Построить таблицу

	X^1	X^2	…	X^m
f1			…
f2			…
…	…	…	…	…
fm			…

где - степень близостиj-ro решения к максимальному значению i-й целевой функции.

Шаг 2. Решить следующую игровую задачу одним из методов линейного программирования.

при условиях

. . .

Шаг 3. Образовать новую функции свертки, используя оптимальные веса, найденные на шаге 2, и решить следующую задачу максимизации этой функции для получения нового альтернативного компромиссного решения .

при условии XD.

Шаг 4. Вычислить значения степеней близости нового решения к максимально возможным значениям целевых функций, . Добавить колонку с этими значениями к таблице, построенной на шаге 1.

Шаг 5. Представить ЛПР новую таблицу и спросить, предпочитает ли он строго одно решение всем другим m-решениям. Если да, то идти на шаг 6. Иначе просить ЛПР отметить наименее предпочитаемое решение. Заменить его новым решением, найденным на шаге 4, и вернуться на шаг 2.

Шаг 6. Останов.

Пример 10.7. Применим этот алгоритм к задаче из примера 10.5.

Шаг 0. a)

при условии XD,

где D определяется системой

x₁+x₂8,

-x₁+x₂2,

0x₁6, 0x24.

Решение: =(0,2),=2.

f₂(X)=4x₁-x₂

при условии XD.

Решение: =(6,0),=24.

б) f₁(X)=-2x₁+x₂

при условии XD.

Решение: =(6,0),=-12.

= 4x₁- x₂min

при условии XD.

Решение: =(0.2).=-2.

Шаг 1. Решения ипринимаем за первоначальные эффективные решения X¹ и X². Составляем таблицу степеней близости

	X^1	X^2
f1	1	0	2
f2	0	1	24

Шаг 2. Решаем задачу линейного программирования:

при условиях

,

,

.

Решение: =0.5,=0.5.

Шаг 3. Составляем новую функцию свертки

Решаем следующую задачу линейного программирования для нахождения нового компромиссного решения:

при условии XD.

Решение: Х³=(4,4), f₁(Х³)=-4, f₂(X³)=l2. На рис.10.17 это точка С.

Шаг 4. Вычисляем степени близости полученного решения

,

и показываем ЛПР три эффективных решения:

	X^1	X^2	X^3
f1	1	0	0.571	2
f2	0	1	0.538	24

Шаг 5. Предположим, что ЛПР не устраивает ни одно из этих решений, а наименее предпочтительным он считает решение X¹. Тогда это решение заменяем решением X³ и возвращаемся на шаг 2.

Вторая итерация

Шаг 2. Решаем следующую задачу для определения новых весов:

d⁴(X)=> max

при условиях

0.571+0.538d⁴,

₂d⁴,

Оптимальные значения: =0.447,=0.553.

Шаг 3. Решаем задачу с этими весами:

d⁴(X)=0.447 d₁(X) + 0.553 d₂(Х)=

=(2х₁+ x₂+40)=> max

при условии X D.

Решение: Х⁴=(6.2), f₁(X⁴)=-10, f₂(X⁴)=22. На рис.10.17 это вершина E множества достижимости.

Шаг 4. Вычисляем степени близости нового решения

=0.143, =0.923

и предъявляем его ЛПР вместе с оставшимися:

	X^3	X^2	X^4
f1	0.571	0	0.143	2
f2	0.538	1	0.923	24

Шаг 5. Предположим, что ЛПР предпочитает новое решение всем другим. Идем на шаг 6.

Шаг 6. Останов. Наилучшее компромиссное решение нашей задачи:

Х=(6.2), f = (-10,22), d = (0.143,0.923).

Отметим некоторые особенности рассмотренного метода.

При его применении необходимо иметь в виду, что в соответствии с теоремой 5 максимизация линейной свертки (10.25) гарантирует получение эффективного решения только в случае положительности всех . Наличие нулевых значений весов может приводить к слабо эффективным решениям.

Из анализа процедуры поиска компромиссного решения следует, что область принятия решений сужается после каждой итерации алгоритма. При этом можно ожидать хорошей сходимости, так как каждое новое решение, предъявляемое ЛПР, является наиболее вероятным среди уже имеющихся, что обусловлено максиминным выбором весов.

Очевидным достоинством метода является использование естественного для ЛПР способа выражения своих предпочтений. Здесь отсутствуют какие-либо эвристические параметры (к ним относят параметры, значения которых должен назначать ЛПР).

Если модель исходной многокритериальной задачи линейна, то вся вычислительная часть интерактивного метода может быть реализована с помощью стандартных пакетов линейного программирования, что означает возможность решения задач большой размерности. Подзадача определения оптимальных весов (шаг 2) остается линейной при любом виде исходной модели.

Наконец, заметим, что для получения очередного нового решения можно применить вместо линейной максиминную свертку. Такая замена может оказаться существенной для линейных задач, так как линейная свертка позволяет находить решения только в вершинах, в то время как максиминная – и на ребре или грани. И тем самым можно избежать возможных повторений решений.