1.2.Принцип суперпозиции электрических полей

Основная задача электростатики заключается в том, чтобы по заданным распределению в пространстве и величине источников поля – электрических зарядов, найти величину и направление вектора напряженности в каждой точке поля.

Рассмотрим поле, созданное системой точечных зарядов . В механике рассматривался принцип независимости действия сил. Согласно этому принципу, результирующая сила, действующая со стороны исследуемого поля на пробный заряд, равна векторной сумме сил, приложенных к нему со стороны каждого из зарядов

, (1.1)

но известно , что ; и, где- напряженность результирующего поля;- напряженность поля, создаваемого одним зарядом.

Тогда (выражение (1.1) разделили на) - напряженность электрического поля системы точечных зарядов равна векторной сумме напряженностей полей, создаваемых каждым из этих зарядов в отдельности.

Таким образом, результирующее поле можно найти простым наложением (суперпозицией) полей отдельных зарядов. В этом и состоит принцип суперпозиции полей, или принцип независимых действий электрических полей.

Пусть - радиус-вектор, проведенный из точечного зарядав исследуемую точку поля. Тогда напряженность, создаваемая этим зарядом в данной точке поля, а результирующая напряженность.

Каждое заряженное тело можно разбить на столь малые части, что каждая из них будет представлять собой точечный заряд. Поэтому формула эта пригодна для расчета любых электрических полей.

1.3.Потенциальный характер электростатического поля.Работа сил поля при перемещении зарядов. Циркуляция и ротор вектора напряженности

Работа, совершаемая силами электростатического поля при перемещении заряда на отрезокравна:

.

Работа по перемещению единичного положительного заряда численно равна

Работа, совершаемая при перемещении единичного положительного заряда по конечному пути равна

. (1.2)

Здесь - сила Кулона, которая является центральной силой. Из механики известно, что поле центральных сил консервативно. Следовательно, работа электростатического поля по перемещению заряда не зависит от траектории, а определяется только начальной и конечной ее точками. Работа по замкнутому пути равна нулю. Поле, обладающее такими свойствами, называется потенциальным. Тогда из (1.2) имеем:

(1.3)

- циркуляция вектора по замкнутому пути равна нулю. Поле, обладающее такими свойствами, называется потенциальным.

Докажем потенциальный характер электростатического поля.

Рассмотрим сначала работу электрических сил в поле элементарного точечного заряда . Работа этих сил при бесконечно малом перемещениипробного единичного положительного заряда равна:

,

где - проекция перемещения пробного зарядана радиус-вектор, проведенный из возбуждающего поле заряда. Из рис.1.2 видно, что- это приращение численного значения радиус-вектора , то есть увеличение расстояния пробного зарядаот заряда. Поэтому работаможет быть представлена как полный дифференциал скалярной функции точки:

,

где- численное значение радиус-вектора. Тогда работа по перемещению единичного положительного заряда из точкив точкупо конечному путиравна:

,

где и- расстояния начальной и конечной точек пути от заряда. Таким образом, работа электрических сил на произвольном пути в поле неподвижного

элементарного точечного заряда действительно зависит от положений начальной и конечной точек этого пути и не зависит от формы пути. На рис.1.3 работа на пути равна работе на пути: избыточная работа, совершаемая на путипри перемещении пробного заряда за пределы сферы радиуса, компенсируется отрицательной работой, совершаемой при последующем приближении пробного заряда к зарядуна последнем участке пути. Таким образом, поле неподвижного точечного заряда есть поле потенциальное.

Очевидно, сумма потенциальных полей тоже есть потенциальное поле (так как если работа слагаемых сил не зависит от формы пути, то и работа равнодействующей от нее не зависит). Поле произвольной системы зарядов можно рассматривать как сумму полей каждого из точечных зарядов, поэтому всякое электростатическое поле есть поле потенциальное.