21

Лекция №2

НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ.

ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ.

1. Неопределенный интеграл и его свойства.

Многочисленные математические операции образуют пары двух взаимообратных действий. Например, сложение и вычитание, умножение и деление, возведение в целую степень и извлечение корня, логарифмирование и потенцирование. Дифференциальное исчисление решает следующую основную задачу: по данной функции найти ее производную. Обратным действием дифференцирования является интегрирование: для данной функции f(х) найти такую функциюF(х), производная которой равнялась бы заданной функцииf(х), т.е.

F'(х) =f(х) (1)

Поставленную задачу можно сформулировать в следующей форме: для данной функции f(х) найти такую функциюF(х), дифференциал которой равнялся бы выражениюf(х)dх:

dF(х) =f(х)dх (2)

Функция F(х), связанная с функциейf(х) соотношение (1) или (2), называется ее первообразной.

Так, например, первообразной от функции f(х)=х²будет функцияF(х)=х³∕3, так какF'(х) = (х³∕3)' =х² или то же самоеdF=d(х³∕3) =х²dх.

В общем случае, если f(х) имеет первообразную функциюF(х), то совокупность [F(х)+С] также будет первообразной для нее, т.к. С' = 0 (С – постоянная величина). Следовательно, для данной функцииf(х) может быть не одна, а множество первообразных [F(х)+С], отличающихся на некоторую постоянную интегрирования.

Совокупность первообразных [F(х)+С] для данной функцииf(х) или данного дифференциалаf(х)dх. называют неопределенным интегралом от функцииf(х) и обозначают ∫f(х)dх. По определению

∫f(х)dх=[F(х)+С] (3)

- читается «неопределенный интеграл эф от икс дэ икс», где f(х)dх – подинтегральное выражение;f(х) – подинтегральная функция; С – постоянная интегрирования; символ ∫ - знак неопределенного интеграла. Под знаком неопределенного интеграла мы имеем не производную искомой функции, а ее дифференциал. Так как, например, функцияF(х)=х³∕3 является одной из первообразных от функцииf(х)=х², то на основании формулы (3) получим ∫х²dх =х³∕3 + С.

Рассмотрим основные свойства неопределенного интеграла:

1. Производная от неопределенного интеграла равна подинтегральной функции: [∫f(х)dх]' = [F(х) + С]' =F'(х) =f(х).

2. Дифференциал от неопределенного интеграла равен подинтегральному выражению: d[∫f(х)dх] =d [F(х) + С] = [F(х) +C]'dх=F'(х)dх=f(х)dх.

3. Интеграл от дифференциала первообразной равен самой первообразной: ∫d [F(х) + С] = ∫dF(х) = ∫f(х)dх =F(х+C).

4. Постоянный множитель можно выносить за знак неопределенного интеграла: ∫кf(х)dх = к∫f(х)dх.

5. Интеграл от алгебраической суммы равен алгебраической сумме интегралов слагаемых, т.е.:

∫[f₁(х) +f₂(х) –f₃(х)]dх =∫f₁(х)dх+∫f₂(х)dх-∫f₃(х)dх.

Пример:

Найти ∫(х³+3sinх–8)dх= ∫х³dх+3∫sinхdх-8∫dх = х⁴/4–3cosх–8х+С.

Используя формулы интегрирования для трех интегралов, при каждом интегрировании получим свою произвольную постоянную. Но в конечном итоге мы имеем только одну произвольную постоянную, так как, если С₁; С₂;С₃– произвольные постоянные, то и величина С равная их алгебраической сумме, также является произвольной постоянной.