1.4 Момент силы. Основной закон динамики вращательного движения твёрдого тела

Моментом силы относительно неподвижной точкиO называется векторная физическая величина, определяемая векторным произведением радиус-вектора , проведённого из точкиO в точку A приложения силы, на силу (рис.1.4.1):

(1.4.1)

Здесь – псевдовектор, его направление совпадает с направлением движения правого винта при его вращении отк.

Модуль момента силы

Рис. 1.4.1

,

где – угол междуи,– кратчайшее расстояние между линией действия силы и точкойО – плечо силы.

Моментом силы относительно неподвижной оси z называется скалярная величина , равная проекции на эту ось векторамомента силы, определённого относительно произвольной точкиO данной оси z (рис. 1.4.1).

Работа при вращении тела равна произведению момента действующей силы на угол поворота:

.

С другой стороны эта работа идёт на увеличение его кинетической энергии:

, но

, поэтому

, или .

Учитывая, что , получим

. (1.4.2)

Получили основное уравнение динамики вращательного движения твёрдого тела относительно неподвижной оси: момент внешних сил, действующих на тело, равен произведению момента инерции тела на угловое ускорение.

Можно показать, что если ось вращения совпадает с главной осью инерции, проходящей через центр масс, то имеет место векторное равенство:

,

где I– главный момент инерции тела (момент инерции относительно главной оси).

1.5 Момент импульса и закон его сохранения

Моментом импульса материальной точки А относительно неподвижной точки О называется векторная физическая величина, определяемая векторным произведением:

(1.5.1)

где – радиус-вектор, проведённый из точкиОв точкуА;– импульс материальной точки (рис. 1.5.1).– псевдовектор, его направление совпадает с направлением поступательного движения правого винта при его вращении отк.

Рис. 1.5.1

Модуль вектора момента импульса

,

где – угол между векторамии,– плечо вектораотносительно точкиО.

Моментом импульса относительно неподвижной оси z называется скалярная величина , равная проекции на эту ось вектора момента импульса, определённого относительно произвольной точкиО данной оси. Значение момента импульсане зависит от положения точкиОна осиz.

При вращении абсолютно твёрдого тела вокруг неподвижной оси z каждая отдельная точка тела движется по окружности постоянного радиусас некоторой скоростью. Скоростьи импульсперпендикулярны этому радиусу, т.е. радиус является плечом вектора. Поэтому можно записать, что момент импульса отдельной частицы

и направлен по оси в сторону, определяемую правилом правого винта.

Момент импульса твёрдого телаотносительно оси есть сумма моментов импульсов отдельных частиц:

.

Используя формулу , получим

, т.е.. (1.5.2)

Таким образом, момент импульса твёрдого тела относительно оси равен произведению момента инерции тела относительно той же оси на угловую скорость.

Продифференцируем уравнение (1.5.2) по времени:

, т.е.. (1.5.3)

Это выражение – ещё одна форма основного уравнения (закона) динамики вращательного движения твёрдого тела относительно неподвижной оси: производная по времени от момента импульса механической системы (твёрдого тела) относительно оси равна главному моменту всех внешних сил, действующих на эту систему, относительно той же оси.

Можно показать, что имеет место векторное равенство .

В замкнутой системе момент внешних сил и, откуда

. (1.5.4)

Выражение (1.5.4) представляет собой закон сохранения момента импульса: момент импульса замкнутой системы сохраняется.

Сопоставим основные величины и уравнения, определяющие вращение тела вокруг неподвижной оси и его поступательное движение (таблица 1.5.1).

Таблица 1.5.1

Поступательное движение		Вращательное движение			Функциональная зависимость
Линейное перемещение	S	Угловое перемещение
Линейная скорость		Угловая скорость
Линейное ускорение		Угловое ускорение
Масса	m	Момент инерции		I	(для материальной точки)
Сила		Момент силы
Импульс		Момент импульса
Основное уравнение динамики
Работа			Работа вращения
Кинетическая энергия			Кинетическая энергия вращения
Закон сохранения импульса			Закон сохранения момента импульса