1.6. Гироскоп

Если тело вращается вокруг закреплённой оси, то для характеристики его движения необходимо знать только величину –проекцию момента им­пульса этого тела на ось вращения. В этом случае движение имеет простой характер.

Если же ось вращения не закреплена, то необходимо рассматривать весь вектор в зависимости от вектора угловой скорости.

В случае незакрепленной оси вращения направления векторов имо­гут и не совпадать.

Примером такого движения является вращение гироскопа. Гироскоп – осесимметричное тело, быстро вращающееся вокруг своей геометрической оси, причём ось вращения может свободно ориентироваться в пространстве.

В отсутствии внешних сил векторы инаправлены по оси гиро­скопа (т.к. гироскоп симметричен относительно своей оси и нет никакого другого предпочтительного направления, куда бы мог быть направлен вектор). В этом случае ось гироскопа сохраняет своё положение в пространстве.

Если же к гироскопу приложить внешнюю силу, то его ось начинает отклоняться. Это движение оси гироскопа называется прецессией. Движение оси гироскопа происходит относительно некоторой другой оси, не совпа­дающей с осью гироскопа, поэтому и вектор суммарной угловой скорости не будет совпадать с геометрической осью гироскопа. Значит, не будет сов­падать с осью гироскопа и вектор.

Если основное вращение гироскопа происходит с большой скоростью и внешние силы не слишком велики, скорость поворота оси гироскопа будет мала и векторы ибудут близки по направлению к оси гироскопа, и по изменению вектораможно судить о движении оси гироскопа. Изменение же вектораопределяется моментом приложенных к нему сил:

т. е. внешняя сила вызывает поворот оси гироскопа в направлении, пер­пендикулярном направлению силы.

Действительно, пусть к концам оси гироскопа приложена пара сил , действующих в плоскости YZ (см. рис.1.6.1)

Рис.1.6.1

Момент пары сил направлен перпендикулярно векторами(причём векторнаправлен по осиZ, вектор - по осиY). Таким обра­зом, вектор направлен по осиx, и в эту же сторону направлена произ­водная , т.е. момент импульса гироскопа и его ось отклоняются в одну сторону по осиX. За время момент импульса гироскопа получит прираще­ние , которое совпадает по направлению с моментом силы(см. рис.1.6.2.).

Рис.1.6.2

Поэтому результирующий момент импульса гироскопа равен:

.

Направление вектора совпадает с новым направлением оси враще­ния гироскопа. Таким образом, ось гироскопа повернётся вокруг осиY, при­чём так, что угол между векторами иуменьшится.

Если на гироскоп действовать длительное время постоянным по на­правлению моментом внешних сил , то ось гироскопа устанавливается так, что ось и направление собственного вращения совпадают с осью и направле­нием вращения под действием внешних сил (векторсовпадает по направле­нию с вектором).

Рассмотрим прецессию лабораторного гироскопа, в котором момент силы создаётся перемещением рейтера относительно центрального положе­ния (см. рис.1.6.3.).

Рис. 1.6.3

В этом случае момент внешних сил постоянен по величине и поворачи­вается одновременно с осью гироскопа, образуя с ней всё время, прямой угол. Момент внешних сил, приложенных к гироскопу, равен по величине:

, (1.6.1)

где m — масса рейтера, d – расстояние от центрального положения (на оси Y) до центра масс рейтера.

Момент силы направлен перпендикулярно векторами , следова­тельно, он направлен в отрицательном направлении оси Y. Под дейст­вием момента сил момент импульсаполучит за времяdt приращение:

,

которое совпадает по направлению с вектором , т.е. перпендикуляр­ное вектору. За времяdt ось гироскопа повернётся на угол относи­тельно оси z, на такой же угол в горизонтальной плоскости повернётся вектор , т.е. спустяdt будем иметь такое же взаимное расположение векторов и, как и в начальный момент времени.

За последующий промежуток времени dt вектор снова получит прира­щение , которое будет перпендикулярно к новому (возникшего уже после первого элементарного поворота) направлению вектораи т.д. Таким обра­зом, ось гироскопа непрерывно поворачиваться вокруг вертикали. При этом векторменяется по направлению, оставаясь постоянным по вели­чине.

Такое движение гироскопа называется прецессией и представляет со­бой движение его оси под действием внешних сил.

Угловая скорость вращения плоскости, проходящей через вертикаль и ось гироскопа, называется скоростью прецессией:

, (1.6.2.)

где - угол, на который повернётся эта плоскость за времяdt.

Видно, что

или .

Угол мал, поэтому, тогда

. (1.6.3.)

Согласно (1.6.2.) и (1.6.3.), получим:

. (1.6.4.)

Угловая скорость прецессии от угла наклона оси гироскопа не зависит.