4.8. Методы решения задач лп

Методы линейного программирования - численные методы решения оптимизационных задач, cводящихся к формальным моделям линейного программирования.

Существуют конечные и итеративные методы решения задач ЛП.

Итеративный методсходится к точному решению асимптотически на бесконечном числе итераций, а при конечном дает приближенное решение.

Конечные методыпозволяют получить точное решение за конечное число шагов. Они делятся на

• универсальные, применимые для любых задач ЛП;

• специальные, предназначенные для решения определенных классов задач ЛП.

Последние учитывают специфику класса и поэтому более эффективны, чем универсальные.

Итеративные методы интересны теоретически, а на практике находят применение конечные методы. Начало развитию методов линейного программирования было положено в работах Канторовича Л.В. в конце тридцатых годов 20 века. Позднее был разработан целый ряд эффективных методов, первым из которых стал симплекс-метод.

4.9. Симплекс-метод

4.9.1. Харатеристика метода

Данный метод является основополагающим среди универсальных методов. Он разработан Данцигом в 1947 году. В одной из первых задач, решенных этим методом, допустимое множество представляло собой симплекс – выпуклый многогранник, у которого число вершин на единицу больше размерности пространства. Отсюда и произошло название метода. В некоторых отечественных монографиях (авторы Гольштейн Е.Г., Юдин Д.Б. и др.) его называют методом последовательного улучшения плана.

Симплекс-метод реализует направленный перебор допустимых базисных решений в виде итеративного процесса. На каждой итерации осуществляется переход по ребру допустимого множества от одной вершины (крайней точки) к другой, смежной исходной, в которой значение критерия лучше или, в редких случаях, не хуже, чем в исходной. Поскольку число крайних точек конечно, а целевая функция линейна, то такой процесс сходится за конечное число шагов к глобальному оптимуму (для разрешимой задачи).

В результате симплекс метод позволяет отыскать оптимальное решение, просматривая значительно меньше вершин по сравнению с их общим числом. Строгих оценок достаточного числа итераций для достижения оптимального решения нет. Однако экспериментально установлено, что реальное число итераций находится в пределах m 3 m, а наиболее вероятно (1,52) m. Так, для вышерассмотренного примера вместо десятков тысяч вершин метод “пройдет” не более 30.

В симплекс-методе можно выделить три основные компоненты:

1. Способ построения начального базисного решения.

2. Процедуру перехода от одного базисного решения к другому.

3. Признак оптимальности.

Неразрешимость задачи определяется по ходу работы алгоритма.

4.9.2. Переход от одного базисного решения к другому

Здесь нам понадобятся некоторые понятия линейной алгебры..

Векторы А₁, А₂, …, А_S являются линейно-независимыми, если равенство k₁A₁+k₂A₂+…+k_SA_S=0 выполняется только приk₁=k₂=…=k_S=0. Признаком линейной независимости векторов является ненулевое значение определителя, составленного из этих векторов, так как однородная система имеет единственное (нулевое) решение только при таком определителе.

Если есть система линейно-независимых векторов, то любой другой вектор может быть выражен в виде их линейной комбинации и притом единственным образом:

A_p=₁A₁+₂A₂+…+_SA_S, p[1, S].

В канонической форме условия записываются в виде

(4.4)

Пусть система (4.4) имеет базисное решение:

(4.5)

Тогда из (4.4) следует

(4.6)

Так как система (4.6) совместна, то ее определитель не равен нулю и, значит, векторы, входящие в (4.6), являются линейно-независимыми. Для их обозначения введем следующее понятие: система m линейно-независимых векторов, соответствующих базисным переменным, называетсябазисом. Таким образом, каждой экстремальной точке соответствует своё базисное решение и свой базис.

Теперь, имея исходные базисное решение (4.5) и базис , построим новое базисное решение. Как следует из геометрических представлений, смежные вершины отличаются по составу базисных переменных только одной. Поэтому новое решение можно получить вводом в исходное небазисной переменной с одновременным переводом одной базисной переменной в небазисные.

Пусть вводимой будет переменная с индексом r[1,m], принимающая в новом решении некоторое положительное значение

В новом решении, как в любом допустимом, условия (4.4) также должны выполняться, поэтому имеем:

(4.7)

Задача состоит в том, чтобы определить X⁽¹⁾ по X⁽⁰⁾. С этой целью сделаем несложные преобразования. Выразим вектор A_r через исходный базис:

A_r=A₁_1r+A₂_2r+…+A_m_mr. (4.8)

Так как известен базис, то известны (или находятся решением этой ситстемы) коэффициенты разложения _ir. Умножим левую и правую части равенства (4.8) на :

A_r=A₁_1r+A₂_2r+…+A_m_mr . (4.9)

Вычитая (4.9) из (4.6), получим:

или окончательно:

(4.10)

Сравнивая равенства (4.7) и (4.10), видим, что правые части равны, а левые содержат одну и ту же ситстему векторов. Поэтому коэффициенты при одноименных векторах должны совпадать. Приравнивая их, получаем искомые соотношения:

(4.11)

Однако решение (4.11) может быть недопустимым, если не оговорить возможные значения . Предположим, что среди коэффициентов_irесть положительные. Тогда с увеличением значения соответствующие переменные могут стать отрицательными. Поэтому для допустимости решенияX⁽¹⁾ необходимо, чтобы было ограничено сверху:

(4.12)

С учетом (4.12) решение (4.11) всегда будет допустимым, но число ненулевых переменных в нем может превышатьm, так как добавлена x_r, а значит, оно может быть небазисным. Если же в качестве значения выбрать₀, то одна из переменных станет равной нулю, а решение (4.11)  базисным.

Пусть минимум в (4.12) достигается на переменной x_k. Тогда базисные переменные в новом опорном решении будут вычисляться по формулам:

(4.13)

Этому решению соответствует новый базис {A_i}⁽¹⁾={A₁,…,A_k-1,A_r, A_k+1,…,A_m}. Таким образом, переход к новому базисному решению произошел путем замены переменнойX_k на X_r, соответсвенно в базисе  A_k на A_r.

Рассмотрим возможные ситуации при переходе от одного решения к другому. Как было показано выше, при существовании положительных коэффициентов _ir достигается новое базисное решение (смежная вершина), что иллюстрируется рис. 4.6-а. Если же все _ir неположительны, величина , а это значение вводимой переменной, не ограничена сверху. Следовательно, введение такой переменной не приведет к получению базисного решения (достижению новой вершины). Это признак того, что соответствующее ребро допустимого множества, а значит, и само множество оказываются неогранниченными (рис. 4.6-б).

При вычислении ₀минимум может достигаться более чем на одном индексе. При этом обнуляется более одной переменной из входящих в исходное решение. Следовательно, в новом решении будут базисные переменные с нулевым значением, что означает попадание ввырожденное базисноерешение.

Если исходное решение вырожденное и нулевой переменной соответствует коэффициет _kr>0, то согласно (4.12) ₀=0 и значения переменных не изменяются. Однако состав базиса и базисных переменных изменится произойдет замена наПри высокой степени вырожденности теоретически возможно зацикливание, то есть возврат к старому базису, но на практике такие случаи не встречались.