13

Курс лекций

по медицинской и биологической физике

ЛЕКЦИЯ №1

ПРОИЗВОДНАЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ.

ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ.

1. Понятие производной, ее механический и геометрический смысл.

а)Приращение аргумента и функции.

Пусть дана функция y=f(х), где х – значение аргумента из области определения функции. Если выбрать два значения аргумента х_о и х из определенного интервала области определения функции, то разность между двумя значениями аргумента называется приращением аргумента: х - х_о=∆х.

Значение аргумента x можно определить через x₀ и его приращение: х = х_о+ ∆х.

Разность между двумя значениями функции называется приращением функции: ∆y =∆f = f(х_о+∆х) – f(х_о).

Приращение аргумента и функции можно представить графически (рис.1). Приращение аргумента и приращение функции может быть как положительным, так и отрицательным. Как следует из рис.1 геометрически приращение аргумента ∆х изображается приращением абсциссы, а приращение функции ∆у – приращением ординаты. Вычисление приращения функции следует проводить в следующем порядке:

1. даем аргументу приращение ∆х и получаем значение – x+Δx;

2) находим значение функции для значения аргумента (х+∆х) – f(х+∆х);

3) находим приращение функции ∆f=f(х + ∆х) - f(х).

Пример: Определить приращение функции y=х², если аргумент изменился от х_о=1 до х=3. Для точки х_означение функции f(х_о)=х²_о; для точки (х_о+∆х) значение функции f(х_о+∆х) = (х_о+∆х)² = х²_о+2х_о∆х+∆х², откуда ∆f = f(х_о+∆х)–f(х_о) = (х_о+∆х)²–х²_о= х²_о+2х_о∆х+∆х²–х²_о= 2х_о∆х+∆х²; ∆f = 2х_о∆х+∆х²; ∆х = 3–1 = 2; ∆f =2·1·2+4 = 8.

б) Задачи, приводящие к понятию производной. Определение производной, ее физический смысл.

Понятие приращения аргумента и функции необходимы для введения понятия производной, которое исторически возникло исходя из необходимости определения скорости тех или иных процессов.

Рассмотрим, каким образом можно определить скорость прямолинейного движения. Пусть тело движется прямолинейно по закону: ∆Ѕ= ·∆t. Для равномерного движения:= ∆Ѕ/∆t.

Для переменного движения значение ∆Ѕ/∆t определяет значение_ср., т.е._ср. =∆Ѕ/∆t. Но средняя скорость не дает возможности отразить особенности движения тела и дать представление об истинной скорости в момент времени t. При уменьшении промежутка времени, т.е. при ∆t→0 средняя скорость стремится к своему пределу – мгновенной скорости:

_мгн.= _ср.= ∆Ѕ/∆t.

Таким же образом определяется и мгновенная скорость химической реакции:

_мгн.= _ср.= ∆х/∆t,

где х – количество вещества, образовавшееся при химической реакции за время t. Подобные задачи по определению скорости различных процессов привели к введению в математике понятия производной функции.

Пусть дана непрерывная функция f(х), определенная на интервале ]а,в[ и ее приращение ∆f=f(х+∆х)–f(х). Отношениеявляется функцией ∆х и выражает среднюю скорость изменения функции.

Предел отношения , когда ∆х→0, при условии, что этот предел существует, называется производной функции:

y'_x=.

Производная обозначается: – (игрек штрих по икс);f'(х) – (эф штрих по икс); y' – (игрек штрих); dy/dх – (дэ игрек по дэ икс); - (игрек с точкой).

Исходя из определения производной, можно сказать, что мгновенная скорость прямолинейного движения есть производная от пути по времени:

_мгн.= S'_t = f'(t).

Таким образом, можно сделать вывод, что производная функции по аргументу х есть мгновенная скорость изменения функции f(х):

у'_x=f'(х)=_мгн.

В этом и заключается физический смысл производной. Процесс нахождения производной называется дифференцированием, поэтому выражение «продифференцировать функцию» равносильно выражению «найти производную функции».

в) Геометрический смысл производной.

Производная функции у = f(х) имеет простой геометрический смысл, связанный с понятием касательной к кривой линии в некоторой точкеM. При этом, касательную, т.е. прямую линию аналитически выражают в виде у = кх = tg· х, где – угол наклона касательной (прямой) к оси Х. Представим непрерывную кривую как функцию у= f(х), возьмем на кривой точкуMи близкую к ней точку М₁ и приведем через них секущую. Ее угловой коэффициент к_сек=tg β =. Если приближать точку М₁к M, то приращение аргумента ∆х будет стремиться к нулю, а секущая при β=α займет положение касательной. Из рис.2 следует:tgα = tgβ = =у'_x. Но tgα равен угловому коэффициенту касательной к графику функции:

к = tgα = =у'_x = f'(х). Итак, угловой коэффициент касательной к графику функции в данной точке равен значению ее производной в точке касания. В этом и состоит геометрический смысл производной.

г) Общее правило нахождения производной.

Исходя из определения производной, процесс дифференцирования функции можно представить следующим образом:

1. выбрав некоторое значение аргумента х, дают ему приращениех и находят приращенное значение функции в точке (х + ∆х), равное

f(х+∆х) = f(х)+∆f;

2. находят приращение функции: ∆f= f(х + ∆х) - f(х);

3. составляют отношение приращения функции к приращению аргумента:

;

4. находят предел отношения при ∆x→0, если этот предел существует: ₌f'(х).

Пример: f(х)=х²; f'(х)=?.

1. f(х +∆х) = (х+∆х)²;

2. ∆f= f(х+∆х)-f(х) = (х+∆х)²-х²= х²+2х∆х+∆х²-х² = 2х ∆х+∆х²;

3. == 2х+х;

4. f'(х) = = (2х+∆х) = 2х+∆х = 2х;

5. f'(х) = 2х.

Однако, как видно даже из этого простого примера, применение указанной последовательности при взятии производных – процесс трудоемкий и сложный. Поэтому для различных функций вводятся общие формулы дифференцирования, которые представлены в виде таблицы «Основных формул дифференцирования функций».