительного числа отыщется отвечающее ему положительное число такое, что для всех точек из интервала справедливо неравенство . Число называется левосторонним пределом (левым пределом, пределом слева) функции в точке , если для всякого положительного числа отыщется отвечающее ему положительное число такое, что для всех точек из интервала справедливо неравенство . Свойства Основные свойства односторонних пределов идентичны свойствам обычных пределов и являются частными случаями свойств пределов вдоль фильтра. Для существования (двустороннего) предела функции необходимо и достаточно, чтобы оба односторонних предела существовали и равнялись между собой 10. Понятие производной функции одной переменной. Геометрическая и экономическая интерпретации производной.

3.Числовая последовательность. Предел числовой последовательности. Предел функции в бесконечности и в точке. Бесконечно малые величины. Пусть множество X — это либо множество вещественных чисел , либо множество комплексных чисел . Тогда последовательность элементов множества X называется числовой последовательностью. Число называется пределом числовой последовательности , если последовательность является бесконечно малой, т. е. все её элементы, начиная с некоторого, по модулю меньше любого заранее взятого положительного числа. Число А называется пределом функции y=f(x) при х стремящемся к бесконечности, если для любого, даже сколь угодно малого положительного числа E>0, найдется такое положительное число S>0 (зависящее от E)^ что для всех х таких что |x|>S, верно равенство |f(x)-A|<E Число А называется пределом функции y= f(x) при х стремящемся к х0 если для любого, даже сколько угодно малого положительного числа E>0 найдется такое положительное число S>0 (зависящее от E), что для всех х, не равных х0 и удоволетсворяющих условию |x-x0|<S, выполняется неравенство |f(x)-A|<E Бесконечно малая величина Последовательность Функция называется бесконечно малой в окрестности точки Функция называется бесконечно малой на бесконечности, если либо . Также бесконечно малой является функция, представляющая собой разность функции и её предела, то есть если , то 7. Первый и второй замечательные пределы. Два замечательных предела 1) lim(x0)sin/x=1 2) Явл. обобщением известного предела о посл-ти. Справедливо сл. предельное соотношение: lim(n)(1+1/n)^n=e (1) lim(n0)(1+x)^1/x=e (2) t=1/x => при х0 t из предела (2) => lim(x) (1+1/x)^x=e (3) Док-во 1)x+ n x:n=[x] => nx<n+1 => 1/(n+1)<1/x<1/n Посколько при ув-нии основания и степени у показательной ф-ции, ф-ция возрастает, то можно записать новое неравенство (1/(n+1))^n(1+1/n)^x (1+1/n)^(n+1) (4) Рассмотрим пос-ти стоящие справа и слева. Покажем что их предел число е. Заметим (х+, n) lim(n)(1+1/(n+1))=lim(n)(1+1/(n+1))^n+1-1= lim(n)(1+1/(n+1))^n+1lim(n)1/(1+1/(n+1))=e lim(n)(1+1/n)^n+1= lim(n)(1+1/n)^n lim(n)(1+1/n)=e1=e 2) x-. Сведем эту ситуацию к пред. Случаю путем замены переменной y=-x => y+, при x-. lim(x-)(1+1/x)^x=lim(y+)(1-1/y)^-y= lim(y+)((y-1)/y)^y=lim(y+)(1+1/(y-1))^y=e 3) Пусть x произвольным образом это означает при любом любом выборе посл-ти xn сходящихся к мы должны иметь в силу (3) соотношение lim(x)(1+1/xn)^xn=e (5) Условие 5~3, т.е расшифровка 3 на языке посл-ти. Выделим из посл-ти xn 2 подпосл-ти: {x‘n}+, {x‘‘n}-. Для каждой посл-ти по доказанному в п.1 и п.2 справедливо предельное соотношение 5 если заменить xnx‘nx‘‘n. По т-ме о связи 11. Понятие дифференцируемой функции. Производная суммы, произведения, частного, сложной и обратной функции. Уравнение касательной.

4Свойства бесконечно малых величин. Связь бесконечно малых величин с пределами функций. Бесконечно большие величины. Свойства бесконечно малых 1.Сумма конечного числа бесконечно м.алых — бесконечно малая. 2Произведение бесконечно малых — бесконечно малая. 3.Произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную — бесконечно малая. Как следствие, произведение бесконечно малой на константу — бесконечно малая. Если Отношение бесконечно малых величин образует так называемую неопределённость .0/0 Определения Допустим, у нас есть бесконечно малые при одном и том же величины 1.Если , то 2.Если , то 3.Если (предел конечен и не равен 0), то Это обозначается как 4.Если (предел конечен и не равен 0), то бесконечно малая величина Для вычисления подобных пределов удобно использовать правило Лопиталя. Бесконечно большая величина Во всех приведённых ниже формулах бесконечность справа от равенства подразумевается определённого знака (либо «плюс», либо «минус»). То есть, например, функция Последовательность Функция называется бесконечно большой в окрестности точки Функция называется бесконечно большой на бесконечности, если либо . 8. Непрерывность функции в точке и на множестве. Непрерывность справа и слева. Опр. f(x) непрерывны Х0 и при этом ее предел в этой т-ке сущ-ет и равен знач. ф-ции в этой т-ке, т.е. lim(xx0)f(x)=f(x0)-непрерывность ф-ции в т-ке. Из определения вытекает что в случае непрерывности ф-ции в данной т-ке вычитание пределов сводится к вычит. знач. ф-ции в данной т-ке. Равенство lim(xx0)x=x0 (1‘). Т.е знак предела у непрерывной ф-ции можно вносить в аргумент ф-ции. Геометрически непрерывность ф-ции в т-ке х0 означает что ее график в этой т-ке не имеет разрыва. Если обозначить через у приращение ф-ции, т.е. у=f(x0+x)-f(x0) (приращение ф-ции в т. х0). “” - символ приращения. Приращение аргумента в т-ке х0 это соответствует тому, что текущая т. х, то условие непрерывности в т-ке х0 записывается сл. образом lim(x0)y=0~ у0 (1‘‘). Если в т-ке х0 ф-ция непрерывна, то приращение ф-ции 0 приращение аргумента. f(x) непрерывна в т-ке х0 <> y0 при х0. Если понятие предела приводит к понятию непр. Ф-ции то понятие одностороннего предела приводит к понятию односторонней непр. точки. Опр. Если f(x) имеет предел справа в т-ке х0(=f(x0+)) и этот предел равен значению ф-ции ф-ции в т-ке х0, т.е. f(x0+)=lim(xx0,x>x0)f(x)=f(x0), то ф-ция f(x) наз-ся непр. справа в т-ке х0. Аналогично при вып-нии усл. f(x0-)=lim(xx0, x<x0)f(x)=f(x0), то ф-ция наз-ся непр. слева в т. х0. Ясно что справедлива сл.теорема вытекающая из связи односторонних пределов ф-ция f(x) непр. в т-ке х тогда, когда она непр. в этой т-ке, как справа, так и слева. f(x0-)=f(x0+)=f(x0) Опр. Ф-ция f(x) непрерывна на некотором пр-ке D, если в каждой т-ке этого пр-ка при этом, если пр-ток D содержит граничную т-ку, то будем подразумевать соотв. одностор. непр. ф-ции в этой т-ке. 12. Понятие дифференциала. Свойства дифференциала. Производные и дифференциалы высших порядков функции одной переменной и их свойства