статика / GLAVA2

Глава 2. Система сходящихся сил

2.1. Приведение системы сходящихся сил

к равнодействующей

2.1.1. Векторная (геометрическая) форма

Пусть имеется система, например, четырех сходящихся сил , действующих на НМС (МТ) (рис. 13).

На основании следствия из аксиомы 2 перенесем силы вдоль линии их действия в точку пересечения этих линий, и последовательно сложив все силы по правилу треугольника, получим силовой многоугольник (рис. 13).

Рис. 13

Таким образом, можно записать:

или .

Аналогично для системы n сходящихся сил, получим:

. (2.1)

Система сходящихся сил всегда приводится к одной силе – равнодействующей этой системы сил, которая является замыкающей стороной силового многоугольника, построенного на этих силах, и равна геометрической сумме этих сил.

Для пространственной системы сходящихся сил силовой многоугольник является пространственной фигурой, для плоской - плоской фигурой.

2.1.2. Алгебраическая форма

Выбрав декартовую систему координат с началом в точке пересечения линий действия сил и спроектировав соотношение (2.1) на ее оси, получим проекции равнодействующей пространственной системы сходящихся сил на эти оси:

(2.2)

Модуль равнодействующей определяется соотношением:

(2.3)

Направление равнодействующей определяется направляющими косинусами:

(2.4)

Для плоской системы сходящихся сил в соотношениях (2.2)–(2.4) , если плоская система сил находится в плоскости xОy.

2.2. Условия равновесия системы сходящихся сил

2.2.1. Векторная (геометрическая) форма

Для равновесия системы сходящихся сил, необходимо и достаточно, чтобы силовой многоугольник, построенный из этих сил, был замкнут или, другими словами, ее равнодействующая была равна нулю:

. (2.5)

2.2.2. Алгебраическая форма

Для равновесия пространственной системы сходящихся сил, необходимо и достаточно, чтобы суммы проекций сил на оси декартовой системы координат были равны нулю:

(2.6)

В случае плоской системы сходящихся сил, находящейся в плоскости хОу, условий равновесия будет два:

(2.7)

2.2.3. Теорема о трех уравновешенных силах

При решении задач полезно иметь в виду следующую теорему о трех силах.

Теорема: Если плоская система трех непараллельных сил находится в равновесии, то линии действия этих сил пересекаются в одной точке.

Доказательство: Пусть имеется система трех сил (), отвечающая условиям теоремы. На основании следствия из аксиомы 2 силы и переносятся вдоль линий действия в точку их пересечения, а на основании аксиомы 3 они заменяются равнодействующей (рис. 14):

.

На основании аксиомы 1 вектора и лежат на одной прямой, т.е. линии действия силы должна проходить через точку О.

Рис. 14.

176